最后更新: 2025-10-22 13:00 查看: 132 次纠错评论(0) 课件开VIP

二重积分计算举例

## 二重积分计算举例

`例`求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积 $V$ ．
解 设圆柱底面半径为 $a$ ，两个圆柱方程为

$$
x^2+y^2=a^2 \quad \text { 与 } \quad x^2+z^2=a^2 \text {. }
$$

利用对称性，只要求出在第一卦限（即 $x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0$ ）部分（见第十章图 $10-10$ ）的体积，然后再乘以 8 即得所求的体积。第一卦限部分的立体是以 $z=\sqrt{a^2-x^2}$ 为曲顶，以四分之一圆域

$$
D:\left\{\begin{array}{l}
0 \leqslant y \leqslant \sqrt{a^2-x^2} \\
0 \leqslant x \leqslant a
\end{array}\right.
$$

为底的曲顶柱体，所以

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{8} V & =\iint_D \sqrt{a^2-x^2} \mathrm{~d} \sigma=\int_0^a \mathrm{~d} x \int_0^{\sqrt{a^2-x^2}} \sqrt{a^2-x^2} \mathrm{~d} y \\
& =\int_0^a\left(a^2-x^2\right) \mathrm{d} x=\frac{2}{3} a^3
\end{aligned}
$$

于是 $V=\frac{16}{3} a^3$ ．

> 下面这个例题非常经典，几乎所有教程都使用他作为典型例题

`例` 计算 $\iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, D$ 为拋物线 $y^2=x$ 和直线 $y=x-2$ 所围成的闭区域．
**解法一** 化为先对 $y$ 后对 $x$ 的累次积分。这时，区域边界的下部是由两段不同的曲线组成的，因此用直线 $x=1$ 将 $D$ 分为 $D_1=\{(x, y) \mid-\sqrt{x} \leqslant y \leqslant \sqrt{x}, 0 \leqslant x \leqslant 1\}$和 $D_2=\{(x, y) \mid x-2 \leqslant y \leqslant \sqrt{x}, 1 \leqslant x \leqslant 4\}$ 两部分（见下图）。那么

![图片](/uploads/2025-10/158d85.jpg)

$$
\begin{aligned}
& \iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_1} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_2} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
= & \int_0^1 \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} x y \mathrm{~d} y+\int_1^4 \mathrm{~d} x \int_{x-2}^{\sqrt{x}} x y \mathrm{~d} y \\
= & 0+\frac{1}{2} \int_1^4 x\left[x-(x-2)^2\right] \mathrm{d} x=\frac{45}{8} .
\end{aligned}
$$

**解法二** 化为先对 $x$ 后对 $y$ 的累次积分来计算，这时 $D$ 可统一表示为 $\{(x, y) \mid \left.y^2 \leqslant x \leqslant y+2,-1 \leqslant y \leqslant 2\right\}$ ．因此

$$
\iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{-1}^2 \mathrm{~d} y \int_{,_2}^{c^2+2} x y \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{-1}^2 y\left[(y+2)^2-y^4\right] \mathrm{d} y=\frac{45}{8} .
$$

显然，第二种解法较为简单。

`例` 计算柱面 $x^2+z^2=R^2$ 与平面 $y=0$ 和 $y=a(a>0)$ 所围立体的体积（见下图）．
 ![图片](/uploads/2025-10/21fa89.jpg)

解 由对称性，所求立体的体积 $V$ 是该立体在第一卦限部分的体积的 4 倍．而它在第一卦限的部分是以曲面 $z=\sqrt{R^2-x^2}$ 为顶，以 $x y$ 平面上区域 $D= [0, R] \times[0, a]$ 为底的曲顶柱体．因此

$$
\begin{aligned}
V & =4 \iint_D \sqrt{R^2-x^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=4 \int_0^R \mathrm{~d} x \int_0^a \sqrt{R^2-x^2} \mathrm{~d} y \\
& =4 a \int_0^R \sqrt{R^2-x^2} \mathrm{~d} x=a \pi R^2
\end{aligned}
$$

`例` 计算 $\iint_D \sin x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, D$ 为 $y=0, x=\sqrt{\pi / 2}$ 和 $y=x$ 所围成的闭区域（见下图）。

解 若将此积分化为先对 $x$ 后对 $y$ 的累次积分

$$
\iint_D \sin x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_0^{\sqrt{\pi / 2}} \mathrm{~d} y \int_y^{\sqrt{\pi / 2}} \sin x^2 \mathrm{~d} x,
$$

但这个积分是积不出来的。但若化为先对 $y$ 后对 $x$ 的累次
 $$
\iint_D \sin x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_0^{\sqrt{\pi / 2}} \mathrm{~d} x \int_0^x \sin x^2 \mathrm{~d} y=\int_0^{\sqrt{\pi / 2}} x \sin x^2 \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} .
$$

