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二元函数的极限

与一元函数的极限相类似，二元函数的极限同样是二元函数微积分的基础．但因自变量个数的增多，导致二元函数的极限要比一元函数的极限复杂很多．

## 二元函数的极限
定义1 设 $f$ 为定义在 $D \subset \mathbf{R}^2$ 上的二元函数，$P_0$ 为 $D$ 的一个聚点，$A$ 是一个确定的实数．若对任给正数 $\varepsilon$ ，总存在某正数 $\delta$ ，使得当 $P \in U^{\circ}\left(P_0 ; \delta\right) \cap D$ 时，都有

$$
|f(P)-A|<\varepsilon,
$$

则称 $f$ 在 $D$ 上当 $P \rightarrow P_0$ 时以 $A$ 为极限，记作

$$
\lim _{\substack{P \rightarrow P_0 \\ P \in D}} f(P)=A ...(1)
$$

在对于 $P \in D$ 不致产生误解时，也可简单地写作

$$
\lim _{P \rightarrow P_0} f(P)=A ...(1')
$$

当 $P, P_0$ 分别用坐标 $(x, y),\left(x_0, y_0\right)$ 表示时，（1＇）式也常写作

$$
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)=A ...(1'')
$$

`例` 依定义验证 $\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)}\left(x^2+x y+y^2\right)=7$ ．
证 因为

$$
\begin{aligned}
& \left|x^2+x y+y^2-7\right| \\
= & \left|\left(x^2-4\right)+x y-2+\left(y^2-1\right)\right| \\
= & |(x+2)(x-2)+(x-2) y+2(y-1)+(y+1)(y-1)| \\
\leqslant & |x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|
\end{aligned}
$$

先限制在点 $(2,1)$ 的 $\delta=1$ 的方邻域

$$
\{(x, y)||x-2|<1,|y-1|<1\}
$$

上讨论，于是有

$$
\begin{aligned}
|y+3| & =|y-1+4| \leqslant|y-1|+4<5, \\
|x+y+2| & =|(x-2)+(y-1)+5| \\
& \leqslant|x-2|+|y-1|+5<7 .
\end{aligned}
$$

所以

$$
\begin{aligned}
\left|x^2+x y+y^2-7\right| & <7|x-2|+5|y-1| \\
& <7(|x-2|+|y-1|) .
\end{aligned}
$$

设 $\varepsilon$ 为任给的正数，取 $\delta=\min \left\{1, \frac{\varepsilon}{14}\right\}$ ，则当 $|x-2|<\delta,|y-1|<\delta,(x, y) \neq(2,1)$ 时，就有

$$
\left|x^2+x y+y^2-7\right|<7 \cdot 2 \delta=14 \delta<\varepsilon,
$$

即 $\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)}\left(x^2+x y+y^2\right)=7$ 。

`例`设

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}
x y \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\
0, & (x, y)=(0,0)
\end{array}\right.
$$

证明 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0$ ．
证 对函数的自变量作极坐标变换 $x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi$ ．这时 $(x, y) \rightarrow(0,0)$ 等价于对任何 $\varphi$ 都有 $r \longrightarrow 0$ ．由于

$$
\begin{aligned}
|f(x, y)-0| & =\left|x y \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right| \\
& =\frac{1}{4} r^2|\sin 4 \varphi| \leqslant \frac{1}{4} r^2
\end{aligned}
$$

因此，对任何 $\varepsilon>0$ ，只需取 $\delta=2 \sqrt{\varepsilon}$ ，当 $0<r=\sqrt{x^2+y^2}<\delta$ 时，不管 $\varphi$ 取什么值都有 $|f(x, y)-0|<\varepsilon$ ，即 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0$ 。

下述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归结原则

（而且证明方法也相似）．读者可通过它们进一步认识定义 1 中＂$P \rightarrow P_0$＂所包含的意义。

定理 16．5 $\lim _{\substack{P \rightarrow P_0 \\ P \in D}} f(P)=A$ 的充要条件是：对于 $D$ 的任一子集 $E$ ，只要 $P_0$ 是 $E$ 的聚点，就有

$$
\lim _{\substack{P \rightarrow P_0 \\ P \in E}} f(P)=A .
$$

推论1 设 $E_1 \subset D, P_0$ 是 $E_1$ 的聚点．若 $\lim _{\substack{P \rightarrow P_0 \\ P \in E_1}} f(P)$ 不存在，则 $\lim _{\substack{P \rightarrow P_0 \\ P \in D}} f(P)$ 也不存在．
推论2 设 $E_1, E_2 \subset D, P_0$ 是它们的聚点，若存在极限

$$
\lim _{\substack{P \rightarrow P_0 \\ P \in E_1}} f(P)=A_1, \quad \lim _{\substack{P \rightarrow P_0 \\ P \in E_2}} f(P)=A_2,
$$

