最后更新: 2025-11-06 08:58 查看: 119 次纠错评论(0) 课件开VIP

二元函数与多元函数

## 二元函数
函数（或映射）是两个集合之间的一种确定的对应关系． $\mathbf{R}$ 到 $\mathbf{R}$ 的映射是一元函数，而 $\mathbf{R}^2$ 到 $\mathbf{R}$ 的映射是二元函数．

**定义2** 设平面点集 $D \subset \mathbf{R}^2$ ，若按照某对应法则 $f, D$ 中每一点 $P(x, y)$ 都有惟一确定的实数 $z$ 与之对应，则称 $f$ 为定义在 $D$ 上的**二元函数**（或称 $f$ 为 $D$ 到 $\mathbf{R}$ 的一个映射），记作

$$
\begin{aligned}
f: D & \rightarrow \mathbf{R} \\
P & \mapsto z
\end{aligned} ...(7)
$$

且称 $D$ 为 $f$ 的**定义域**．$P \in D$ 所对应的 $z$ 为 $f$ 在点 $P$ 的**函数值**，记作 $z=f(P)$ 或 $z=f(x$ ， $y)$ ．全体函数值的集合为 $f$ 的值域，记作 $f(D) \subset \mathbf{R}$ ．通常还把 $P$ 的坐标 $x$ 与 $y$ 称为 $f$ 的**自变量**，而把 $z$ 称为**因变量**．

在映射意义下，上述 $z=f(P)$ 称为 $P$ 的**象**，$P$ 称为 $z$ 的**原象**．当把 $(x, y) \in D$ 和它所对应的象 $z=f(x, y)$ 一起组成三维数组 $(x, y, z)$ 时，三维欧氏空间 $\mathbf{R}^3$ 中的点集

$$
S=\{(x, y, z) \mid z=f(x, y),(x, y) \in D\} \subset \mathbf{R}^3
$$

便是二元函数 $f$ 的**图像**．通常 $z=f(x, y)$ 的图像是一空间曲面，$f$ 的定义域 $D$ 便是该曲面在 $x O y$ 平面上的投影．

为方便起见，由（7）式所确定的二元函数也记作

或

$$
\begin{gathered}
z=f(x, y), \quad(x, y) \in D \\
z=f(P), \quad P \in D,
\end{gathered}
$$

且当它的定义域 $D$ 不会被误解的情况下，也简单地说＂函数 $z=f(x, y)$＂或＂函数 $f$＂．

`例` 函数 $z=2 x+5 y$ 的图像是 $\mathbf{R}^3$ 中一个平面，其定义域是 $\mathbf{R}^2$ ，值域是 $\mathbf{R}$ ．

`例`函数 $z=\sqrt{1-\left(x^2+y^2\right)}$ 的定义域是 $x O y$ 平面上的单位圆域 $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant\right. 1\}$ ，值域为区间 $[0,1]$ ，它的图像是以原点为中心的单位球面的上半部分（图 16－5）．

![图片](/uploads/2025-11/77ccfd.jpg)
 
`例` $ z=x y$ 是定义在整个 $x O y$ 平面上的函数，它的图像是过原点的双曲抛物面 （图 16－6）

![图片](/uploads/2025-11/13b83d.jpg)
 
 
 `例`$ z=\left[\sqrt{x^2+y^2}\right]$ 是定义在 $\mathbf{R}^2$ 上的函数，值域是全体非负整数，它的图形如图16－7 所示．
 
  ![图片](/uploads/2025-11/986d2e.jpg)
  
 若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为**有界函数**，如例2 中的函数；若值域是无界数集，则称该函数为**无界函数**，如例1、例3、例4中的函数。

与一元函数相类似，$f$ 在 $D$ 上无界的充要条件是存在 $\left\{P_k\right\} \subset D$ ，使 $\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(P_k\right)=\infty$ ，这里 $D \subset \mathbf{R}^2$ 。 
 
##  $n$ 元函数
所有有序实数组 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 的全体称为 $n$ 维向量 
空间，简称 $n$ 维空间，记作 $\mathbf{R}^n$ ．其中每个有序实数组 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 称为 $\mathbf{R}^n$ 中的一个点，$n$ 个实数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是这个点的坐标。

设 $E$ 为 $\mathbf{R}^n$ 中的点集，若有某个对应法则 $f$ ，使 $E$ 中每一点 $P\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 都有惟一的一个实数 $y$ 与之对应，则称 $f$ 为定义在 $E$ 上的 $n$ 元函数（或称 $f$ 为 $E \subset \mathbf{R}^n$ 到 $\mathbf{R}$ 的一个映射），记作

$$
\begin{aligned}
& f: E \rightarrow \mathbf{R}, \\
& \quad\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \mapsto y .
\end{aligned}
$$

也常把 $n$ 元函数简写成

$$
y=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right), \quad\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in E
$$

或

$$
y=f(P), \quad P \in E .
$$

对于后一种被称为＂点函数＂的写法，它可使多元函数与一元函数在形式上尽量保持一致，以便仿照一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题，同时还可把二元函数的某些论断推广到 $n(\geqslant 3)$ 元函数．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇： R×R 上的完备性定理

下一篇：多元函数Euclid 空间上的映射

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)