最后更新: 2025-10-22 15:18 查看: 64 次纠错评论(0) 课件开VIP

二重积分的变量变换公式证明与举例

## 二重积分的变量变换公式

在定积分的计算中，我们得到了如下结论：设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，$x=\varphi(t)$ 当 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，严格单调地从 $a$ 变到 $b$ ，且 $\varphi(t)$ 连续可微，则

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t ...(1)
$$

当 $\alpha<\beta$（即 $\varphi^{\prime}(t)>0$ ）时，记 $X=[a, b], Y=[\alpha, \beta]$ ，则 $X=\varphi(Y), Y=\varphi^{-1}(X)$ 。利用这些记号，公式（1）又可写成

$$
\int_X f(x) \mathrm{d} x=\int_{\varphi^{-1}(X)} f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t ...(2)
$$

当 $\alpha>\beta$（即 $\varphi^{\prime}(t)<0$ ）时，（1）式可写成

$$
\int_X f(x) \mathrm{d} x=-\int_{\varphi^{-1}(X)} f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t ...(3)
$$

故当 $\varphi(t)$ 为严格单调且连续可微时，（2）式和（3）式可统一写成如下的形式：

$$
\int_X f(x) \mathrm{d} x=\int_{\varphi^{-1}(X)} f(\varphi(t))\left|\varphi^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t ...(4)
$$

下面我们把公式（4）推广到二重积分的场合．为此，先给出下面的引理．

### 引理

设变换 $T: x=x(u, v), y=y(u, v)$ 将 $u v$ 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 $\Delta$ 一对一地映成 $x y$ 平面上的闭区域 $D$ ，函数 $x(u, v), y(u, v)$ 在 $\Delta$ 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
$$
J(u, v)=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \neq 0, \quad(u, v) \in \Delta,
$$

则区域 $D$ 的面积

$$
\mu(D)=\iint_{\Delta}|J(u, v)| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v ...(5)
$$

**证** 下面给出当 $y(u, v)$ 在 $\Delta$ 内具有二阶连续偏导数时的证明．对 $y(u, v)$ 具有一阶连续偏导数条件下的证明见以前证明．

由于 $T$ 是一对一变换，且 $J(u, v) \neq 0$ ，因而 $T$ 把 $\Delta$ 的内点变为 $D$ 的内点，所以 $\Delta$ 的按段光滑边界曲线 $L_{\Delta}$ 变换到 $D$ 时，其边界曲线 $L_D$ 也是按段光滑的。

设曲线 $L_{\Delta}$ 的参数方程为

$$
u=u(t), \quad v=v(t) \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta) .
$$

由于 $L_{\Delta}$ 按段光滑，所以 $u^{\prime}(t), v^{\prime}(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上至多除去有限个第一类间断点外，在其他的点上都连续．因为 $L_D=T\left(L_{\Delta}\right)$ ，所以 $L_D$ 的参数方程为

$$
\begin{aligned}
& x=x(t)=x(u(t), v(t)), \\
& y=y(t)=y(u(t), v(t))
\end{aligned} \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta) .
$$

若规定 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，对应于 $L_D$ 的正向，则根据格林公式，取 $P(x, y)=0$ ， $Q(x, y)=x$ ，有

$$
\begin{aligned}
\mu(D) & =\oint_{L_D} x \mathrm{~d} y=\int_\alpha^\beta x(t) y^{\prime}(t) \mathrm{d} t \\
& =\int_\alpha^\beta x(u(t), v(t))\left[\frac{\partial y}{\partial u} u^{\prime}(t)+\frac{\partial y}{\partial v} v^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t ...(6)
\end{aligned}
$$

另一方面，在 $u v$ 平面上

$$
\begin{aligned}
& \oint_{L_{\Delta}} x(u, v)\left[\frac{\partial y}{\partial u} \mathrm{~d} u+\frac{\partial y}{\partial v} \mathrm{~d} v\right] \\
= & \pm \int_\alpha^\beta x(u(t), v(t))\left[\frac{\partial y}{\partial u} u^{\prime}(t)+\frac{\partial y}{\partial v} v^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t, ...(7)
\end{aligned}
$$

