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二重积分变量代换与雅可比行列式的意义

## 曲线坐标
设 $U$ 为 $u v$ 平面上的开集，$V$ 是 $x y$ 平面上开集，映射
 
$$
T: \quad x=x(u, v), \quad y=y(u, v)
$$

是 $U$ 到 $V$ 的一个一对应，它的逆变换记为 $T^{-1}: u=u(x, y), v=v(x, y)$ ．
在 $U$ 中取直线 $u=u_0$ ，就相应得到 $x y$ 平面上的一条曲线

$$
x=x\left(u_0, v\right), \quad y=y\left(u_0, v\right),
$$

我们称之为 $v$－曲线；同样，取直线 $v=v_0$ ，就相应得到 $x y$ 平面上的 $u-$ 曲线，

$$
x=x\left(u, v_0\right), \quad y=y\left(u, v_0\right) .
$$

由于映射 $T$ 是一一对应的，因此 $V$ 上的任意一点 $P$ 既可以惟一地用 $(x, y)$ 表示，也可以惟一地用 $(u, v)$ 表示。我们称 $u-$ 曲线和 $v-$ 曲线构成了**曲线坐标网**，称 $(u, v)$ 为 $P$ 的曲线坐标，而称 $T$ 为**坐标变换**（见图 13．3．1）．

![图片](/uploads/2025-10/61463e.jpg){width=500px}
 
 例如，在映射 $T: x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ 下，$\theta$－曲线是一族以原点为圆心的同心圆，$r$－曲线是一族从原点出发的半射线，它们构成平面上的极坐标网 $(r, \theta)$ 为点 $P(x, y)$ 的极坐标，$T$ 即为极坐标变换。
 
  ![图片](/uploads/2025-10/b7d538.jpg)
  
  
 ## 二重积分的变量代换
 
 现在，进一步假设 $x=x(u, v), y=y(u, v)$ 具有连续偏导数，且有 $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \neq 0$ ，则由连续性可知 $\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$ 在 $U$ 上不变号。因此，对 $U$ 中任意具有分段光滑边界的有界闭区域 $D$ ，记它的像为 $E=T(D) \subset V$ ，则 $D$ 的内点和边界分别被映为 $E$ 的内点和边界，同时，由于连通集的像也连通，所以 $E=T(D)$ 也是具有分段光滑边界的有界闭区域。在这样的假设下，有如下的二重积分的变量代换公式。

定理13.3.1（二重积分变量代换公式）映射 $T$ 和区域 $D$ 如上假设。如果二元函数 $f(x, y)$ 在 $T(D)$ 上连续，则

$$
\iint_{T(D)} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_D f(x(u, v), y(u, v))\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v .
$$

显然，当 $f(x, y) \equiv 1$ 时，由以上定理得

$$
\iint_D\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v=m T(D) \quad \text { (即 } T(D) \text { 的面积) } .
$$

定理的证明放到下一节，现在先来看一看 Jacobi 行列式的几何意义和应用。

## 雅可比行列式的几何意义

设 $T, D$ 满足本节开始时的假定，$\left(u_0, v_0\right)$ 是区域 $D$ 中的一点，$\sigma$ 是包含此点的具有分段光滑边界的小区域，并记 $d(\sigma)$ 为 $\sigma$ 的直径（见图 13．3．2），那么由定理 13．3．1 和重积分的中值定理，得

![图片](/uploads/2025-10/c1f577.jpg)

$$
\begin{aligned}
m T(\sigma) & =\iint_\sigma\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|_{(r, s)} \cdot m \sigma \\
& =\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|_{\left(u_0, v_0\right)} \cdot m \sigma+o(1) \cdot m \sigma
\end{aligned}
$$

其中 $(r, s)$ 为 $\sigma$ 中一点，$o(1)$ 为当 $d(\sigma) \rightarrow 0$（即 $\sigma$ 收缩到 $\left.\left(u_0, v_0\right)\right)$ 时的无穷小量．因此

$$
\lim _{d(\sigma) \rightarrow 0} \frac{m T(\sigma)}{m \sigma}=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|_{\left(u_0, v_0\right)}
$$

