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累次极限

## 累次极限
在上一节所研究的极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)$中，两个自变量 $x, y$ 同时以任何方式趋于 $x_0$ ， $y_0$ ．这种极限也称为重极限．在这一段里，我们要考察 $x$ 与 $y$ 依一定的先后顺序相继趋于 $x_0$与 $y_0$ 时 $f$ 的极限，这种极限称为累次极限．

定义 3 设 $f(x, y),(x, y) \in D, D$ 在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的投影分别为 $X, Y$ ，即

$$
X=\{x \mid(x, y) \in D\}, Y=\{y \mid(x, y) \in D\},
$$

$x_0, y_0$ 分别是 $X, Y$ 的聚点．若对每一个 $y \in Y\left(y \neq y_0\right)$ ，存在极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y)$ ，它一般与 $y$有关，故记作

$$
\varphi(y)=\lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y),
$$

如果进一步还存在极限

$$
L=\lim _{y \rightarrow y_0} \varphi(y),
$$

则称此极限 $L$ 为 $f(x, y)$ 先对 $x\left(\rightarrow x_0\right)$ ，后对 $y\left(\rightarrow y_0\right)$ 的累次极限，记作

$$
L=\lim _{y \rightarrow y_0} \lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y) .
$$

类似地可以定义先对 $y$ 后对 $x$ 的累次极限

$$
K=\lim _{x \rightarrow x_0} \lim _{y \rightarrow y_0} f(x, y) .
$$

累次极限与重极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的蕴含关系．下面三个例子将说明这一点．

`例` 设 $f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y^2}$ ．由 上一节例题 已经知道 $(x, y) \rightarrow(0,0)$ 时 $f$ 的重极限不存在．但当 $y \neq 0$ 时有

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x y}{x^2+y^2}=0 .
$$

从而有

$$
\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x y}{x^2+y^2}=0 .
$$

同理可得

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} \frac{x y}{x^2+y^2}=0 .
$$

即 $f$ 的两个累次极限都存在而且相等．

`例`设 $f(x, y)=\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}$ ，它关于原点的两个累次极限分别为

$$
\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{y^2-y}{y}=\lim _{y \rightarrow 0}(y-1)=-1
$$

与

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} \frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+x^2}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)=1 .
$$

当沿斜率不同的直线 $y=m x,(x, y) \rightarrow(0,0)$ 时，容易验证所得极限也不同．因此该函数的重极限不存在（下面的定理 16.6 将告诉我们，这是一个必然的结果）．

`例`设 $f(x, y)=x \sin \frac{1}{y}+y \sin \frac{1}{x}$ ，它关于原点的两个累次极限都不存在．这是因为对任何 $y \neq 0$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时 $f$ 的第二项不存在极限．同理，对任何 $x \neq 0$ ，当 $y \rightarrow 0$ 时 $f$ 的第一项也不存在极限．但是由于

$$
\left|x \sin \frac{1}{y}+y \sin \frac{1}{x}\right| \leqslant|x|+|y|,
$$

故按定义 1 知道 $f$ 的重极限存在，且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=0$ ．

下述定理告诉我们：重极限与累次极限在一定条件下也是有联系的．

定理 16.6 若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 存在重极限

$$
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)
$$

与累次极限

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \lim _{y \rightarrow y_0} f(x, y),
$$

则它们必相等．
证 设

$$
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)=A,
$$

则对任给的正数 $\varepsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，使得当 $P(x, y) \in U^{\circ}\left(P_0 ; \delta\right)$ 时，有

$$
|f(x, y)-A|<\varepsilon . ...(2)
$$

另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式

$$
0<\left|x-x_0\right|<\delta ...(3)
$$

的 $x$ ，存在极限

$$
\lim _{y \rightarrow y_0} f(x, y)=\varphi(x) . ...(4)
$$

回到不等式（2），让其中 $y \rightarrow y_0$ ，由（4）式可得

$$
|\varphi(x)-A| \leqslant \varepsilon . ...(5)
$$

故由（3）式、（5）式证得 $\lim _{x \rightarrow x_0} \varphi(x)=A$ ，即

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \lim _{y \rightarrow y_0} f(x, y)=\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)=A .
$$

$\square$
由这个定理可导出如下两个便于应用的推论．

推论 1 若累次极限

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \lim _{y \rightarrow y_0} f(x, y), \quad \lim _{y \rightarrow y_0} \lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y)
$$

和重极限

$$
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)
$$

都存在，则三者相等。
推论2 若累次极限

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \lim _{y \rightarrow y_0} f(x, y) \quad \text { 与 } \quad \lim _{y \rightarrow y_0} \lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y)
$$

存在但不相等，则重极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)$ 必不存在。

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