最后更新: 2025-02-01 21:00 查看: 22 次反馈刷题

平面集合的面积

接下来在这里对于平面集合的面积概念作一个简要的介绍．
在本课程的一元积分学中解决了曲边梯形等平面图形的面积计算问题．其缺点是将面积是否存在归结为相应的定积分是否存在，这里目的和手段有混淆之疑。较为合理的观点是将积分看成为计算面积的一种手段，而对平面图形的面积应当给出独立的定义。

下面认为多边形的面积定义和它的计算问题在理论上已经解决．粗糙地说，这里的方法就是将多边形分划为有限个三角形，而将多边形的面积定义为这些三角形的面积之和。

在这个基础上我们要对一般的平面有界图形讨论其是否可求面积，而在可求面积时如何定义面积，以及它与二重积分的联系。

以下的平面图形就是指平面集合，并不附加其他条件．

如何对于一般的平面有界集合考虑它的面积问题，这里的传统方法是用多边形从该集合的内部和外部来逼近该集合．其中更为方便且具实用价值的方法就是用平面上的正方形网格来作逼近。

如右图所示，
 ![图片](/uploads/2025-02/3ff33f.jpg)
 
 对一个以封闭曲线为边界的闭区域，用等间距的水平直线和垂直直线作出网格，然后分别计算在闭区域内部和外部的小方格的个数，就可以得到该闭区域面积的不足近似值和过剩近似值．
 
 从图1可见，这也就是用两个多边形将区域的边界夹在中间．当然还可以用其他的多边形来做这样的事。

这样就可以给出面积的定义。
定义 0.1 如果包含图形 $D$ 的所有多边形的面积的下确界等于被 $D$ 所包含的所有多边形的面积的上确界，则称 $D$ 为可求面积的，或有面积的，并将上述确界值定义为 $D$ 的面积。

与这个面积定义有关的最基本结论如下。
定理 0.1 平面有界集 $D$ 可求面积的充分必要条件是边界 $\partial D$ 为零容度集 ${ }^{(1)}$ 。
证 为简明起见，将定义中的多边形加以限制，要求它的每条边与坐标轴之一平行．对于这样修改后的定义与原来的定义的等价性的证明从略．

由于 $D$ 有界，可以用一个矩形 $A$ 包含 $D$ 在其内部．然后用平行与坐标轴的若干条水平直线和垂直直线对 $A$ 作分划 $P$ 。（但不必像图1中那样要求用等距分划．）然后将所有由分划 $P$ 生成的子矩形分为三类：

1．完全在 $D$ 的外部的子矩形；
2．与 $D$ 有交但不在 $D$ 的内部的子矩形；
3．完全在 $D$ 的内部的子矩形。
将所有第 2,3 类子矩形取并就得到包含 $D$ 的多边形，记其面积为 $U(P)$ 。将所有第 3 类子矩形取并就得到 $D$ 所包含的多边形，记其面积为 $L(P)$ 。若不存在第 3类子矩形时定义 $L(P)=0$ ，特别当 $D$ 无内点时必是如此。这时 $U(P)-L(P)$ 就是覆盖边界集 $\partial D$ 的有限个第 2 类矩形的面积之和。

取所有可能的分划 $P$ ，定义

$$
\alpha=\inf _P U(P), \quad \beta=\sup _P L(P)
$$

则总有 $\beta \leqslant \alpha$ 成立．当 $\alpha=\beta$ 时称 $D$ 为可求面积，并将这个值称为 $D$ 的面积，记为 $|D|$ ．下面开始证明 ${ }^{(1)}$ 。

充分性 设有界集 $D$ 的 $\partial D$ 为零容度集．则对 $\varepsilon>0$ ，存在有限个闭矩形覆盖 $\partial D$ ，且使得它们的面积之和小于 $\varepsilon$ 。这里设这些矩形的边都是平行于坐标轴的。在必要时将这有限个闭矩形适当增大一些，总可以使得 $D$ 的边界点是这些矩形的并集的内点，同时面积仍然小于 $\varepsilon$ 。

将所有这些矩形的边延长就可以生成矩形 $A$ 的一个分划 $P$ ，同时其中的第 2类矩形的面积之和仍然小于 $\varepsilon$ ，即 $U(P)-L(P)<\varepsilon$ 。由于 $L(P) \leqslant \beta \leqslant \alpha \leqslant U(P)$ ，这样就得到 $\alpha-\beta<\varepsilon$ ．由 $\varepsilon$ 的任意性可见 $\alpha=\beta$ ．

必要性 这时 $|D|=\alpha=\beta$ ．对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在分划 $P_1$ ，使得 $|D| \leqslant U\left(P_1\right)<$ $|D|+\frac{\varepsilon}{2}$ ，又存在分划 $P_2$ ，使得 $|D| \geqslant L\left(P_2\right)>|D|-\frac{\varepsilon}{2}$ ．