由此可见，适当选取累次积分次序非常重要。

`例`求抛物柱面 $2 y^2=x$ ，平面 $\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+ \frac{z}{2}=1$ 和 $z=0$ 所围立体的体积（见下图）．

![图片](/uploads/2025-10/b2c007.jpg){WIDTH=300PX}
 
 
解 这个立体的顶的方程为 $\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1$ ，即 $z=2-y-\frac{x}{2}$ ，底为 $x y$ 平面上由直线 $\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$ 和抛
 
物线 $2 y^2=x$ 所围成的区域 $D$ ，因此它的体积为

$$
\begin{aligned}
V & =\iint_D\left(2-y-\frac{x}{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-2}^1 \mathrm{~d} y \int_{2 y^2}^{4-2 y}\left(2-y-\frac{x}{2}\right) \mathrm{d} x \\
& =\int_{-2}^1\left(4-4 y-3 y^2+2 y^3+y^4\right) \mathrm{d} y=\frac{81}{10} .
\end{aligned}
$$

`例` 求由 $z=x y, z=x+y, x+y=1, x=0, y=0$ 所围成的空间区域的体积。

解 先考虑后三个方程，即三个平行于 $z$ 轴的平面，因此围成母线平行于 $z$ 轴的柱体，它没有顶和底。该柱体在 $x O y$ 坐标面上的投影就是三角形 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ， $x+y \leqslant 1$ ．将这个三角形记为 $D$ ．在此范围内有

$$
0 \leqslant x y \leqslant \frac{1}{4}(x+y)^2 \leqslant x+y
$$

![图片](/uploads/2025-02/730cb9.jpg)

于是可以将所关心的空间区域想象成为在上述柱体内由上曲面 $z=x+y$ 和下曲面 $z=x y$ 围成的有界区域。它是具有相同底面的两个曲顶柱体之差，这样就有

$$
\begin{aligned}
V & =\iint_D(x+y-x y) d x d y \\
& =\int_0^1 d x \int_0^{1-x}(x+y-x y) d y \\
& =\left.\int_0^1\left(x y+(1-x) \frac{1}{2} y^2\right)\right|_0 ^{y=1-x} d x \\
& =\int_0^1\left[x(1-x)+\frac{1}{2}(1-x)^3\right] d x \\
& =\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{8}=\frac{1}{24}(12-8+3)=\frac{7}{24} .
\end{aligned}
$$
 ![图片](/uploads/2025-02/1f4bcd.jpg)
 
 `例` 求 $I=\iint_D \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是以 $(0,0),(1,1),(0,1)$ 为顶点的闭三角形（见图6）．
 
  ![图片](/uploads/2025-10/de9f6d.jpg)

解 对这个三角形积分区域来说，它既是 $x$ 型区域，也是 $y$ 型区域．但是在先 $y$ 后 $x$ 的二次积分

$$
I=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_x^1 \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y
$$

中的内层积分却无法用 Newton－Leibniz 公式来计算．

然而另一个二次积分的计算却没有任何困难：

$$
I=\int_0^1 \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y \int_0^y \mathrm{~d} x=\int_0^1 y \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y=-\left.\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-y^2}\right|_0 ^1=\frac{1}{2}\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right) .
$$

### 积分区域训练

`例`设函数 $f$ 连续，要求将下面的先 $x$ 后 $y$ 的二次积分

$$
I=\int_0^2 \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{1-(y-1)^2}}^{\sqrt{1-(y-1)^2}} f(x, y) \mathrm{d} x
$$

改为先 $y$ 后 $x$ 的二次积分．
解 先将该二次积分转化为二重积分 $I=\iint_D f$ ，为此只需要确定这时的积分区域 $D$ 是什么．

![图片](/uploads/2025-10/82825a.jpg)
 
 
从内层积分的上下限就可以确定

$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+(y-1)^2 \leqslant 1\right\} .
$$

如上图那样作出 $D$ ，就不难由此写出所求的另一个二次积分为

$$
I=\int_{-1}^1 \mathrm{~d} x \int_{1-\sqrt{1-x^2}}^{1+\sqrt{1-x^2}} f(x, y) \mathrm{d} y .
$$

`例` 求二次积分 $I=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{x}} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y$ ．
解 由于内层积分不能用 Newton－Leibniz 公式求出，因此设法改变积分顺序来计算 $I$ ．为此首先要求出二重积分的积分区域．如左图所示，积分区域是

$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, x \leqslant y \leqslant \sqrt{x}\}
$$

这样就可以得到另一个二次积分并作计算如下：

$$
\begin{aligned}
I & =\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_{y^2}^y \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} x=\int_0^1(1-y) \sin y \mathrm{~d} y \\
& =-\left.(1-y) \cos y\right|_0 ^1-\int_0^1 \cos y \mathrm{~d} y=1-\sin 1
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-10/eade8b.jpg)

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