其中正号及负号分别由 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，是对应于 $L_{\Delta}$ 的正方向或负方向所决定．由 （6）及（7）式得到

$$
\begin{aligned}
\mu(D) & = \pm \oint_{L_{\Delta}} x(u, v)\left[\frac{\partial y}{\partial u} \mathrm{~d} u+\frac{\partial y}{\partial v} \mathrm{~d} v\right] \\
& = \pm \oint_{L_{\Delta}} x(u, v) \frac{\partial y}{\partial u} \mathrm{~d} u+x(u, v) \frac{\partial y}{\partial v} \mathrm{~d} v
\end{aligned}
$$

令 $P(u, v)=x(u, v) \frac{\partial y}{\partial u}, Q(u, v)=x(u, v) \frac{\partial y}{\partial v}$ ，在 $u v$ 平面上对上式应用格林公式，得到

$$
\mu(D)= \pm \iint_{\Delta}\left(\frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}\right) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v .
$$

由于函数 $y(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，即有 $\frac{\partial^2 y}{\partial u \partial v}=\frac{\partial^2 y}{\partial v \partial u}$ ，因此，$\frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}=J(u, v)$ ，于是

$$
\mu(D)= \pm \iint_{\Delta} J(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v .
$$

又因为 $\mu(D)$ 总是非负的，而 $J(u, v)$ 在 $\Delta$ 上不为零且连续，故其函数值在 $\Delta$ 上不变号，所以

$$
\boxed{
\mu(D)=\iint_{\Delta}|J(u, v)| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v
}
$$

## 定理

定理 21．13 设 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上可积，变换 $T: x=x(u, v), y=y(u, v)$ 将 $u v$ 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 $\Delta$ 一对一地映成 $x y$ 平面上的闭区域 $D$ ，函数 $x(u, v), y(u, v)$ 在 $\Delta$ 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式

$$
J(u, v)=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \neq 0, \quad(u, v) \in \Delta,
$$

则

$$
\boxed{
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Delta} f(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v
}
$$

证 用曲线网把 $\Delta$ 分成 $n$ 个小区域 $\Delta_i$ ，在变换 $T$ 作用下，区域 $D$ 也相应地被分成 $n$ 个小区域 $D_i$ ．记 $\Delta_i$ 及 $D_i$ 的面积为 $\mu\left(\Delta_i\right)$ 及 $\mu\left(D_i\right)(i=1,2, \cdots, n)$ ．由引理及二重积分中值定理，有

$$
\mu\left(D_i\right)=\iint_{\Delta_i}|J(u, v)| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v=\left|J\left(\bar{u}_i, \bar{v}_i\right)\right| \mu\left(\Delta_i\right)
$$

其中 $\left(\bar{u}_i, \bar{v}_i\right) \in \Delta_i(i=1,2, \cdots, n)$ ．
令 $\xi_i=x\left(\bar{u}_i, \bar{v}_i\right), \eta_i=y\left(\bar{u}_i, \bar{v}_i\right)$ ，则 $\left(\xi_i, \eta_i\right) \in D_i(i=1,2, \cdots, n)$ 。作二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的积分和

$$
\begin{aligned}
\sigma & =\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \mu\left(D_i\right) \\
& =\sum_{i=1}^n f\left(x\left(\bar{u}_i, \bar{v}_i\right), y\left(\bar{u}_i, \bar{v}_i\right)\right)\left|J\left(\bar{u}_i, \bar{v}_i\right)\right| \mu\left(\Delta_i\right)
\end{aligned}
$$