但 $A_1 \neq A_2$ ，则 $\lim _{\substack{P \rightarrow P_0 \\ P \in D}} f(P)$ 不存在．
推论3 极限 $\lim _{\substack{P \rightarrow P_0 \\ P \in D}} f(P)$ 存在的充要条件是：对于 $D$ 中任一满足条件 $P_n \neq P_0$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n=P_0$ 的点列 $\left\{P_n\right\}$ ，它所对应的数列 $\left\{f\left(P_n\right)\right\}$ 都收敛．

下面两个例子是它们的应用．

`例` 讨论 $f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y^2}$ 当 $(x, y) \rightarrow(0,0)$ 时是否存在极限．
解 当动点 $(x, y)$ 沿着直线 $y=m x$ 而趋于定点 $(0,0)$ 时，由于此时 $f(x, y)= f(x, m x)=\frac{m}{1+m^2}$ ，因而有

$$
\lim _{\substack{(x, y) \rightarrow(0,0) \\ y=m x}} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x, m x)=\frac{m}{1+m^2}
$$

这一结果说明动点沿不同斜率 $m$ 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在．

`例` 二元函数

$$
f(x, y)= \begin{cases}1, & 0<y<x^2,-\infty<x<+\infty, \\ 0, & \text { 其余部分. }\end{cases}
$$

如图 16－8 所示，

![图片](/uploads/2025-11/bbe8a4.jpg)
 
当 $(x, y)$ 沿任何直线趋于原点时，相应的 $f(x, y)$ 都趋于零，但这并不表明此函数在 $(x, y) \rightarrow(0$ ， $0)$ 时极限存在．因为当点 $(x, y)$ 沿抛物线 $y=k x^2 \quad(0<k<$ 1 ）趋于 $O$ 点时，$f(x, y)$ 将趋于 1 ．所以极限

$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)
$$

不存在．

下面我们再给出当 $P(x, y) \rightarrow P_0\left(x_0, y_0\right)$ 时，$f(x, y)$ 趋于 $+\infty$（非正常极限）的定义．
定义 2 设 $D$ 为二元函数 $f$ 的定义域，$P_0\left(x_0, y_0\right)$ 是 $D$ 的一个聚点．若对任给正数 $M$ ，总存在点 $P_0$ 的一个 $\delta$ 邻域，使得当 $P(x, y) \in U^{\circ}\left(P_0 ; \delta\right) \cap D$ 时，都有 $f(P)>M$ ，则称 $f$在 $D$ 上当 $P \rightarrow P_0$ 时，存在非正常极限 $+\infty$ ，记作
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)=+\infty
$$
或
$\lim _{P \rightarrow P_0} f(P)=+\infty . $

仿此可类似地定义

$$
\lim _{P \rightarrow P_0} f(P)=-\infty \quad \text { 与 } \quad \lim _{P \rightarrow P_0} f(P)=\infty .
$$

`例` 设 $f(x, y)=\frac{1}{2 x^2+3 y^2}$ ．证明

$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=+\infty .
$$

证 因为 $2 x^2+3 y^2<4\left(x^2+y^2\right)$ ，对任给正数 $M$ ，取

$$
\delta=\frac{1}{2 \sqrt{M}},
$$

当

时，就有
即

$$
\begin{aligned}
\sqrt{x^2+y^2} & <\delta=\frac{1}{2 \sqrt{M}} \\
2 x^2+3 y^2 & <\frac{1}{M} \\
\frac{1}{2 x^2+3 y^2} & >M
\end{aligned}
$$

这就证得结果（该函数在原点附近的图像参见图 16－9）．
二元函数极限的四则运算法则与一元函数极限的四则运算法则相仿，特别把 $f(x, y)$看作点函数 $f(P)$ 时，相应定理的证法也完全相同，这里就不再一一列出．

![图片](/uploads/2025-11/5b9381.jpg)

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