最后更新: 2025-02-02 08:39 查看: 14 次反馈刷题

多元函数的性质与连续性

关于多元函数极限的下列性质只列出不证明，因为与一维情况没有本质差异．
性质 1 （局部有界性）若 $\lim _{ x \rightarrow a } f( x )$ 存在，则有 $\delta>0$ ，使得 $f$ 在 $O_\delta( a )-\{ a \}$上有界。

性质 2 （局部保号性）若 $\lim _{ x \rightarrow a } f( x )=A>0$ 存在，则有 $\delta>0$ ，使得 $f$ 在 $O_\delta( a )-\{ a \}$ 上取正值．

性质3（局部比较定理）设 $\lim _{ x \rightarrow a } f( x )=A, \lim _{ x \rightarrow a } f( x )=B$ ，
（1）若有 $\delta>0$ ，使得在 $O_\delta( a )-\{ a \}$ 上 $f( x ) \geqslant g( x )$ ，则 $A \geqslant B$ ；
（2）反之，若有 $A>B$ ，则存在 $\delta>0$ ，使得在 $O_\delta( a )-\{ a \}$ 上 $f( x )>g( x )$ ．
性质 3 （四则运算法则）设 $\lim _{ x \rightarrow a } f( x )=A, \lim _{ x \rightarrow a } f( x )=B$ ，则有
（1） $\lim _{ x \rightarrow a }(f( x ) \pm g( x ))=A \pm B$ ；
（2） $\lim _{ x \rightarrow a } f( x ) g( x )=A B$ ；
（3）在 $B \neq 0$ 时， $\lim _{ x \rightarrow a } \frac{f( x )}{g( x )}=\frac{A}{B}$ ．

四．多元连续函数
这里都是将一元连续函数的有关定义和性质推广到多元函数，没有本质上的新内容。

设有 $R ^n$ 中的开集 $D$ ，函数 $f: D \rightarrow R$ ，点 $a \in D$ ，若有 $\lim _{ x \rightarrow a } f( x )=f( a )$ ，则称 $f$ 在点 $a$ 处连续．又若 $f$ 在 $D$ 处处连续，则称 $f$ 在 $D$ 上连续，或 $f$ 是 $D$ 上的连续函数．

用 $\varepsilon-\delta$ 语言，则 $f$ 于点 $a$ 连续就是

$$
\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in O_\delta( a ): f( x ) \in O_{\varepsilon}(f( a )) .
$$

其中最后我们将 $|f( x )-f( a )|<\varepsilon$ 用邻域语言写出．这样为今后引入从 $R ^n \rightarrow R ^m$ $(m>1)$ 的连续映射作好准备。

此外还需要定义域 $D$ 为一般集合时的连续函数概念．上面只是给出了 $f$ 在定义域的内点处的连续性概念．对于其他点，如一维那样用单侧连续性是不合适的，因为从多元函数的极限讨论已经可以看到问题要复杂得多．此外，我们也只对于在一个去心邻域上又定义的函数给出了它在邻域中心的极限的定义．一个简单的解决办法是在一维时也已经采用过的 ${ }^{(1)}$ ．我们将它写为一个正式的定义．

定义 0.2 设 $f$ 是定义于 $D \subset R ^n$ 上的函数，点 $a \in D$ ，称 $f$ 在点 $a$ 处连续，若对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in O_\delta( a ) \cap D: f( x ) \in O_{\varepsilon}(f( a ))$ 。

注 在这样的定义下，若点 $a \in D$ 是定义域 $D$ 的一个孤立点，则 $f$ 一定在点 $a$ 处连续．事实上，这时存在 $\delta_0>0$ ，使得在邻域 $O_{\delta_0}( a ) \cap D=\{ a \}$ ，因此无论对什么 $\varepsilon>0$ ，只要取 $\delta=\delta_0$ ，则条件就满足了．

从函数极限的四条性质就立即可以得到连续函数的四条局部性质，与一元连续函数完全类似．下面只补充一条性质，它是复合函数连续性的一个特殊情况．又为简单起见，只叙述并证明 $n=2$ 的情况．

性质5 设 $D$ 是 $R ^2$ 中的开集，$\left(x_0, y_0\right) \in D$ ，函数 $f: D \rightarrow R ,(x, y) \mapsto z=$ $f(x, y)$ ，于点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续．又设有两个函数 $x=x(t), y=y(t)$ ，在开区间 $I$ 上定义，值域 $(x, y) \in D, t=t_0 \in I$ 时 $x_0=x\left(t_0\right), y_0=y\left(t_0\right)$ ，且 $x(t), y(t)$ 于点 $t_0$ 连续，则复合函数 $f\left((x(t), y(t))\right.$ 于点 $t_0$ 连续．

综合以上，当 $\left|t-t_0\right|<\eta$ 时就有

$$
\mid f(x(t), y(t))-f\left(x\left(t_0\right), y\left(t_0\right)\left|=\left|f(x, y)-f\left(x_0, y_0\right)\right|<\varepsilon\right.\right.
$$

即证明了 $f(x(t), y(t))$ 于点 $t_0$ 连续．

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