最后更新: 2025-03-17 09:24 查看: 11 次反馈刷题

变量代换公式

二．变量代换公式
将上述例 3 的公式推广就得到二重积分的变量代换公式。
定理 0.1 设映射 $x=x(u, v), y=y(u, v)$ 在定义域 $D_{u v}$ 上连续可微，且是从 $D_{u v}$ 到 $D_{x y}$ 的一一映射，其 Jacobi 行列式的绝对值在 $D_{u v}$ 上处处有

$$
J=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| \neq 0
$$

又设 $D_{u v}$ 为零边界的有界闭集，则当 $f(x, y)$ 是 $D_{x y}$ 上的连续函数时，成立以下二重积分的变量代换公式：

$$
\iint_{D_{x y}} f(x, y) d x d y=\iint_{D_{u v}} f(x(u, v), y(u, v)) J d u d v
$$

注 上述公式将左边关于 $x, y$ 的二重积分转化右边为关于 $u, v$ 的二重积分．这里要做三件事：（1）将 $d x d y$ 变为 $J d u d v ;(2)$ 将被积函数 $f(x, y)$ 变为复合函数 $f(x(u, v), y(u, v)) ;(3)$ 将积分区域从 $D_{x y}$ 变为 $D_{u v}$ ．

对于二重积分的变量代换来说，最常用的是极坐标变换：$x=r \cos \theta$ ， $y=r \sin \theta$ ．这时的 Jacobi 行列式为

$$
J=\left|\begin{array}{cc}
x_r & x_\theta \\
y_r & y_\theta
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
\cos \theta & -r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{array}\right|=r,
$$
由于一般设 $r \geqslant 0$ ，这里不需要再取绝对值．这个结果应当记住，即将 $d x d y$ 变为 $r d r d \theta$ 。

![图片](/uploads/2025-02/c1fcb8.jpg)

注 Jacobi 行列式的绝对值 $J$ 就是变量代换下面积的缩小放大比例系数。从图 14 可见，在 $r \theta$ 平面上相同的小矩形，面积都是 $\Delta r \Delta \theta$ ，但映射到 $x y$ 平面时得到的＂曲边矩形＂的面积是随着 $r$ 而变化的．因此这是解释 $J$ 的意义的一个好例子．

在证明变量代换公式之前先举例说明其用法．注意在用变量代换公式时要考虑三点，即积分区域，被积函数和 Jacobi 行列式（取绝对值）．

例题 0.5 求二重积分 $I=\iint_{D_R} e ^{-\left(x^2+y^2\right)} d x d y$ ，其中积分区域 $D_R=\{(x, y) \mid$ $\left.x^2+y^2 \leqslant R^2\right\}$ ．

解 这是不能用二次积分方法求积的典型例子．采用极坐标代换，则 $D_{r \theta}$ 就成为简单的 $[0, R] \times[0,2 \pi]$（这是 $r \theta$ 平面上的矩形）．利用前面已经得到的 $J=r$ ，就容易求出

$$
I=\int_0^R \int_0^{2 \pi} e^{-r^2} r d r d \theta=-\left.\frac{1}{2} e^{-r^2}\right|_0 ^R \cdot 2 \pi=\pi\left(1-e^{-R^2}\right)
$$

例题 0.6 求半径为 $R$ 的球面积．（过去用旋转面的公式计算过，见上册 p． 284例6．）

解 1 （这里不需要用变量代换公式）
写出球面的球面坐标方程

$$
x=R \sin \varphi \cos \theta, y=R \sin \varphi \sin \theta, z=R \cos \varphi, \quad 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi
$$

计算出

$$
\begin{aligned}
r _{\varphi} & =(R \cos \varphi \cos \theta, R \cos \varphi \sin \theta,-R \sin \varphi) \\
r _\theta & =(-R \sin \varphi \sin \theta, R \sin \varphi \cos \theta, 0)
\end{aligned}
$$

就可以得到 $E=R^2, F=0, G=R^2 \sin ^2 \varphi$ ，因此有

$$
\sqrt{E G-F^2}=R^2 \sin \varphi
$$

然后计算积分得到

$$
S=\int_0^{2 \pi} \int_0^\pi R^2 \sin \varphi d \theta d \varphi=4 \pi R^2
$$

注 思考题：对于用球面坐标时的缩放系数 $R^2 \sin \varphi$ 作出几何解释．
解 2 用直角坐标方程 $z= \pm \sqrt{R^2-x^2-y^2}$ ，则只要计算第一挂限中的球面面积乘 8 ．其定义域为 $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant R^2, x, y \geqslant 0\right\}$ 。求出 $z_x=-x / z$ ， $z_y=-y / z$ ，于是有 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=R / z$ ，即需要计算积分

$$
S=8 \iint_{\substack{x^2+y^2 \leqslant R^2 \\ x, y \geqslant 0}} \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}} d x d y
$$

为此用极坐标变换，则有

$$
S=8 R \int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^R \frac{r d r}{\sqrt{R^2-r^2}}=\left.4 \pi R\left(-\sqrt{R^2-r^2}\right)\right|_0 ^R=4 \pi R^2
$$