上式右边的和式是 $\Delta$ 上可积函数 $f(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)|$ 的积分和．又由变换 $T$的连续性可知，当区域 $\Delta$ 的分割 $T_{\Delta}:\left\{\Delta_1, \Delta_2, \cdots, \Delta_n\right\}$ 的细度 $\left\|T_{\Delta}\right\| \rightarrow 0$ 时，区域 $D$ 相应的分割 $T_D:\left\{D_1, D_2, \cdots, D_n\right\}$ 的细度 $\left\|T_D\right\|$ 也趋于零。因此得到

$$
\boxed{
\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Delta} f(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v .
}
$$

## 变量代换公式的证明2（谢惠民版）

设映射 $x=x(u, v), y=y(u, v)$ 在定义域 $D_{u v}$ 上连续可微，且是从 $D_{u v}$ 到 $D_{x y}$ 的一一映射，其 Jacobi 行列式的绝对值在 $D_{u v}$ 上处处有

$$
J=\left|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right| \neq 0
$$

又设 $D_{u v}$ 为零边界的有界闭集，则当 $f(x, y)$ 是 $D_{x y}$ 上的连续函数时，成立以下二重积分的变量代换公式：

$$
\iint_{D_{x y}} f(x, y) d x d y=\iint_{D_{u v}} f(x(u, v), y(u, v)) J d u d v
$$

证  记复合函数 $f(x(u, v), y(u, v))=F(u, v)$ ，则从条件可知 $F$ 于有界闭集 $D_{u v}$上连续，因此一致连续．于是对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall\left(u_1, v_1\right),\left(u_2, v_2\right) \in D_{u v}$ ，只要 $\sqrt{\left(u_1-u_2\right)^2+\left(v_1-v_2\right)^2}<\delta$ ，就成立

$$
\left|F\left(u_1, v_1\right)-F\left(u_2, v_2\right)\right|<\varepsilon
$$

在 $u v$ 平面上用平行于坐标轴的两族平行直线将有界闭集 $D_{u v}$ 分划为有限个直径均小于 $\delta$ 的子集，记为 $d_i, i=1, \cdots, m$ ．又将 $d_i$ 在映射 $x=x(u, v), y=y(u, v)$下的像，即 $x y$ 平面上的子集，记为 $D_i$ ．（在图 2 中作出了完全落在 $D_{u v}$ 内的小矩形映射到 $D_{x y}$ 内的一个曲边四边形的情况，对于含有边界点的其他子集的情况是类似的．）
 ![图片](/uploads/2025-02/862459.jpg)
 
 现在对于变量代换公式两边的积分之差的绝对值作如下估计：

$$
\begin{aligned}
\Delta & =\left|\iint_{D_{u v}} F(u, v) J(u, v) d u d v-\iint_{D_{x y}} f(x, y) d x d y\right| \\
& \leqslant \sum_{i=1}^m\left|\iint_{d_i} F(u, v) J(u, v) d u d v-\iint_{D_i} f(x, y) d x d y\right|
\end{aligned}
$$

（对上述和式中的每个积分用积分中值定理，这时 $J$ 的非负性起了作用，）

$$
=\sum_{i=1}^m\left|F\left(s_i, t_i\right) \iint_{d_i} J(u, v) d u d v-f\left(\xi_i, \eta_i\right) \cdot\right| D_i| |
$$

（利用前面例题 3 中的结论，就有 $\iint_{d_i} J(u, v) d u d v=\left|D_i\right|$ ）

$$
=\sum_{i=1}^m\left|F\left(s_i, t_i\right)-f\left(\xi_i, \eta_i\right)\right| \cdot\left|D_i\right|
$$

（利用 $D_i$ 是 $d_i$ 的像，存在 $\left(s_i^{\prime}, t_i^{\prime}\right) \in d_i$ ，使得有 $\xi_i=x\left(s_i^{\prime}, t_i^{\prime}\right), \eta_i=y\left(s_i^{\prime}, t_i^{\prime}\right)$ ）

$$
=\sum_{i=1}^m\left|F\left(s_i, t_i\right)-F\left(s_i^{\prime}, t_i^{\prime}\right)\right| \cdot\left|D_i\right| \leqslant \varepsilon\left|D_{x y}\right|
$$

