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二元函数的连续性

## 二元函数的连续性
在多元微积分中所讨论的函数中，最重要的一类就是连续函数，这与一元微积分是一样的．二元函数连续性的定义比一元函数更一般化，但它们的局部性质与在有界闭域上的整体性质则完全相同．

### 一、二元函数的连续性概念
定义 1 设 $f$ 为定义在点集 $D \subset \mathbf{R}^2$ 上的二元函数，$P_0 \in D$（它或者是 $D$ 的聚点，或者是 $D$ 的孤立点）．对于任给的正数 $\varepsilon$ ，总存在相应的正数 $\delta$ ，只要 $P \in U\left(P_0 ; \delta\right) \cap D$ ，就有

$$
\left|f(P)-f\left(P_0\right)\right|<\varepsilon,
$$

则称 $f$ 关于集合 $D$ 在点 $P_0$ 连续．在不致误解的情况下，也称 $f$ 在点 $P_0$ 连续．
若 $f$ 在 $D$ 上任何点都关于集合 $D$ 连续，则称 $f$ 为 $D$ 上的连续函数．
由上述定义知道：若 $P_0$ 是 $D$ 的孤立点，则 $P_0$ 必定是 $f$ 关于 $D$ 的连续点；若 $P_0$ 是 $D$的聚点，则 $f$ 关于 $D$ 在 $P_0$ 连续等价于

$$
\lim _{\substack{P \rightarrow P_0 \\ P \in D}} f(P)=f\left(P_0\right) .
$$

如果 $P_0$ 是 $D$ 的聚点，而（2）式不成立（其含义与一元函数的对应情形相同），则称 $P_0$ 是 $f$ 的不连续点（或称间断点）。特别当（2）式左边极限存在但不等于 $f\left(P_0\right)$ 时，$P_0$是 $f$ 的可去间断点．

`例`讨论函数

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{x^\alpha}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\
0, & (x, y)=(0,0)
\end{array}\right.
$$

在点 $(0,0)$ 的连续性．
解 由于当 $\alpha>2$ 且 $r \rightarrow 0$ 时，

$$
|f(r \cos \theta, r \sin \theta)|=\left|r^{\alpha-2}(\cos \theta)^\alpha\right| \leqslant r^{\alpha-2} \rightarrow 0,
$$

因此 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0=f(0,0)$ ，此时 $f$ 在点 $(0,0)$ 连续；当 $\alpha \leqslant 2$ 时， $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$不存在，此时 $f$ 在点 $(0,0)$ 间断．

设 $P_0\left(x_0, y_0\right), P(x, y) \in D, \Delta x=x-x_0, \Delta y=y-y_0$ ，则称

$$
\begin{aligned}
\Delta z & =\Delta f\left(x_0, y_0\right)=f(x, y)-f\left(x_0, y_0\right) \\
& =f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)
\end{aligned}
$$

为函数 $f$ 在点 $P_0$ 的**全增量**．和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当

$$
\lim _{\substack{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) \\(x, y) \in D}} \Delta z=0
$$

时，$f$ 在点 $P_0$ 连续．
如果在全增量中取 $\Delta x=0$ 或 $\Delta y=0$ ，则相应的函数增量称为**偏增量**，记作

$$
\begin{aligned}
& \Delta_x f\left(x_0, y_0\right)=f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0\right), \\
& \Delta_y f\left(x_0, y_0\right)=f\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right) .
\end{aligned}
$$

一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和．

若一个偏增量的极限为零，例如 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta_x f\left(x_0, y_0\right)=0$ ，它表示在 $f$ 的两个自变量中，当固定 $y=y_0$ 时，$f\left(x, y_0\right)$ 作为 $x$ 的一元函数在 $x_0$ 连续。同理，若 $\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \Delta_y f\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则表示 $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y_0$ 连续．容易证明：当 $f$ 在其定义域的内点 $\left(x_0, y_0\right)$ 连续时，$f\left(x, y_0\right)$ 在 $x_0$ 和 $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y_0$ 都连续．但是反过来，二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性 。例如二元函数（参见图16－10）

![图片](/uploads/2025-11/cfe323.jpg)
 
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{lr}
1, & x y \neq 0 \\
0, & x y=0
\end{array}\right.
$$

在原点处显然不连续．但由于

$$
f(0, y)=f(x, 0) \equiv 0
$$

因此在原点处 $f$ 对 $x$ 和对 $y$ 分别都连续．
若二元函数在某一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性以及相应的有理运算的各个法则。下面证明二元复合函数的连续性定理，其余留给读者自己去证明。

定理 16．7（复合函数的连续性）设函数 $u=\varphi(x, y)$ 和 $v=\psi(x, y)$ 在 $x y$ 平面上点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的某邻域内有定义，并在点 $P_0$ 连续；函数 $f(u, v)$ 在 $u v$ 平面上点 $Q_0\left(u_0, v_0\right)$ 的某邻域内有定义，并在点 $Q_0$ 连续，其中 $u_0=\varphi\left(x_0, y_0\right), v_0=\psi\left(x_0, y_0\right)$ 。则复合函数 $g(x, y)=f[\varphi(x, y), \psi(x, y)]$ 在点 $P_0$ 也连续。

证 由 $f$ 在点 $Q_0$ 连续可知：任给正数 $\varepsilon$ ，存在相应正数 $\eta$ ，使得当 $\left|u-u_0\right|<\eta, \mid v- v_0 \mid<\eta$ 时，有

$$
\left|f(u, v)-f\left(u_0, v_0\right)\right|<\varepsilon .
$$

又由 $\varphi, \psi$ 在点 $P_0$ 连续可知：对上述正数 $\eta$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得当 $\left|x-x_0\right|<\delta,\left|y-y_0\right|< \delta$ 时，都有

$$
\begin{aligned}
\left|u-u_0\right| & =\left|\varphi(x, y)-\varphi\left(x_0, y_0\right)\right|<\eta, \\
\left|v-v_0\right| & =\left|\psi(x, y)-\psi\left(x_0, y_0\right)\right|<\eta .
\end{aligned}
$$

综合起来，当 $\left|x-x_0\right|<\delta,\left|y-y_0\right|<\delta$ 时，便有

$$
\left|g(x, y)-g\left(x_0, y_0\right)\right|=\left|f(u, v)-f\left(u_0, v_0\right)\right|<\varepsilon .
$$

所以复合函数 $f(\varphi(x, y), \psi(x, y))$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 连续．

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