或等价地

$$
m T(\sigma) \sim\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|_{\left(u_0, v_0\right)} \cdot m \sigma \quad(d(\sigma) \rightarrow 0)
$$

这说明 Jacobi 行列式 $\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|$ 的几何意义为**面积的比例系数**．

## 通过曲线参数解读变量替换
也可以通过曲线参数解读变量替换。曲面的参数表示与曲面面积
曲线 $l$ 的参数方程形式为

$$
x=x(t), y=y(t), z=z(t)
$$

其中 $t \in I, I$ 为某个区间．
曲面 $S$ 的双参数方程形式为

$$
x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v),
$$

其中 $(u, v) \in D, D$ 是 $u, v$ 平面上的某个有界集．以下假设从 $D$ 到 $S$ 的映射为单射，即不同的参数值 $(u, v)$ 对应于 $S$ 上不同的点。

若用向量表示则可将曲面 $S$ 表示为

$$
\boldsymbol{r} =\boldsymbol{r} (u, v),(u, v) \in D
$$

其中 $ \boldsymbol{r} =(x, y, z), \boldsymbol{r} (u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ ．
现在考虑固定参数 $v$ 的值，则当 $u$ 变化时就得到曲面 $S$ 上的一条曲线，今后称为 $u$ 曲线．同样可以定义曲面 $S$ 上的 $v$ 曲线．取各个不同的 $v$ 值对应的 $u$ 曲线和各个不同的 $u$ 值对应的 $v$ 曲线，就得到如图 9（a）中的曲线坐标网．
 ![图片](/uploads/2025-02/7b9aaa.jpg)

现设 $\boldsymbol{r} (u, v)$ 连续可微，则 $\boldsymbol{r} _u$ 是 $u$ 曲线的切向量，而 $\boldsymbol{r}_v$ 是 $v$ 曲线的切向量．在图 9（b）上对曲面 $S$ 上的某个点作出了经过该点的 $u$ 曲线和 $v$ 曲线，并作出它们在该点的切向量 $r _u$ 和 $r _v$ ．（这里可以回顾第十八章中关于偏导数 $z_x$ 和 $z_v$ 的几何意义．那里的曲面方程为 $z=z(x, y)$ ，相当于用 $x, y$ 作为双参数的情况．）

若在曲面 $S$ 的每个点处的 $r _u$ 和 $r _v$ 都不共线，即 Jacobi 矩阵

$$
\left(\begin{array}{lll}
x_u & y_u & z_u \\
x_v & y_v & z_v
\end{array}\right)
$$

满秩，则称 $S$ 为光滑曲面．这时由 $r _u \times r _v$ 确定曲面在该点的法线和切平面．又若在 $S$ 上处处有 $r _u \perp r _v$ ，则得到曲面 $S$ 上的正交曲线坐标网。

下面考虑如何计算光滑曲面 $S$ 的面积 $|S|$ ．（在上下文清楚的情况下也经常将曲面 $S$ 的面积记为 $S$ ．）

对于 $u v$ 平面上的有界集 $D$ ，用一个闭矩形将它包含在内，然后对该闭矩形作分划

$$
P=\left\{u_0, u_1, \cdots, u_n ; v_0, v_1, \cdots, v_m\right\}
$$
则当分划生成的闭小矩形 $\Delta_{i j}=\left[u_{i-1}, u_i\right] \times\left[v_{j-1}, v_j\right] \subset D$ 时，在映射 $r = r (u, v)$下就成为曲面 $S$ 上由 $u=u_{i-1}, u=u_i, v=v_{j-1}, v=v_j$ 确定的 $u$ 曲线和 $v$ 曲线围成的一小块曲面，记为 $S_{i j}$ ．直观上容易看出，这一小块曲面的边与向量 $r _u \Delta u_i$和 $r _v \Delta v_j$ 很接近，而曲面 $S_{i j}$ 则与由这两个向量确定的平行四边形很接近，因此其面积 $\left|S_{i j}\right|$ 与向量积 $\left| r _u \times r _v\right| \Delta u_i \Delta v_j$ 很接近．这样我们就定义曲面 $S$ 的面积如下：

$$
|S|=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{\Delta_{i, j} \subset D}\left| r _u \times r _v\right| \Delta u_i \Delta v_j,
$$

