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牛顿的困惑

下面一个例题具有伟大的历史意义，也可以说是重积分的第一次重要的应用．为此我们简要地回顾 Newton 对万有引力定律的发现过程。

众所周知，Newton 在 1665－1666 年左右发现了万有引力定律．然而在所有的推导过程中都是将天体看成为一个质点来处理的，其中包括地月运动和地球对地面物体的吸引在内都是如此．那么这种做法究竟是近似还是精确的？若是近似，则误差有多大？这是长期困惑 Newton 的一个重要问题．Newton 的最主要著作《自然哲学的数学原理》发表于 1687 年．在 Florian Cajori 关于《原理》的历史与解释性注释的第 40 条中说：＂使 Newton（的发表）延误二十年之久的真正原因是一个十分困难的理论问题，它关系到球体对其外一点的吸引——他直到1684年或1685年才解决这一问题．＂

Newton 最终解决了这个问题，他发现，只要球体内的密度只与到球心的距离有关（即所谓球对称体），则两个球体之间的引力就等于将它们的质量集中在球心时所计算的引力，因此将天体看成为质点的做法是精确的，不会带来误差．用今天的语言来说，这就是一个重积分的应用问题。

《原理》一书中第一编的第十二章为球体的吸引力，对上述问题作了彻底的讨论，然后又在第三编将结论列为第 8 个命题，其原文（英译文）如下：

If two globes gravitate toward each other，and their matter is homoge－ neous on all sides in region that are equally distant from their centers， then the weight of either globe toward the other will be inversely as the square of the distance between the centers．（见《原理》的 1999 年英译本 p .811 ．）

此外，Newton 还以 4 个推论的形式指出了该命题在天文学上的重要应用．
现将该问题中最主要的计算部分独立为一个引理，其结果还在多个方面有用．
引理 设积分 $I(\rho)=\int_0^\pi \frac{(\rho \cos \varphi-c) \sin \varphi}{\left(\rho^2+c^2-2 \rho c \cos \varphi\right)^{3 / 2}} d \varphi$ ，其中 $c>0, \rho \geqslant 0$ ，则有

$$
I(\rho)=\left\{\begin{aligned}
-\frac{2}{c^2}, & 0 \leqslant \rho<c \\
-\frac{1}{c^2}, & \rho=c \\
0, & \rho>c
\end{aligned}\right.
$$

证 作代换 $t=\cos \varphi$ ，然后用分部积分法计算如下：

$$
\begin{aligned}
I(\rho) & =\int_{-1}^1 \frac{\rho t-c}{\left(\rho^2+c^2-2 \rho c t\right)^{3 / 2}} d t \\
& =\left.2\left(\rho^2+c^2-2 \rho c t\right)^{-1 / 2} \cdot \frac{\rho t-c}{2 \rho c}\right|_{-1} ^1-\int_{-1}^1 \frac{1}{\rho c}\left(\rho^2+c^2-2 \rho c t\right)^{-1 / 2} \rho d t \\
& =\frac{1}{\rho c}\left(\frac{\rho-c}{|\rho-c|}+\frac{\rho+c}{\rho+c}\right)-\int_{-1}^1 \frac{1}{c}\left(\rho^2+c^2-2 \rho c t\right)^{-1 / 2} d t,
\end{aligned}
$$

在 $0 \leqslant \rho<c$ 时，积分外的项均抵销，因此就得到

$$
I(\rho)=-\left.\frac{1}{c} \cdot\left(\rho^2+c^2-2 \rho c t\right)^{1 / 2} \cdot \frac{-1}{\rho c}\right|_{-1} ^1=\frac{1}{\rho c^2}[|\rho-c|-(\rho+c)]=-\frac{2}{c^2} .
$$

在 $c<\rho$ 时有

$$
I(\rho)=\frac{1}{\rho c}\left(\frac{\rho-c}{|\rho-c|}+1\right)+\frac{1}{\rho c^2}[|\rho-c|-(\rho+c)]=0,
$$

在 $\rho=c$ 可直接从原来的积分表达式计算 $I$ ，它是一个常义积分，即有

$$
\begin{aligned}
I(c) & =-\frac{1}{2 \sqrt{2} c^2} \int_0^\pi \frac{\sin \varphi d \varphi}{\sqrt{1-\cos \varphi}}\left(=-\left.\frac{1}{2 \sqrt{2} c^2} \cdot 2 \sqrt{1-\cos \varphi}\right|_0 ^\pi\right) \\
& =-\frac{1}{2 c^2} \int_0^\pi \cos \frac{\varphi}{2} d \varphi=-\frac{1}{c^2} .
\end{aligned}
$$

注 作为含参变量积分，被积函数 $g(\rho, \varphi)=\frac{(\rho \cos \varphi-c) \sin \varphi}{\left(\rho^2+c^2-2 \rho c \cos \varphi\right)^{3 / 2}}$ 在点 $\rho=c, \varphi=0$ 处极限不存在，而且无界，因此该点是一个奇点．然而对所有 $\rho \neq c$ ， $g(\rho, \varphi)$ 对 $\varphi$ 的积分都是常义积分，而在 $\rho=c$ 时处 $g(c, \varphi)=-\frac{1}{2 c^2} \cos \frac{\varphi}{2}$ ，完全正常．只是 $\rho \neq c$ 时 $g(\rho, 0)=0$ ，而 $\rho=c$ 时按照连续延拓有 $g(c, 0)=-\frac{1}{2}$ ．

例题 0.4 （Newton）求密度只依赖于到球心距离的球体 $x^2+y^2+z^2 \leqslant R^2$对单位质点的引力．

解 不妨将该质点放在 $z$ 轴上的点 $M_0(0,0, c)$处，其中 $c \geqslant 0$ ．设密度为 $r=r(\rho), \rho$ 为球体内点 $(x, y, z)$ 到球心的距离 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}, 0 \leqslant \rho \leqslant R$ ．

