最后更新: 2025-02-01 21:19 查看: 12 次反馈刷题

n重积分的例子

五．$n$ 重积分的例子
这里的理论内容与二重积分，三重积分都是类似的．因此只通过举例介绍如何计算．书上的例子还太少．

例题 0.5 计算 $V_n=\int_{D_n} \cdots \int_{D_n} d x_1 d x_2 \cdots d x_n$ ，其中的积分区域为

$$
D_n=\left\{\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in R ^n \mid x_1+\cdots+x_n \leqslant a, x_1 \geqslant 0, \cdots, x_n \geqslant 0\right\},
$$

其中 $a \geqslant 0$ ．
解 在坐标轴方向作等比例的缩小放大变换 $x_1=a \xi_1, \cdots, x_n=a \xi_n$ ，则有 $\frac{\partial\left(x_1, \cdots, x_n\right)}{\partial\left(\xi_1, \cdots, \xi_n\right)}=a^n$ ．在 $\left(\xi_1, \cdots, \xi_n\right)$ 空间中，积分区域为（标准单形）

$$
D_n^{\prime}=\left\{\left(\xi_1, \cdots, \xi_n\right) \in R ^n \mid \xi_1+\cdots+\xi_n \leqslant 1, \xi_1 \geqslant 0, \cdots, \xi_n \geqslant 0\right\}
$$

这时 $V_n=a^n W_n$ ，其中

$$
W_n=\int_{D_n^{\prime}} \cdots \int d \xi_1 \cdots d \xi_n .
$$

用累次积分方法，有

$$
W_n=\int_0^1 d \xi_n \int_{\substack{\xi_1+\cdots+\xi_{n-1} \leqslant 1-\xi_n \\ \xi_1 \geqslant 0, \cdots, \xi_{n-1} \geqslant 0}} \cdots \xi_1 \cdots d \xi_{n-1} .
$$
然后对于其中里层的 $n-1$ 重积分用类似的方法得到

$$
\int_{\substack{\xi_1+\cdots+\xi_n-1 \leqslant 1-\xi_n \\ \xi_1 \geqslant 0, \cdots, \xi_{n-1} \geqslant 0}} d \xi_1 \cdots d \xi_{n-1}=\left(1-\xi_n\right)^{n-1} W_{n-1}
$$

于是有

$$
\begin{aligned}
W_n & =W_{n-1} \int_0^1\left(1-\xi_n\right)^{n-1} d \xi_n \\
& =\left.W_n \cdot \frac{1}{n}\left(1-\xi_n\right)^n(-1)\right|_0 ^1=\frac{1}{n} W_{n-1} .
\end{aligned}
$$

由此即知 $W_n=\frac{1}{n} W_{n-1}=\frac{1}{n(n-1)} W_{n-2}=\cdots=\frac{1}{n(n-1) \cdots 2} W_1$ ．由于 $W_1=1$ ，因此即得 $W_n=\frac{1}{n!}$ ，并求出本题的答案为 $V_n=\frac{a^n}{n!}$ ．

例题 0.6 求 $n$ 维球体 $x_1^2+\cdots+x_n^2 \leqslant R^2$ 的体积 $V_n$ ．
解 与上题类似可以有 $V_n=R^n W_n$ ，其中 $W_n$ 是 $n$ 维单位球的体积．（已知 $\left.W_1=2, W_2=\pi, W_3=\frac{4 \pi}{3}.\right)$

同样用累次积分方法，有

$$
\begin{aligned}
W_n & =\int_{\xi_1^2+\cdots+\xi_n^2 \leqslant 1} \cdots \int_1 d \xi_1 \cdots d \xi_n \\
& =\int_{-1}^1 d \xi_n \iint_{\xi_1^2+\cdots+\xi_{n-1}^2 \leqslant 1-\xi_n^2} d \xi_1 \cdots d \xi_{n-1} \\
& =W_{n-1} \int_{-1}^1\left(1-\xi_n^2\right)^{\frac{n-1}{2}} d \xi_n .
\end{aligned}
$$

对于最后的积分用代换 $\xi_n=\sin t$ ，就有

$$
\int_{-1}^1\left(1-\xi_n^2\right)^{\frac{n-1}{2}} d \xi_n=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n-1} t \cdot \cos t d t=2 \cdot \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot I
$$

其中 $I=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\pi}{2}, & n \text { 为偶数，} \\ 1, & n \text { 为奇数．}\end{array}\right.$ 于是就得到递推公式

$$
W_n=2 \cdot \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot I
$$

以下分两种情况讨论。
对于 $n=2 m$ 有

$$
\begin{aligned}
W_{2 m} & =2 \cdot \frac{(2 m-1)!!}{(2 m)!!} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot W_{2 m-1} \\
& =\pi \cdot \frac{(2 m-1)!!}{(2 m)!!} \cdot 2 \cdot \frac{(2 m-2)!!}{(2 m-1)!!} \cdot W_{2 m-2} \\
& =\frac{\pi}{m} W_{2 m-2},
\end{aligned}
$$

用这个递推公式，并利用 $W_2=\pi$（即单位圆面积），就得到

$$
W_{2 m}=\frac{\pi^2}{m(m-1)} W_{2 m-4}=\cdots=\frac{\pi^{m-1}}{m(m-1) \cdots 2} W_2=\frac{\pi^m}{m!}
$$

对于 $n=2 m+1$ 则可以利用 $W_{2 m}$ 的公式得到

$$
\begin{aligned}
W_{2 m+1} & =2 \cdot \frac{(2 m)!!}{(2 m+1)!!} \cdot W_{2 m} \\
& =2 \cdot \frac{2 m(2 m-2) \cdots 4 \cdot 2}{(2 m+1)!!} \cdot \frac{\pi^m}{m!} \\
& =\frac{2^{m+1} \pi^m}{(2 m+1)!!} .
\end{aligned}
$$

最后得到 $n$ 维球的体积为

$$
V_n=\left\{\begin{aligned}
\frac{\pi^m}{m!} \cdot R^n, & n=2 m \\
\frac{2^{m+1} \pi^m}{(2 m+1)!!} \cdot R^n, & n=2 m+1
\end{aligned}\right.
$$

刷题

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