最后利用 $\varepsilon$ 可以任意小，这样就证明了 $\Delta=0$ ．

### 极坐标变换
注 上述公式将左边关于 $x, y$ 的二重积分转化右边为关于 $u, v$ 的二重积分．这里要做三件事：（1）将 $d x d y$ 变为 $J d u d v ;(2)$ 将被积函数 $f(x, y)$ 变为复合函数 $f(x(u, v), y(u, v)) ;(3)$ 将积分区域从 $D_{x y}$ 变为 $D_{u v}$ ．

对于二重积分的变量代换来说，最常用的是极坐标变换：$x=r \cos \theta$ ， $y=r \sin \theta$ ．这时的 Jacobi 行列式为

$$
J=\left|\begin{array}{cc}
x_r & x_\theta \\
y_r & y_\theta
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
\cos \theta & -r \sin \theta \\
\sin \theta & r \cos \theta
\end{array}\right|=r,
$$
由于一般设 $r \geqslant 0$ ，这里不需要再取绝对值．这个结果应当记住，即将 $d x d y$ 变为 $r d r d \theta$ 。

![图片](/uploads/2025-02/c1fcb8.jpg)

> 注 Jacobi 行列式的绝对值 $J$ 就是变量代换下面积的缩小放大比例系数。从图10可见，在 $r \theta$ 平面上相同的小矩形，面积都是 $\Delta r \Delta \theta$ ，但映射到 $x y$ 平面时得到的＂曲边矩形＂的面积是随着 $r$ 而变化的．因此这是解释 $J$ 的意义的一个好例子．

在证明变量代换公式之前先举例说明其用法．注意在用变量代换公式时要考虑三点，即积分区域，被积函数和 Jacobi 行列式（取绝对值）．

`例`求二重积分 $I=\iint_{D_R} e ^{-\left(x^2+y^2\right)} d x d y$ ，其中积分区域 $D_R=\{(x, y) \mid$ $\left.x^2+y^2 \leqslant R^2\right\}$ ．

解 这是不能用二次积分方法求积的典型例子．采用极坐标代换，则 $D_{r \theta}$ 就成为简单的 $[0, R] \times[0,2 \pi]$（这是 $r \theta$ 平面上的矩形）．利用前面已经得到的 $J=r$ ，就容易求出

$$
I=\int_0^R \int_0^{2 \pi} e^{-r^2} r d r d \theta=-\left.\frac{1}{2} e^{-r^2}\right|_0 ^R \cdot 2 \pi=\pi\left(1-e^{-R^2}\right)
$$

`例`求半径为 $R$ 的球面积
解 1 （这里不需要用变量代换公式）
写出球面的球面坐标方程

$$
x=R \sin \varphi \cos \theta, y=R \sin \varphi \sin \theta, z=R \cos \varphi, \quad 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi
$$

计算出

$$
\begin{aligned}
r _{\varphi} & =(R \cos \varphi \cos \theta, R \cos \varphi \sin \theta,-R \sin \varphi) \\
r _\theta & =(-R \sin \varphi \sin \theta, R \sin \varphi \cos \theta, 0)
\end{aligned}
$$

就可以得到 $E=R^2, F=0, G=R^2 \sin ^2 \varphi$ ，因此有

$$
\sqrt{E G-F^2}=R^2 \sin \varphi
$$

然后计算积分得到

$$
S=\int_0^{2 \pi} \int_0^\pi R^2 \sin \varphi d \theta d \varphi=4 \pi R^2
$$

**注 思考题：对于用球面坐标时的缩放系数 $R^2 \sin \varphi$ 作出几何解释．**

解 2 用直角坐标方程 $z= \pm \sqrt{R^2-x^2-y^2}$ ，则只要计算第一挂限中的球面面积乘 8 ．其定义域为 $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant R^2, x, y \geqslant 0\right\}$ 。求出 $z_x=-x / z$ ， $z_y=-y / z$ ，于是有 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=R / z$ ，即需要计算积分

$$
S=8 \iint_{\substack{x^2+y^2 \leqslant R^2 \\ x, y \geqslant 0}} \frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}} d x d y
$$