采用微元法．（图4所示是 $c>R$ 的情况，即质点 $M_0$ 在球外．）设 $d x d y d z$ 是球体中的点 $P(x, y, z)$ 处的一个微小部分的体积，称为体积微元，其质量就是密度 $r$ 乘以 $d x d y d z$ 。考虑该微元对质点 $M_0(0,0, c)$的引力．将这个引力记为 $f_1 i +f_2 j +f_3 k$ ，其方向为 $\overrightarrow{M_0 P}$ ．这个方向的单位向量是

$$
e =\frac{x i +y j +(z-c) k }{\sqrt{x^2+y^2+(z-c)^2}}
$$

![图片](/uploads/2025-02/7c9a4c.jpg)
 
 根据万有引力定律，得到下列表达式：

$$
f_1 i +f_2 j +f_3 k =k \cdot \frac{r d x d y d z}{x^2+y^2+(z-c)^2} \cdot e
$$

其中 $k$ 为万有引力常数．以下只要在球体 $x^2+y^2+z^2 \leqslant R^2$ 上积分即可．将积分后得到的引力记为

$$
F =F_1 i +F_2 j +F_3 k
$$

则由于对称性，引力 $F$ 在 $x, y$ 两个方向上的分量均为 0 ，即 $F_1=F_2=0$ ．因此可以记 $F =F_3 k$ ．若 $c=0$ ，则也有 $F_3=0$ ．以下设 $c>0$ ．这时有

$$
F_3=k \iiint_D \frac{r(\rho)(z-c)}{\left[x^2+y^2+(z-c)^2\right]^{3 / 2}} d x d y d z
$$

积分区域为 $\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leqslant R^2\right\}$ ．（当 $c<R$ 时被积函数无界，是广义重积分，可以证明只要 $r(\rho)$ 在 $D$ 上有界即保证该广义重积分收玫，这可以参见下一章．但如下作球坐标代换后成为常义重积分．）

用球坐标代换得到

$$
\begin{aligned}
F_3 & =\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^R k r(\rho) \rho^2 d \rho \int_0^\pi \frac{(\rho \cos \varphi-c) \sin \varphi}{\left(\rho^2+c^2-2 \rho c \cos \varphi\right)^{3 / 2}} d \varphi \\
& =\int_0^R 2 \pi k r(\rho) \rho^2 d \rho \int_0^\pi \frac{(\rho \cos \varphi-c) \sin \varphi}{\left(\rho^2+c^2-2 \rho c \cos \varphi\right)^{3 / 2}} d \varphi
\end{aligned}
$$

其中的里层积分（记为 $I(\rho)$ ）的计算已经在引理中解决。
先讨论质点在球外的情况，即 $c \geqslant R>0$ 的情况。对于 $c>R>0$ 的情况，该积分 $I(\rho)$ 在区间 $[0, R]$ 上等于常数 $-\frac{2}{c^2}$ 。对于 $c=R$（地球对于地面上物体的引力就属于这种情况）$I(\rho)$ 只在该区间的右端点 $\rho=R$ 处取不同的值 $-\frac{1}{c^2}$ ，因此可以统一处理如下：

$$
F_3=-\frac{4 \pi k}{c^2} \int_0^R r(\rho) \rho^2 d \rho
$$

由于这时的球体质量为

$$
M=\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^\pi \sin \varphi d \varphi \int_0^R \rho^2 r(\rho) d \rho=4 \pi \int_0^R \rho^2 r(\rho) d \rho
$$

于是就可以得到结论：$F_3=-\frac{k M}{c^2}$ ，即球体对球外质点的引力相当于将球体质量集中在球心时的引力．
然后考虑 $0<c<R$ 的情况．这时 $I(\rho)$ 在区间 $[0, R]$ 上的取值已在引理中解决，即在 $[0, c)$ 上恒等于 $-2 / c^2$ ，在点 $c$ 处等于 $-1 / c^2$ ，而在 $(c, R]$ 上恒等于 0 ，因此得到

$$
F_3=-\frac{4 \pi k}{c^2} \int_0^c r(\rho) \rho^2 d \rho
$$

又将原球体内半径为 $c$ 的同心球质量记为 $M_c$ ，则有

$$
M_c=\int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^\pi \sin \varphi d \varphi \int_0^c \rho^2 r(\rho) d \rho=4 \pi \int_0^c \rho^2 r(\rho) d \rho,
$$

因此这时有 $F_3=-\frac{k M_c}{c^2}$ ．这表明球体对于球内质点的引力相当于该质点到球心距离为半径的球体质量集中在球心时的引力 ${ }^{(1)}$ ．

注 1 由例题的结论就可以证明两个球体之间的引力与将球体的质量集中在球心时的两个质点之间的引力相同，只要球体的密度只与到球心的距离有关．这就是 Newton 需要解决的问题．这里若要详细写出则是一个 6 重积分问题，但原则上已经没有困难，从略．

（1）特别可知球面上均匀分布的质量对球内质点的引力为 0 ．这就是 Newton 在《原理》第一编中的第十二章的第一个命题（命题 70）．他是用几何方法来证明的，这与该书所采取的方式一致．又可知，均匀球体对球内质点的引力与质点到球心距离成正比．这就是《原理》第一编的命题 73 ．

注 2 上述结论还出现在静电学等领域中．由于点电荷之间的作用力也与距离平方成反比（Coulomb 定律），因此静电场和重力场有许多类似的结果．例如，均匀带电球面产生的电场，在球面外的场强分布正象球面上的电荷都集中在球心时所形成的一个点电荷产生的场强分布一样，而在球面内部的场强则处处为 0 。

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