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多元函数及其极限

> 多元函数内容较为抽象，初学者可以参考 [高等数学](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=233) 配合学习

## 17．1 多元函数的极限和连续
一．多元函数
$n$ 元函数 $f$ 的标准记号为

$$
\begin{aligned}
& f: D \subset R ^n \rightarrow R \\
& x =\left(x_1, \cdots, x_n\right) \mapsto y=f( x )
\end{aligned}
$$

称 $D$ 为映射 $f$ 的定义域，记为 $D (f)$ ，称集合

$$
f(D)=\{y \in R \mid y=f( x ), x \in D\}
$$

为映射 $f$ 的值域，记为 $R (f)$ ．
由此可见，$n$ 个自变量都是实数，定义域是 Euclid 空间的子集．因变量也是实数。因此也称为 $n$ 元实函数．

例题 0.1 二元函数 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ ，由表达式可确定其自然定义域为 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ．

几何上的图像就是单位球的上半球面．它是 $R ^3$ 中的闭集．
例题 0.2 给定平面上两个向量 $a =\left(a_1, a_2\right), b =\left(b_1, b_2\right)$ ，则它们的夹角为

$$
\theta=\arccos \frac{a_1 b_1+a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2} \sqrt{b_1^2+b_2^2}}
$$

可以将 $\theta$ 看成为 $a_1, a_2, b_1, b_2$ 的 4 元函数．其自然定义域是 $\left(a_1, a_2\right) \neq(0,0)$ 和 $\left(b_1, b_2\right) \neq(0,0)$ 同时成立．

二．多元函数的极限
设有 $R ^n$ 中的开集 $D$ ，点 $a \in D$ ，当然是 $D$ 的一个内点．又设有函数 $f:$ $D-\{ a \} \rightarrow R$ ．（其实只要 $f$ 在 $a$ 的一个去心邻域上有定义就够了．）

定义 0.1 若存在实数 $A$ ，对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in O_\delta( a )-\{ a \}:|f( x )-A|<$ $\varepsilon$ ，则称当 $x \rightarrow a$ 时 $f$ 收玫，称 $A$ 为其极限，记为

$$
\lim _{ x \rightarrow a } f( x )=A
$$

或简写为 $f( x ) \rightarrow A( x \rightarrow a )$ ．也可以不用向量记号写为

$$
\lim _{\substack{x_1 \rightarrow a_1 \\ x_n \rightarrow a_n}} f\left(x_1, \cdots, x_n\right)=A
$$

其中的去心邻域就是去心开球，在需要时也可以换为去心立方体邻域或去心长方体邻域代替．若不用向量记号，则 $x \in O_\delta( a )-\{ a \}$ 等价于

$$
0<\left(x_1-a_1\right)^2+\cdots+\left(x_n-a_n\right)^2<\delta^2
$$

而去心正方体邻域可写为

$$
\left|x_1-a_1\right|<\delta, \cdots,\left|x_n-a_n\right|<\delta, \quad\left(x_1, \cdots, x_n\right) \neq\left(a_1, \cdots, a_n\right),
$$

这些都可以用 $n=2$ 来作几何想像．下面举例时也多数用 $n$ 来说明问题．
下面看一个例子。

例题 0.3 设 $f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y^2}$ ，讨论 $f$ 在原点 $(0,0)$ 的极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 是否存在．

解 $1 f$ 的自然定义域是 $R ^2-\{0\}$ ．令 $y=m x$ ，则

$$
f(x, m x)=\frac{m x^2}{\left(1+m^2\right) x^2}
$$

在 $x \neq 0$ 时，右边等于 $\frac{m}{1+m^2}$ ．于是当 $(x, y)$ 沿着直线趋于原点时，极限值与 $m$有关．因此 $f$ 在 $(0,0)$ 的极限不存在．

解 2 用极坐标，令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, r \neq 0$ ．则有

$$
f(r \cos \theta, r \sin \theta)=\frac{r^2 \sin \theta \cos \theta}{r^2}=\cos \theta \sin \theta
$$

可见当 $\theta$ 固定时，极限值与 $\theta$ 有关．如点 $(x, y)$ 以螺线方式趋于原点，则 $f$ 的值在 $-\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 之间摆动．

注 在一维情况，$x \rightarrow a$ 的极限过程可以分解为 $x \rightarrow a^{+}$和 $x \rightarrow a^{-}$． $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A$ 的充分必要条件是同时有 $\lim _{x \rightarrow a^{ \pm}} f(x)=A$ ，或者说 $f( \pm a)=A$ 。于是只要有一个单侧极限不存在，或者两个单侧极限存在但不相等，就可以推出 $f$在点 $a$ 的极限不存在．上面的例题与此类似．

例题 0.4 设 $f(x, y)=\frac{x^2 y}{x^2+y^2}$ ，讨论 $f$ 在 $(0,0)$ 的极限是否存在．
解 1 直接估计

$$
\left|\frac{x^2 y}{x^2+y^2}\right| \leqslant|x| \cdot \frac{|x y|}{x^2+y^2} \leqslant \frac{1}{2}|x|,
$$

可见 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^2 y}{x^2+y^2}=0$ ．
解 2 用极坐标，$f(r \cos \theta, r \sin \theta)=r \cos ^2 \theta \sin \theta$ ，可见

$$
|f(x, y)| \leqslant r=\sqrt{x^2+y^2}
$$

因此极限为 0 。

注 这里可以看出用极坐标处理这类问题的优点，事先就可以看出分子关于 $r$为 3 阶，分母为 $r^2$ ，因此极限为 0 。

下一个例题指出，即使在趋于点 $a$ 的所有直线上 $f$ 的极限都存在且相同，也还不足以保证 $f$ 在点 $a$ 一定存在极限。由此可见，这里的问题比一维情况要复杂得多．

例题 0.5 设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x^2 \leqslant|y|, ~ \text { 或 } y=0, \\ 1, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 讨论极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 是否存在．

解 当 $(x, y)$ 沿直线 $l$ 趋于原点时，有各种情况发生。

若 $l$ 与 $x$ 轴重合，则 $f$ 恒等于 0 ，因此极限为 0 。
对于 $l$ 的其他情况，其上的点迟早要进入 $x^2 \leqslant$ $|y|$ 的范围中．若 $l$ 与 $y$ 轴重合，则 $l$ 始终如此．否则，这时 $l$ 的方程是 $y=m x$ ，其中 $m \neq 0$ ．于是 $x^2 \leqslant|y|$就是 $x^2 \leqslant|m| \cdot|x|$ ．由于 $x \neq 0$ ，这就是 $|x| \leqslant|m|$ ．从而只要 $x$ 充分小，$f$ 就恒等于 0 。因此极限也是 0 ．

![图片](/uploads/2025-02/a529e2.jpg)

于是我们发现在通向 $(0,0)$ 的每一条直线上，当点趋于原点时，$f$ 的极限都存在，且都等于 0 ．但是在 $(0,0)$ 的任意邻近，都有 $f(x, y)=1$ 的点 $(x, y)$ ，因此极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 不存在．（当然也可以用一条曲线 $y=\frac{1}{2} x^2(x>0$ ，当点 $(x, y)$ 沿此曲线趋于原点时，$f(x, y) \equiv 1$ ，可见极限为 1 ．）

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