最后更新: 2025-02-01 21:03 查看: 11 次反馈刷题

一般区域上二重积分的计算

二．一般区域上二重积分的计算
主要考虑两种典型区域，即图1与图2中所示区域．可分别称为 $x$ 型区域和 $y$型区域．对于其他区域可以用分解为这两种区域的并来处理．
 ![图片](/uploads/2025-02/0ef06a.jpg)
 
 设闭区域 $D$ 具有图 1 所示的形式，也就是

$$
D=\left\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, y_1(x) \leqslant y \leqslant y_2(x)\right\}
$$

其中 $y_1(x), y_2(x)$ 是在 $[a, b]$ 上的两个连续函数，且处处有 $y_1(x) \leqslant y_2(x)$ ．今后称该区域为 $x$ 型区域。

设函数 $f$ 在 $D$ 上可积．如图 1 所示，取闭矩形 $A=[a, b] \times[c, d] \supset D$ ，定义 $f$在 $A$ 上的零扩张

$$
F(x, y)=\left\{\begin{aligned}
f(x, y), & (x, y) \in D \\
0, & (x, y) \in A-D
\end{aligned}\right.
$$

根据定义有

$$
\iint_D f(x, y) d x d y=\iint_A F(x, y) d x d y
$$

若 $f$ 在 $D$ 上连续，则对每个固定的 $x \in[a, b], F(x, y)$ 作为 $y$ 的函数至多只有两个间断点，因此存在 $\int_c^d F(x, y) d y$ ．这样就可以用矩形上二重积分转化为先 $y$ 后 $x$ 的二次积分，即有

$$
\iint_A F(x, y) d x d y=\int_a^b d x \int_c^d F(x, y) d y
$$

利用对积分区间的可加性，就有

$$
\int_c^d F(x, y) d y=\int_a^{y_1(x)} F(x, y) d y+\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} F(x, y) d y+\int_{y_2(x)}^d F(x, y) d y
$$

由于右边的第一个和第三个积分为 0 ，这就得到对这类区域的二重积分计算公式：

$$
\iint_D f(x, y) d x d y=\int_a^b d x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) d y
$$

对称地可以举出图 2 中所示的另一类区域，即

$$
D=\left\{(x, y) \mid c \leqslant y \leqslant d, x_1(y) \leqslant x \leqslant x_2(y)\right\}
$$

其中 $x_1(y), x_2(y)$ 是在 $[c, d]$ 上的两个连续函数，且处处成立 $x_1(y) \leqslant x_2(y)$ ，今后称为 $y$ 型区域。

用完全相同的方法，当 $f$ 在 $D$ 上可积时，可以导出下列计算公式：

$$
\iint_D f(x, y) d x d y=\int_c^d d y \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x, y) d x
$$

以下是举例。
例题 0.1 求积分 $I=\iint_D(2-x-y) d x d y$ ，其中 $D$ 由 $y=x, y=x^2$ 围成．
解 首先要作出积分区域的草图，如下面的图3（a）所示．这对于确定积分限是必要的步骤。

由于区域 $D$ 同时为 $x$ 型区域和 $y$ 型区域，因此可以用两种方法来计算．
 ![图片](/uploads/2025-02/72db67.jpg)
 
 作为 $x$ 型区域可计算如下：

$$
\begin{aligned}
I & =\int_0^1 d x \int_{x^2}^x(2-x-y) d y=\left.\int_0^1\left(2 y-x y-\frac{y^2}{2}\right)\right|_{y=x^2} ^{y=x} d x \\
& =\int_0^1\left(2 x-x^2-\frac{x^2}{2}-2 x^2+x^3+\frac{x^4}{2}\right) d x=\int_0^1\left(2 x-\frac{7}{2} x^2+x^3+\frac{x^4}{2}\right) d x \\
& =\left.\left(x^2-\frac{7}{6} x^3+\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{10}\right)\right|_0 ^1=-\frac{1}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{10} \\
& =\frac{1}{60}(-10+15+6)=\frac{11}{60} .
\end{aligned}
$$

作为 $y$ 区域则可计算如下：

$$
\begin{aligned}
I & =\int_0^1 d y \int_y^{\sqrt{y}}(2-x-y) d x=\left.\int_0^1\left(2 x-\frac{x^2}{2}-x y\right)\right|_{x=y} ^{x=\sqrt{y}} d y \\
& =\int_0^1\left(2 \sqrt{y}-\frac{y}{2}-y^{3 / 2}-2 y+\frac{y^2}{2}+y^2\right) d y=\int_0^1\left(2 y^{1 / 2}-\frac{5}{2} y-y^{3 / 2}+\frac{3}{2} y^2\right) d y \\
& =\left.\left(\frac{4}{3} y^{3 / 2}-\frac{5}{4} y^2-\frac{2}{5} y^{5 / 2}+\frac{1}{2} y^3\right)\right|_0 ^1=\frac{4}{3}-\frac{5}{4}-\frac{2}{5}+\frac{1}{2} \\
& =\frac{1}{60}(80-75-24+30)=\frac{11}{60} .
\end{aligned}
$$

注 利用重积分关于被积函数的线性性质，又利用被积函数的特性，可以如下计算：

$$
\begin{aligned}
I & =2|D|-\int_0^1 x d x \int_{x^2}^x d y-\int_0^1 y d y \int_y^{\sqrt{y}} d x \\
& =\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{2}{5}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{60}(15-24+20)=\frac{11}{60} .
\end{aligned}
$$

例题 0.2 求由 $z=x y, z=x+y, x+y=1, x=0, y=0$ 所围成的空间区域的体积。

解 先考虑后三个方程，即三个平行于 $z$ 轴的平面，因此围成母线平行于 $z$ 轴的柱体，它没有顶和底。该柱体在 $x O y$ 坐标面上的投影就是三角形 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ， $x+y \leqslant 1$ ．将这个三角形记为 $D$ ．在此范围内有

$$
0 \leqslant x y \leqslant \frac{1}{4}(x+y)^2 \leqslant x+y
$$

![图片](/uploads/2025-02/730cb9.jpg)

于是可以将所关心的空间区域想象成为在上述柱体内由上曲面 $z=x+y$ 和下曲面 $z=x y$ 围成的有界区域。它是具有相同底面的两个曲顶柱体之差，这样就有

$$
\begin{aligned}
V & =\iint_D(x+y-x y) d x d y \\
& =\int_0^1 d x \int_0^{1-x}(x+y-x y) d y \\
& =\left.\int_0^1\left(x y+(1-x) \frac{1}{2} y^2\right)\right|_0 ^{y=1-x} d x \\
& =\int_0^1\left[x(1-x)+\frac{1}{2}(1-x)^3\right] d x \\
& =\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{8}=\frac{1}{24}(12-8+3)=\frac{7}{24} .
\end{aligned}
$$
 ![图片](/uploads/2025-02/1f4bcd.jpg)

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