注 在解 2 中的定义域边界邻近偏导数 $z_x, z_y$ 可以无界，从而导致二重广义积分的计算，用极坐标变换后仍然是广义积分，但计算没有困难。

例题 0.7 求椭球体 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \leqslant 1$ 的体积．
解 由对称性只要求出在第一挂限的体积乘以 8 ．于是有
$$
V=8 \iint_{\substack{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leqslant 1 \\ x, y \geqslant 0}} c \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} d x d y,
$$

这时最合适的是广义极坐标变换 $x=a r \cos \theta, y=b r \sin \theta, 0 \leqslant r \leqslant 1,0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}$ ．可以先计算出 Jacobi 行列式为 $J=a b r$ ，于是就有

$$
V=8 \int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^1 c \sqrt{1-r^2} a b r d r=\left.4 a b c \pi \cdot\left(-\frac{1}{3}\left(1-r^2\right)^{\frac{3}{2}}\right)\right|_0 ^1=\frac{4}{3} a b c \pi .
$$

## 四．变量代换公式的证明
为方便起见，重新列出该定理如下。
定理 0.2 设映射 $x=x(u, v), y=y(u, v)$ 在定义域 $D_{u v}$ 上连续可微，且是从 $D_{u v}$ 到 $D_{x y}$ 的一一映射，其 Jacobi 行列式的绝对值在 $D_{u v}$ 上处处有

$$
J=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| \neq 0
$$

又设 $D_{u v}$ 为零边界的有界闭集，则当 $f(x, y)$ 是 $D_{x y}$ 上的连续函数时，成立以下二重积分的变量代换公式：

$$
\iint_{D_{x y}} f(x, y) d x d y=\iint_{D_{u v}} f(x(u, v), y(u, v)) J d u d v
$$

证 如前所说，在承认 p． 126 例 3 中的公式的基础上来证明这个定理．实际上那个公式就是 $f$ 恒等于 1 情况的变量代换公式。

记复合函数 $f(x(u, v), y(u, v))=F(u, v)$ ，则从条件可知 $F$ 于有界闭集 $D_{u v}$上连续，因此一致连续．于是对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall\left(u_1, v_1\right),\left(u_2, v_2\right) \in D_{u v}$ ，只要 $\sqrt{\left(u_1-u_2\right)^2+\left(v_1-v_2\right)^2}<\delta$ ，就成立

$$
\left|F\left(u_1, v_1\right)-F\left(u_2, v_2\right)\right|<\varepsilon
$$

在 $u v$ 平面上用平行于坐标轴的两族平行直线将有界闭集 $D_{u v}$ 分划为有限个直径均小于 $\delta$ 的子集，记为 $d_i, i=1, \cdots, m$ ．又将 $d_i$ 在映射 $x=x(u, v), y=y(u, v)$下的像，即 $x y$ 平面上的子集，记为 $D_i$ ．（在图 2 中作出了完全落在 $D_{u v}$ 内的小矩形映射到 $D_{x y}$ 内的一个曲边四边形的情况，对于含有边界点的其他子集的情况是类似的．）
 ![图片](/uploads/2025-02/862459.jpg)
 
 现在对于变量代换公式两边的积分之差的绝对值作如下估计：

$$
\begin{aligned}
\Delta & =\left|\iint_{D_{u v}} F(u, v) J(u, v) d u d v-\iint_{D_{x y}} f(x, y) d x d y\right| \\
& \leqslant \sum_{i=1}^m\left|\iint_{d_i} F(u, v) J(u, v) d u d v-\iint_{D_i} f(x, y) d x d y\right|
\end{aligned}
$$

（对上述和式中的每个积分用积分中值定理，这时 $J$ 的非负性起了作用，）

$$
=\sum_{i=1}^m\left|F\left(s_i, t_i\right) \iint_{d_i} J(u, v) d u d v-f\left(\xi_i, \eta_i\right) \cdot\right| D_i| |
$$

（利用前面例题 3 中的结论，就有 $\iint_{d_i} J(u, v) d u d v=\left|D_i\right|$ ）

$$
=\sum_{i=1}^m\left|F\left(s_i, t_i\right)-f\left(\xi_i, \eta_i\right)\right| \cdot\left|D_i\right|
$$

（利用 $D_i$ 是 $d_i$ 的像，存在 $\left(s_i^{\prime}, t_i^{\prime}\right) \in d_i$ ，使得有 $\xi_i=x\left(s_i^{\prime}, t_i^{\prime}\right), \eta_i=y\left(s_i^{\prime}, t_i^{\prime}\right)$ ）

$$
=\sum_{i=1}^m\left|F\left(s_i, t_i\right)-F\left(s_i^{\prime}, t_i^{\prime}\right)\right| \cdot\left|D_i\right| \leqslant \varepsilon\left|D_{x y}\right|
$$

最后利用 $\varepsilon$ 可以任意小，这样就证明了 $\Delta=0$ ．

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