如果右边极限存在的话．

> 注 这里的曲面面积定义方法与曲线弧长的定义方法很不一样。对于曲线来说，如上册 $\S 10.2$ 所示，弧长是用曲线的内接折线长度的上确界来定义的，而对于光滑曲线则可以用积分来计算．如前所述，对于曲面来说，实际上是用平行四边形逼近由分划确定的小块曲面，然后用这些平行四边形的面积和来逼近曲面面积．在几何上来看，这些平行四边形的总体并不形成为一个曲面．这里实际上存在更为深刻的原因．已经证明，如果模仿对曲线作内接折线的方法，在曲面上取许多点，然后构造曲面的内接多面形，并将曲面面积定义为内接多面形的每一个面的直径趋于 0 时的面积的极限，则可以举出反例说明这样的做法不能成功．这就是著名的 Schwarz例子．见《微积分学教程》第三卷的 $\S 17.2$ ．

现在给出具体的曲面面积计算公式。
对于可以用 $z=z(x, y),(x, y) \in D$ 表示的曲面，设 $z(x, y)$ 连续可微，则将 $x, y$看成为双参数，就有

$$
\boldsymbol{r} =(x, y, z(x, y))
$$

分别对$x,y$求偏导（偏导就是曲线的切线），于是有

$$
r _x=\left(1,0, z_x\right), \quad r _y=\left(0,1, z_y\right)
$$

这样就可以计算得到

$$
r _x \times r _y=\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
1 & 0 & z_x \\
0 & 1 & z_y
\end{array}\right|=-z_x i -z_y j + k
$$

这样就得到曲面面积计算公式为

$$
\boxed{
|S|=\iint_D\left| r _x \times r _y\right| d x d y=\iint_D \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} d x d y
}

对于一般情况的双参数方程 $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r} (u, v)$ 表示的曲面 $S$ ，则可以将被积函数计算如下：

$$
\begin{aligned}
\left| r _u \times r _v\right| & =\left| r _u\right| \cdot\left| r _v\right| \cdot \mid \sin \left( r _u, r _v\right) \\
& =\left| r _u\right| \cdot\left| r _v\right| \cdot \sqrt{1-\cos ^2\left( r _u, r _v\right)} \\
& =\sqrt{\left| r _u\right|^2 \cdot\left| r _v\right|^2-\left( r _u \cdot r _v\right)^2}=\sqrt{E G-F^2}
\end{aligned}
$$

其中

$$
E=\left| r _u\right|^2=x_u^2+y_u^2+z_u^2
$$

$$
\begin{aligned}
& F= r _u \cdot r _v=x_u x_v+y_u y_v+z_u z_v, \\
& G=\left| r _v\right|^2=x_v^2+y_v^2+z_v^2
\end{aligned}
$$

（对于正交曲线坐标网则 $F=0$ ．）于是曲面面积公式是

$$
\boxed{
|S|=\iint_D \sqrt{E G-F^2} d u d v
}
$$

### 曲线参数弧微分与曲面参数面微分比较

对于**曲线弧长微分**，当曲线为 $x=x(t), y=y(t)$时 $d s=\sqrt{x^2(t)+y^{\prime 2}(t)} d t$ ，当曲线为 $y=y(x)$ 时 $d s=\sqrt{1+y^2(x)} d x$

可以类比记忆，类似地，这里可以引入**面积微分**的记号

$d S=\sqrt{E G-F^2} d u d v $

其中将 $d u d v$ 理解为 $u v$ 平面上的矩形面积 $\Delta u \Delta v$ ，而 $\sqrt{E G-F^2}$ 就是一个缩小放大系数。对于 $u=x, v=y$ 的情况就更容易理解，即曲面上投影到 $x y$ 平面上为小矩形 $\left[x_{i-1}, x_i\right] \times\left[y_{j-1}, y_j\right]$ 的一小块曲面的面积与小矩形面积之比的极限。

若作出曲面上过点 $\left(x_{i-1}, y_{j-1}\right)$ 的切平面，则就得到该切平面上的一个平行四边形。它的面积即 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \Delta x \Delta y$ ，而这个平行四边形在 $x y$ 平面上的投影面积就是 $\Delta x \Delta y$ 。 详见 [全微分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=383)

