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数学分析
第十三篇 多元函数微分学及其应用
连续函数的零点存在定理
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更新:
2025-02-02 08:39
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连续函数的零点存在定理
五．连续函数的零点存在定理 定理 0.1 设 $D$ 是 $R ^n$ 中的一个区域，点 $p_0, p_1 \in D, f$ 是 $D$ 上的连续函数，且 $f\left(p_0\right)>$ $0, f\left(p_1\right)<0$ ，则在 $D$ 内连结 $p_0, p_1$ 的任何一条折线上，至少存在一点 $p_{\xi}$ ，使得 $f\left(p_{\xi}\right)=0$ ． 证 只讨论 $n=2$ ．如右图所示，设折线的方程为 $$ x=x(t), y=y(t), \quad t_0 \leqslant t \leqslant t_1 $$  设 $t_0, t_1$ 分别与点 $p_0, p_1$ 对应。则由于 $x(t), y(t)$ 于 $\left[t_0, t_1\right]$ 上连续，用上面的性质 5 ，可见复合函数 $f(x(t), y(t))$ 也在 $\left[t_0, t_1\right]$ 上连续．然后只要用一元连续函数的零点存在定理，即有 $t_{\xi} \in\left(t_0, t_1\right)$ ，使得 $f\left(x\left(t_{\xi}\right), y\left(t_{\xi}\right)\right)=0$ 。于是所求的点 $p_{\xi}=\left(x\left(t_{\xi}\right), y\left(t_{\xi}\right)\right)$.
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