最后更新: 2025-10-22 15:18 查看: 28 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二重积分的变量变换公式证明与举例

## 二重积分的变量变换公式

在定积分的计算中，我们得到了如下结论：设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，$x=\varphi(t)$ 当 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，严格单调地从 $a$ 变到 $b$ ，且 $\varphi(t)$ 连续可微，则

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t ...(1)
$$

当 $\alpha<\beta$（即 $\varphi^{\prime}(t)>0$ ）时，记 $X=[a, b], Y=[\alpha, \beta]$ ，则 $X=\varphi(Y), Y=\varphi^{-1}(X)$ 。利用这些记号，公式（1）又可写成

$$
\int_X f(x) \mathrm{d} x=\int_{\varphi^{-1}(X)} f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t ...(2)
$$

当 $\alpha>\beta$（即 $\varphi^{\prime}(t)<0$ ）时，（1）式可写成

$$
\int_X f(x) \mathrm{d} x=-\int_{\varphi^{-1}(X)} f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t ...(3)
$$

故当 $\varphi(t)$ 为严格单调且连续可微时，（2）式和（3）式可统一写成如下的形式：

$$
\int_X f(x) \mathrm{d} x=\int_{\varphi^{-1}(X)} f(\varphi(t))\left|\varphi^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t ...(4)
$$

下面我们把公式（4）推广到二重积分的场合．为此，先给出下面的引理．

### 引理

设变换 $T: x=x(u, v), y=y(u, v)$ 将 $u v$ 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 $\Delta$ 一对一地映成 $x y$ 平面上的闭区域 $D$ ，函数 $x(u, v), y(u, v)$ 在 $\Delta$ 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式
$$
J(u, v)=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \neq 0, \quad(u, v) \in \Delta,
$$

则区域 $D$ 的面积

$$
\mu(D)=\iint_{\Delta}|J(u, v)| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v ...(5)
$$

**证** 下面给出当 $y(u, v)$ 在 $\Delta$ 内具有二阶连续偏导数时的证明．对 $y(u, v)$ 具有一阶连续偏导数条件下的证明见以前证明．

由于 $T$ 是一对一变换，且 $J(u, v) \neq 0$ ，因而 $T$ 把 $\Delta$ 的内点变为 $D$ 的内点，所以 $\Delta$ 的按段光滑边界曲线 $L_{\Delta}$ 变换到 $D$ 时，其边界曲线 $L_D$ 也是按段光滑的。

设曲线 $L_{\Delta}$ 的参数方程为

$$
u=u(t), \quad v=v(t) \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta) .
$$

由于 $L_{\Delta}$ 按段光滑，所以 $u^{\prime}(t), v^{\prime}(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上至多除去有限个第一类间断点外，在其他的点上都连续．因为 $L_D=T\left(L_{\Delta}\right)$ ，所以 $L_D$ 的参数方程为

$$
\begin{aligned}
& x=x(t)=x(u(t), v(t)), \\
& y=y(t)=y(u(t), v(t))
\end{aligned} \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta) .
$$

若规定 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，对应于 $L_D$ 的正向，则根据格林公式，取 $P(x, y)=0$ ， $Q(x, y)=x$ ，有

$$
\begin{aligned}
\mu(D) & =\oint_{L_D} x \mathrm{~d} y=\int_\alpha^\beta x(t) y^{\prime}(t) \mathrm{d} t \\
& =\int_\alpha^\beta x(u(t), v(t))\left[\frac{\partial y}{\partial u} u^{\prime}(t)+\frac{\partial y}{\partial v} v^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t ...(6)
\end{aligned}
$$

另一方面，在 $u v$ 平面上

$$
\begin{aligned}
& \oint_{L_{\Delta}} x(u, v)\left[\frac{\partial y}{\partial u} \mathrm{~d} u+\frac{\partial y}{\partial v} \mathrm{~d} v\right] \\
= & \pm \int_\alpha^\beta x(u(t), v(t))\left[\frac{\partial y}{\partial u} u^{\prime}(t)+\frac{\partial y}{\partial v} v^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t, ...(7)
\end{aligned}
$$

其中正号及负号分别由 $t$ 从 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，是对应于 $L_{\Delta}$ 的正方向或负方向所决定．由 （6）及（7）式得到

$$
\begin{aligned}
\mu(D) & = \pm \oint_{L_{\Delta}} x(u, v)\left[\frac{\partial y}{\partial u} \mathrm{~d} u+\frac{\partial y}{\partial v} \mathrm{~d} v\right] \\
& = \pm \oint_{L_{\Delta}} x(u, v) \frac{\partial y}{\partial u} \mathrm{~d} u+x(u, v) \frac{\partial y}{\partial v} \mathrm{~d} v
\end{aligned}
$$

令 $P(u, v)=x(u, v) \frac{\partial y}{\partial u}, Q(u, v)=x(u, v) \frac{\partial y}{\partial v}$ ，在 $u v$ 平面上对上式应用格林公式，得到

$$
\mu(D)= \pm \iint_{\Delta}\left(\frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}\right) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v .
$$

由于函数 $y(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，即有 $\frac{\partial^2 y}{\partial u \partial v}=\frac{\partial^2 y}{\partial v \partial u}$ ，因此，$\frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}=J(u, v)$ ，于是

$$
\mu(D)= \pm \iint_{\Delta} J(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v .
$$

又因为 $\mu(D)$ 总是非负的，而 $J(u, v)$ 在 $\Delta$ 上不为零且连续，故其函数值在 $\Delta$ 上不变号，所以

$$
\boxed{
\mu(D)=\iint_{\Delta}|J(u, v)| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v
}
$$

## 定理

定理

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