`例` 求柱面 $x=x(t), y=y(t), z=s, \alpha \leqslant t \leqslant \beta, 0 \leqslant s \leqslant h$ 的面积 $\sigma$ ，其中 $x=x(t), y=y(t), \alpha \leqslant t \leqslant \beta$ 是 $x y$ 平面上无自交点的光滑曲线 $\Gamma$ ，弧长为 $l$ ．

![图片](/uploads/2025-10/a076c3.jpg){width=100px}
 
 
解: **法一** 显然答案为 $l h$ ．因此这只是用来检验前面所学的曲面面积公式是否得到正确答案的一个简单例子。

从该柱面的双参数表示

$$
r =(x(t), y(t), s)
$$

可以计算出

$$
r _t \times r _s=\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
x_t^{\prime} & y_t^{\prime} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right|=x_t^{\prime} i -y_t^{\prime} j
$$

这样就可以代入曲面面积公式中计算得到

$$
\begin{aligned}
\sigma & =\int_\alpha^\beta \int_0^h\left| r _t \times r _s\right| d t d s \\
& =\int_0^h d s \int_\alpha^\beta \sqrt{x_t^{\prime 2}(t)+y_t^{\prime 2}(t)} d t=h l
\end{aligned}
$$

**法二** 另一种方法是计算 $\sqrt{E G-F^2}$ ．这里 $E=x_t^2+y_t^2, F=0, G=1$ ，因此就有 $\sqrt{E G-F^2}=\sqrt{x_t^2+y_t^2}$ ，其余与解 1 相同．

`例` 求以原点 $(0,0,0)$ 为顶点，圆 $x=R \cos \theta, y=R \sin \theta, z=h$ 为底的圆锥面的面积 $S, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi$ ．
解 1 写出曲面的双参数表示

$$
r =(R t \cos \theta, R t \sin \theta, h t), 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, 0 \leqslant t \leqslant 1
$$

则就有 $r _t=(R \cos \theta, R \sin \theta, h)$ 和 $r _\theta=(-R t \sin \theta, R t \cos \theta, 0)$ ，因此有

$$
r _t \times r _\theta=\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
R \cos \theta & R \sin \theta & h \\
-R t \sin \theta & R t \cos \theta & 0
\end{array}\right|=-R h t \cos \theta i -R h t \sin \theta j +R^2 t k
$$

于是 $\left| r _t \times r _\theta\right|=R t \sqrt{R^2+h^2}$ ，可见所求面积为

$$
S=\int_0^1 t d t \int_0^{2 \pi} R \sqrt{R^2+h^2} d \theta=\pi R \sqrt{R^2+h^2}
$$

解 2 从双参数表示直接求出

$$
\begin{aligned}
& E=x_t^2+y_t^2+z_t^2=R^2+h^2 \\
& F=x_t x_\theta+y_t y_\theta+z_t z_\theta=R \cos \theta \cdot(-R t \sin \theta)+R \sin \theta \cdot R t \cos \theta=0 \\
& G=x_\theta^2+y_\theta^2+z_\theta^2=R^2 t^2
\end{aligned}
$$

于是被积函数为 $R t \sqrt{R^2+h^2}$ ，其余与解 1 同．
注 利用圆锥面为可展面，就容易求出上述结果．因此本题也是属于检验本章的曲面面积公式是否成立的一个简单例子．

`例`若曲面 $r = r (u, v)$ 中的 $z$ 分量 $z(u, v) \equiv 0$ ，则曲面就成为 $x y$ 平面的一部分．这时曲面面积有公式

$$
S=\iint_D J(u, v) d u d v
$$

其中 $J(u, v)=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|$ ．
证 这时可以计算出 $r _u=\left(x_u, y_u, 0\right), r _v=\left(x_v, y_v, 0\right)$ ，因此有

$$
r _u \times r _v=\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
x_u & x_v & 0 \\
y_u & y_v & 0
\end{array}\right|=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} k
$$