为此用极坐标变换，则有

$$
S=8 R \int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^R \frac{r d r}{\sqrt{R^2-r^2}}=\left.4 \pi R\left(-\sqrt{R^2-r^2}\right)\right|_0 ^R=4 \pi R^2
$$

注 在解 2 中的定义域边界邻近偏导数 $z_x, z_y$ 可以无界，从而导致二重广义积分的计算，用极坐标变换后仍然是广义积分，但计算没有困难。

`例` 求椭球体 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \leqslant 1$ 的体积．
解 由对称性只要求出在第一挂限的体积乘以 8 ．于是有
$$
V=8 \iint_{\substack{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leqslant 1 \\ x, y \geqslant 0}} c \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} d x d y,
$$

这时最合适的是广义极坐标变换 $x=a r \cos \theta, y=b r \sin \theta, 0 \leqslant r \leqslant 1,0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}$ ．可以先计算出 Jacobi 行列式为 $J=a b r$ ，于是就有

$$
V=8 \int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^1 c \sqrt{1-r^2} a b r d r=\left.4 a b c \pi \cdot\left(-\frac{1}{3}\left(1-r^2\right)^{\frac{3}{2}}\right)\right|_0 ^1=\frac{4}{3} a b c \pi .
$$

`例` 求 $\iint_D \mathrm{e}^{\frac{x-y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域（图21－21）．

![图片](/uploads/2025-10/bebc6a.jpg)
 
 
解 为了简化被积函数，令 $u=x-y, v=x+y$ 。为此作变换 $T: x=\frac{1}{2}(u+v)$ ， $y=\frac{1}{2}(v-u)$ ，则

$$
J(u, v)=\left|\begin{array}{cc}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{array}\right|=\frac{1}{2}>0 .
$$

在变换 $T$ 的作用下，区域 $D$ 的原象 $\Delta$ 如图 21－22 所示．所以

![图片](/uploads/2025-10/9d51d2.jpg)
 
 $$
 \begin{aligned}
\iint_D \mathrm{e}^{\frac{x-y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{\Delta} \mathrm{e}^{\frac{u}{v}} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\frac{1}{2} \int_0^1 \mathrm{~d} v \int_{-v}^v \mathrm{e}^{\frac{u}{v}} \mathrm{~d} u \\
& =\frac{1}{2} \int_0^1 v\left(\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-1}\right) \mathrm{d} v=\frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{-1}}{4} .
\end{aligned}
$$

`例`  求抛物线 $y^2=m x, y^2=n x$ 和直线 $y=\alpha x, y=\beta x$ 所围区域 $D$ 的面积 $\mu(D) \quad(0<m<n, 0<\alpha<\beta)$ ．

解 $D$ 的面积

$$
\mu(D)=\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$

为了简化积分区域，作变换

$$
x=\frac{u}{v^2}, \quad y=\frac{u}{v} .
$$

它把 $x y$ 平面上的区域 $D$（图21－23中的阴影部分）对应到 $u v$ 平面上的矩形区域 $\Delta=[m, n] \times[\alpha, \beta]$ ．

![图片](/uploads/2025-10/7bb91d.jpg)
 
 $$
J(u, v)=\left|\begin{array}{ll}
\frac{1}{v^2} & -\frac{2 u}{v^3} \\
\frac{1}{v} & -\frac{u}{v^2}
\end{array}\right|=\frac{u}{v^4}>0, \quad(u, v) \in \Delta,
$$

所以

$$
\begin{aligned}
\mu(D) & =\iint_D \mathrm{~d} \sigma=\iint_{\Delta} \frac{u}{v^4} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v \\
& =\int_\alpha^\beta \frac{\mathrm{d} v}{v^4} \cdot \int_m^n u \mathrm{~d} u=\frac{\left(n^2-m^2\right)\left(\beta^3-\alpha^3\right)}{6 \alpha^3 \beta^3} .
\end{aligned}
$$

由于

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