最后更新: 2025-10-24 20:52 查看: 103 次纠错评论(0) 课件开VIP

反常二重积分

## 一、无界区域上的二重积分
**定义1** 设 $f(x, y)$ 为定义在无界区域 $D$ 上的二元函数．若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 $\gamma, f(x, y)$ 在曲线 $\gamma$ 所围的有界区域 $E_\gamma$ 与 $D$ 的交集 $E_\gamma \cap D=D_\gamma$（图21－43）上恒可积．

![图片](/uploads/2025-10/b46c71.jpg){width=300px}

令

$$
d_\gamma=\inf \left\{\sqrt{x^2+y^2} \mid(x, y) \in \gamma\right\} .
$$

若极限

$$
\lim _{d_\gamma \rightarrow+\infty} \iint_{D_\gamma} f(x, y) \mathrm{d} \sigma
$$

存在且有限，且与 $\gamma$ 的取法无关，则称 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的反常二重积分**收敛**，并记

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\lim _{d_y \rightarrow+\infty} \iint_{D_y} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, ...(1)
$$

否则称 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的反常二重积分发散，或简称
$\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ **发散**．

**定理 21．17** 设在无界区域 $D$ 上 $f(x, y) \geqslant 0, \gamma_1$ ， $\gamma_2, \cdots, \gamma_n, \cdots$ 为一列包围原点的光滑封闭曲线序列，满足
（i）$d_n=\inf \left\{\sqrt{x^2+y^2} \mid(x, y) \in \gamma_n\right\} \rightarrow+\infty \quad(n \rightarrow \infty)$ ，
（ii）$I=\sup _n \iint_{D_n} f(x, y) \mathrm{d} \sigma<+\infty$ ，
其中 $D_n$ 为 $\gamma_n$ 所围的有界区域 $E_n$ 与 $D$ 的交集，则反常二重积分（1）收敛，并且

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=I .
$$

证 设 $\gamma^{\prime}$ 为任何包围原点的光滑封闭曲线，这曲线所围的区域记为 $E^{\prime}$ ，并记 $D^{\prime}= E^{\prime} \cap D$ ．因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} d_n=+\infty$ ，因此存在 $n$ ，使得 $D^{\prime} \subset D_n \subset D$ ．由于 $f(x, y) \geqslant 0$ ，所以有

$$
\iint_{D^{\prime}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leqslant \iint_{D_n} f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leqslant I .
$$

另一方面，因为

$$
I=\sup _n \iint_{D_n} f(x, y) \mathrm{d} \sigma
$$

对于任给的 $\varepsilon>0$ ，总有 $n_0$ ，使得

$$
\iint_{D_{n_0}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma>I-\varepsilon
$$

对于充分大的 $d^{\prime}$ ，区域 $D^{\prime}$ 又可包含 $D_{n_0}$ ，因而

$$
\iint_{D^{\prime}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma>I-\varepsilon
$$

由

$$
I-\varepsilon<\iint_{D^{\prime}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leqslant I
$$

知 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的反常二重积分存在，且等于 $I$ ．
由定理 21．17 容易看到：若在 $D$ 上 $f(x, y) \geqslant 0$ ，且它在 $D$ 的任何有界子区域上可积且积分值有界，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的反常二重积分存在．反过来，若 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的反
常二重积分存在，则 $f(x, y)$ 在 $D$ 的任何有界子区域上的积分有上界．

**定理 21.18** 若在无界区域 $D$ 上 $f(x, y) \geqslant 0$ ，则反常二重积分（1）收敛的充要条件是：在 $D$ 的任何有界子区域上 $f(x, y)$ 可积，且积分值有上界．

`例` 证明反常二重积分

$$
\iint_D \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma
$$

收敛，其中 $D$ 为第一象限部分，即 $D=[0,+\infty) \times[0,+\infty)$ 。
证 设 $D_R$ 是以原点为圆心、半径为 $R$ 的圆与 $D$ 的交集，即该圆的第一象限部分．因为 $\mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)}>0$ ，所以二重积分

$$
\iint_{D_R} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma
$$

的值随着 $R$ 的增大而增大．由于

$$
\iint_{D_R} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^R \mathrm{e}^{-r^2} r \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{4}\left(1-\mathrm{e}^{-R^2}\right),
$$

所以

$$
\lim _{R \rightarrow+\infty} \iint_{D_R} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma=\lim _{R \rightarrow+\infty} \frac{\pi}{4}\left(1-\mathrm{e}^{-R^2}\right)=\frac{\pi}{4} .
$$

显然对 $D$ 的任何有界子区域 $D^{\prime}$ ，总存在足够大的 $R$ ，使得 $D^{\prime} \subset D_R$ ，于是

$$
\iint_{D^{\prime}} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma \leqslant \iint_{D_R} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma \leqslant \frac{\pi}{4} .
$$

因此由定理 21.18 反常二重积分

$$
\iint_D \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma
$$

收敛，并且由定理 21.17 有

$$
\iint_D \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma=\frac{\pi}{4} ...(2)
$$

由（2）式还可推出在概率论中经常用到的反常积分

$$
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x
$$

的值．为此，考察 $S_a=[0, a] \times[0, a]$ 上的积分

$$
\iint_{S_a} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma .
$$

因为

$$
\iint_{S_a} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma=\int_0^a \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x \int_0^a \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y=\left(\int_0^a \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x\right)^2 .
$$

由 $D_a \subset S_a \subset D_{\sqrt{2} a}$（图 21－44）知

![图片](/uploads/2025-10/c2ae22.jpg)
 
 
 
$$
\iint_{D_a} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma \leqslant \iint_{S_a} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma
$$

$$
=\left(\int_0^a \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x\right)^2 \leqslant \iint_{D_{\sqrt{2} a}} \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma
$$

令 $a \rightarrow+\infty$ ，则得

$$
\lim _{a \rightarrow+\infty}\left(\int_0^a \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x\right)^2=\iint_D \mathrm{e}^{-\left(x^2+y^2\right)} \mathrm{d} \sigma=\frac{\pi}{4}
$$

所以

$$
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$

## 二、无界函数的二重积分
定义2 设 $P$ 为有界区域 $D$ 的一个聚点，$f(x, y)$ 在 $D$ 上除点 $P$ 外皆有定义，且在$P$ 的任何空心邻域内无界，$\Delta$ 为 $D$ 中任何含有 $P$ 的小区域，$f(x, y)$ 在 $D-\Delta$ 上可积．又设 $d$ 表示 $\Delta$ 的直径，即

$$
d=\sup \left\{\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2} \mid\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right) \in \Delta\right\} .
$$

若极限

$$
\lim _{d \rightarrow 0} \iint_{D=-\Delta} f(x, y) \mathrm{d} \sigma
$$

存在且有限，并且与 $\Delta$ 的取法无关，则称 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的反常二重积分收敛，记作

$$
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\lim _{d \rightarrow 0} \iint_{D-\Delta} f(x, y) \mathrm{d} \sigma,
$$

否则称 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的反常二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 发散．
与无界区域上反常二重积分一样，对无界函数的反常二重积分也可建立相应的收敛性定理．

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