代入公式 $S=\iint_D\left| r _u \times r _v\right| d u d v$ 即可．
注 由于要求 $x(u, v), y(u, v)$ 连续可微，因此只要 $D$ 是零边界的有界闭集就可以保证上述积分存在．

`例` 求椭圆 $x=a r \cos \theta, y=b r \sin \theta, 0 \leqslant r \leqslant 1,0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi$ 的面积 $S$ ，其中设 $a, b>0$ ．

解 这就是将椭圆看成为从 $r, \theta$ 平面上的矩形 $[0,1] \times[0,2 \pi]$ 映射到 $x y$ 平面的像，试用方才得到的例 3 的公式来验证是否正确。

直接计算出 Jacobi 行列式的绝对值

$$
J=\left|\begin{array}{cc}
x_r & x_\theta \\
y_r & y_\theta
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
a \cos \theta & -a r \sin \theta \\
b \sin \theta & b r \cos \theta
\end{array}\right|=a b r,
$$

这样就可以计算出

$$
S=\int_0^1 \int_0^{2 \pi} a b r d r d \theta=a b \pi
$$

### 旋转体
对于旋转体的面积，可以证明是下面介绍公式的一个特例．

设有在上半平面，即 $y \geqslant 0$ 内的曲线 $y=f(x), a \leqslant x \leqslant b$ 绕 $x$ 轴旋转一周，则所生成的曲面面积为

$$
S=\int_a^b 2 \pi y(x) \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} d x .
$$

在此基础上并结合曲线的弧长微分就可以得到更一般的旋转体面积公式

$$
S=2 \pi \int_0^l y d s
$$

其中曲线处于 $y \geqslant 0$ 内，是分段光滑的连续曲线，可以是封闭的，$l$ 是曲线的弧长．
证 为此只要将旋转曲面用双参数方程表示出来：

$$
x=x, y=y(x) \cos \theta, z=y(x) \sin \theta, \quad a \leqslant x \leqslant b, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi,
$$

然后计算出

$$
r _x=\left(1, y^{\prime}(x) \cos \theta, y^{\prime}(x) \sin \theta\right), r _\theta=(0,-y(x) \sin \theta, y(x) \cos \theta)
$$

就得到 $E=1+y^{\prime 2}(x), F=0, G=y^2(x)$ 和 $\sqrt{E G-F^2}=y(x) \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}$ ，曲面面积为

$$
S=\int_a^b \int_0^{2 \pi} y\left(x \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} d x d \theta=2 \pi \int_a^b y(x) \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} d x .\right.
$$

对于更一般的情况则只要写出曲面的双参数方程
$$
x=x(s), y=y(s) \cos \theta, z=y(s) \sin \theta, \quad 0 \leqslant s \leqslant l, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi
$$

然后作同样计算即可。

`例` 求二重积分 $I=\iint_{D_R} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中积分区域 $D_R=\{(x, y) \mid \left.x^2+y^2 \leqslant R^2\right\}$.

解 这是不能用二次积分方法求积的典型例子．采用极坐标代换，则 $D_{r \theta}$ 就成为简单的 $[0, R] \times[0,2 \pi]$（这是 $r \theta$ 平面上的矩形）．利用前面已经得到的 $J=r$ ，就容易求出

$$
I=\int_0^R \int_0^{2 \pi} \mathrm{e}^{-r^2} r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta=-\left.\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-r^2}\right|_0 ^R \cdot 2 \pi=\pi\left(1-\mathrm{e}^{-R^2}\right)
$$

`例`计算曲线 $(x-y)^2+x^2=a^2 \quad(a>0)$ 所围区域 $D$ 的面积．
解 作变换 $x=u, x-y=v$ ，则曲线方程对应于 $u^2+v^2=a^2$ ．

![图片](/uploads/2025-10/b458a0.jpg)

显然这个变换将图13．3．3中左边的圆盘 $u^2+v^2 \leqslant a^2$ 一一对应地映为右边的椭圆区域 $D$ ．由于

$$
\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & -1
\end{array}\right|=-1,
$$

因此 $D$ 的面积

$$
S=\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{u^2+v^2 \leqslant u^2}\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v=\iint_{u^2+v^2 \leqslant a^2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\pi a^2 .
$$

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