合并 $P_1$ 和 $P_2$ 得到加细的分划 $P$ ，则 $U(P) \leqslant U\left(P_1\right), L(P) \geqslant L\left(P_2\right)$ ，因此有

$$
|D|-\frac{\varepsilon}{2}<L(P) \leqslant U(P)<|D|+\frac{\varepsilon}{2}
$$

于是由 $P$ 生成的第二类子矩形的总面积小于 $\varepsilon$ ，同时覆盖了 $\partial D$ ．
注 容易理解，若 $D$ 是零容度集，则 $|D|=0$ ．然而，若 $D$ 是二维零测度集，则 $D$ 末必可求面积．例如定义平面有界集 $D$ 如下：

$$
\{(x, y) \in[0,1 ; 0,1] \mid x, y \in Q \}
$$

则因 $D$ 为可列集，因此是零测度集。但包含 $D$ 的任何多边形的面积不小于 1 ，同时 $D$ 不包含任何多边形，因此 $\sup _P L(P)=0, \inf _P U(P)=1$ ，即 $D$ 不可求面积。实际上容易看出这个集合的边界 $\partial D=[0,1 ; 0,1]$ ，当然不是零容度集．

定理 0.2 平面有界集 $D$ 可求面积的充分必要条件是：在 $D$ 上恒等于 1 的函数 $f$ 在 $D$ 上为 Riemann 可积．这时的积分值 $\iint_D d x d y$ 就是 $D$ 的面积 $|D|$ ．

证 在包含 $D$ 于内部的闭矩形 $A$ 上作 $f$ 的零扩张 $F$ ，我们先证明：$F$ 的不连续点全体就是 $\partial D$ 。

若点 $P \notin \partial D$ ，则当 $P$ 为 $D$ 的内点时，$F$ 在 $P$ 的一个邻域中恒等于 1 ，当 $P$ 为 $D$ 的外点时，$F$ 在 $P$ 的一个邻域中恒等于 0 ，因此函数 $F$ 在这两类点处都连续．对于点 $P \in \partial D$ ，在 $P$ 的每一个邻域中 $F$ 可以取到 0 ，也可以取到 1，因此 $P$ 一定是 $F$的不连续点．

从 Lebesgue 定理知道 $F$ 在 $A$ 上可积的充分必要条件是 $\partial D$ 为零集。由于 $F$在 $A$ 上可积就是 $f$ 在 $D$ 上可积，而 $\partial D$ 为零集就是 $D$ 可求面积，因此结论成立．

当 $D$ 可求面积时，应用 p .117 的定理 2 于函数 $f$ ，可见有

$$
I=\iint_D f=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{\Delta_{i j} \subset D} \Delta x_i \Delta y_j
$$

由于和式中的子矩形 $\Delta_{i j} \subset D$ ，因此它们的面积之和不超过 $|D|$ ，从而 $I \leqslant|D|$ ．但由于如上一个定理证明所示，$|D|=\sup _P L(P)$ ，而每个 $L(P)$ 都是某一个分划生成的子矩形面积之和，因此 $I<|D|$ 是不可能的．这样就有 $I=|D|$ ．

如前所说，存在边界不是零集的有界闭区域，它当然也就没有面积．回顾定理 2和积分的定义，可见即使在边界不是零集的有界区域上，恒等于 0 的函数也总是可积的．当然还可以举出在边界不是零集上不恒等于 0 的可积函数的例子．（在赵显曾的《数学分析拾遗》中举出一个边界不是 0 集的开区域，并在该区域上定义一个处处大于 0 的函数，它在该区域上的二重积分存在．）但这些都不是本课程今后要关心的内容。下面只对于边界为零集的情况介绍计算方法。

注 前面引入了零测度集和零容度集，并指出对于有界闭集来说，这两个概念等价．因此经常统称为零集而不加区分．然而对于二重积分中的某些问题，这两种零集所起的作用还是不一样的．例如，在一元积分学中，若 $f, g$ 是定义在区间 $[a, b]$上的两个有界函数，且只在有限个点上取不同的值，则 $f, g$ 在 $[a, b]$ 上同时可积或不可积，而在可积时具有相同的积分值．其实这里的有限点可以换为（一维的）零容度集，但不能换为零测度集．下面对于二重积分来叙述这方面的结果．为此只要建立下列例题中的结论即可。

例题 0.2 设 $f$ 是定义在有界集 $D \subset R ^2$ 上的函数，使得 $f$ 取值不为零的点集 $B=\{(x, y) \in D \mid f(x, y) \neq 0\}$ 为零容度集，则 $f$ 在 $D$ 上可积，且 $\iint_D f=0$ ．

证 取包含 $D$ 在其内部的一个矩形 $A$ ，并将 $f$ 零扩张为 $A$ 上的函数 $F$ ．对于点 $P \in A-(\partial A \cup \bar{B})$ ，存在一个邻域 $O(P) \subset A-(\partial A \cup \bar{B})$ ，在此邻域上 $F$ 恒等于 0 ．这样就表明 $F$ 在 $A$ 上除了 $\partial A \cup \bar{B}$ 之外处处连续。

由于零容度集的闭包仍为零容度集，$\partial A$ 和 $\bar{B}$ 都是零集，因此 $F$ 在 $A$ 上几乎处处连续，从而可积．

现在只要证明 $\iint_A F=0$ ．对 $A$ 的任何分划 $P$ ，在它生成的每一个闭子矩形 $A_{i j}$内总有点 $P_{i j}$ ，使得 $F\left(P_{i j}\right)=0$ ．这样得到的 的 Riemann 和只能等于 0 ．令分划的细度趋于 0 就得到 $\iint_A F=\iint_D f=0$ 。

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