最后更新: 2025-03-17 08:29 查看: 14 次反馈刷题

累次积分

六．有界闭集上连续函数的性质
这里将有界闭区域改为有界闭集，更广一点．当然这里需要连续性的一般性定义，而这在前面已经做好了准备工作。

以下两个定理的证明放到后面，将作为更一般的连续映射的性质的特例而得到．

定理 0.2 设 $f$ 是有界闭集 $D$ 上的连续函数，则 $f(D)$ 有界，且有最大值和最小值．又若 $D$ 为有界闭区域，则 $f(D)$ 为有界闭区间．

定理 0.3 设 $f$ 是有界闭集 $D$ 上的连续函数，则 $f$ 在 $D$ 上一致连续．

七．累次极限
为简明起见，这里只在 $R ^2$ 中讨论。
首先，将前面的多元函数极限称为重极限，将 $n$ 元函数极限称为 $n$ 重极限，将二元函数极限称为二重极限。

设 $D$ 是 $R ^2$ 中的开集，$f: D \rightarrow R , a =\left(x_0, y_0\right) \in D$ ，则可能存在以下两种极限：

$$
\lim _{y \rightarrow y_0} \lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y), \quad \lim _{x \rightarrow x_0} \lim _{y \rightarrow y_0} f(x, y),
$$

分别称为先 $x$ 后 $y$ 的二次极限和先 $y$ 后 $x$ 的二次极限，统称为累次极限．
具体来说，先看 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y)$ ．这时用正方形邻域或长方形邻域比较方便．如右下图所示，作出了点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的一个正方形去心邻域，也就是

$$
\left\{(x, y)\left|\left|x-x_0\right|<\delta,\left|y-y_0\right|<\delta,(x, y) \neq\left(x_0, y_0\right)\right\} .\right.
$$

于是对于满足 $0<\left|y-y_0\right|<\delta$ 的每一个 $y$ ，将 $y$ 作为参数，令 $x \rightarrow 0$ ，若存在极限，这就是 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y)$ ．

若对每个这样的 $y$ 都有上述极限，则可以记为

$$
\phi(y)=\lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y)
$$

在 $0<\left|y-y_0\right|<\delta$ 时有定义．然后可以考虑这个函数 $\phi(y)$ 在 $y=y_0$ 的极限．若有定义，就称为先 $x$ 后 $y$ 的二次极限，如前记为

$$
\lim _{y \rightarrow y_0} \lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y)=\lim _{y \rightarrow y_0} \phi(y)
$$

![图片](/uploads/2025-02/93f280.jpg)
同样定义先 $y$ 后 $x$ 的二次极限．

注 由以上累次极限的定义可以看出，在讨论累次极限时，函数 $f$ 不仅可以在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处没有定义，而且可以在 $x=x_0$ 和 $y=y_0$ 两条直线上没有定义．

在引入以上定义之后，一个严重的问题（即不能回避的问题）就是两个累次极限与二重极限之间的关系，其中包括存在性和极限值两个方面。在讨论之前，先注意在两个累次极限定义中，函数 $f$ 只需要在 $\left(x-x_0\right)\left(y-y_0\right) \neq 0$ 时有定义即可．这等于说，在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域中，即使 $x=x_0$ 和 $y=y_0$ 两条直线上 $f$ 都没有定义，仍然可以定义两个累次极限。但二重极限则只允许 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处没有定义。

由于这里涉及到三个极限，出现多种可能，我们还是先举几个例子看一看会发生什么情况。

例题 0.6 设 $f(x, y)=\left\{\begin{aligned} x \sin \frac{1}{y}+y \sin \frac{1}{x}, & x y \neq 0, \\ 0, & x y=0,\end{aligned}\right.$ 讨论 $f$ 在 $(0,0)$ 的二重极限和两个累次极限。

解 从 $|f(x, y)| \leqslant|x|+|y|$ 可见 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0$ ．

现在观察 $\phi(y)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)$ ．当然只有当 $\phi(y)$ 在 $y=0$ 的某一个去心邻域上有定义的前提下，才能考虑先 $x$ 后 $y$ 的二次极限。

于是只要在 $y \neq 0$ 且 $|y|$ 充分小时来考察 $\phi(y)$ ．固定这样的 $y$ ，它是参数，不参加 $x \rightarrow 0$ 的极限过程．而这个极限过程中按照极限的定义，$x \neq 0$ ．

这时从表达式可见，第一项趋于 0 ，第二项没有极限，因此对于所有 $y \neq 0, \phi(y)$不存在．

容易看出，$y=0$ 时 $f(x, 0) \equiv 0$ ，因此 $\phi(0)=0$ 。但这没有用处．因为考虑 $\lim _{y \rightarrow 0} \phi(y)$ 时需要的不是 $\phi(0)$ ．于是先 $x$ 后 $y$ 的二次极限不存在，因为其中的第一次极限在 $y \neq 0$ 时不存在．

从对称性可以知道，先 $y$ 后 $x$ 的二次极限也不存在，问题出在第一次极限在 $x \neq 0$ 时不存在．

结论：在这个例题中，$f$ 在点 $(0,0)$ 处存在二重极限，但两个累次极限都不存在．

例题 0.7 设 $f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y^2} \forall(x, y) \neq(0,0)$ ，讨论 $f$ 在点 $(0,0)$ 的累次极限。

解 在例题 3 中已经证明 $f$ 在 $(0,0)$ 的二重极限不存在．对于先 $x$ 后 $y$ 的二次极限，先看第一次极限，即

$$
\phi(y)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x y}{x^2+y^2}
$$

从表达式可以直接看出，在参数 $y \neq 0$ 时，总有 $\phi(y)=0$ ．于是也就有 $\lim _{y \rightarrow 0} \phi(y)=0$ ． （此题中也有 $\phi(y)=0$ ，但这并不需要．）这样就知道先 $x$ 后 $y$ 的二次极限为 0 ．从对称性可知先 $y$ 后 $x$ 的二次极限也是 0 。

结论：在这个例题中 $f$ 在点 $(0,0)$ 不存在二重极限，但存在两个累次极限，且相等。 $\square$
（以上两个例子是补充的，不是教科书上的．）

例题 0.6 设 $f(x, y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \forall(x, y) \neq(0,0)$ ，讨论 $f$ 在点 $(0,0)$ 的两个累次极限。

解 由表达式可直接看出当 $y \neq 0$ 时有 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)=-1$ ，从而先 $x$ 后 $y$ 的二次极限 $\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)=-1$ ．

同样从表达式直接看出当 $x \neq 0$ 时有 $\lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=1$ ，从而先 $y$ 后 $x$ 的二次极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=1$ ．

于是 $f$ 在点 $(0,0)$ 的两个累次极限都存在，但不相等．

例题 0.7 设 $f(x, y)=\frac{x y}{x^2+y^2} \forall(x, y) \neq(0,0)$ ，讨论 $f$ 在点 $(0,0)$ 的累次极限。

解 在例题 3 中已经证明 $f$ 在 $(0,0)$ 的二重极限不存在．对于先 $x$ 后 $y$ 的二次极限，先看第一次极限，即

$$
\phi(y)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x y}{x^2+y^2},
$$

结论：在这个例题中 $f$ 在点 $(0,0)$ 不存在二重极限，但存在两个累次极限，且相等。
（以上两个例子是补充的，不是教科书上的．）

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