最后更新: 2025-03-17 08:30 查看: 15 次反馈刷题

累次积分相等的充分条件

上次最后两个例题都是补充例题，一个说明可以存在二重极限，但不存在两个累次极限；另一个说明反过来的情况也是存在的。

下面是按照书上编号的例题 6 。
例题 0.6 设 $f(x, y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \forall(x, y) \neq(0,0)$ ，讨论 $f$ 在点 $(0,0)$ 的两个累次极限。

解 由表达式可直接看出当 $y \neq 0$ 时有 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)=-1$ ，从而先 $x$ 后 $y$ 的二次极限 $\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)=-1$ 。

同样从表达式直接看出当 $x \neq 0$ 时有 $\lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=1$ ，从而先 $y$ 后 $x$ 的二次极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=1$ 。

于是 $f$ 在点 $(0,0)$ 的两个累次极限都存在，但不相等。
下面是这方面的一个定理，它给出了两个累次极限相等的一个充分条件．其中的内容比教科书上要多一点．

> 定理 0.1 设存在二重极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\ y \rightarrow y_0}} f(x, y)=A$ ，又设当 $y \neq y_0,\left|y-y_0\right|$ 充分小时，存在极限 $\varphi(y)=\lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y)$ ，则存在先 $x$ 后 $y$ 的二次极限，且等于 $A$ ，即有 $\lim _{y \rightarrow y_0} \lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y)=\lim _{y \rightarrow y_0} \varphi(y)=A$ ．

$$
A-\varepsilon<f(x, y)<A+\varepsilon
$$

不妨设 $\delta$ 已经充分小，使得当 $0<\left|y-y_0\right|<\delta$ 时，$\varphi(y)=\lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y)$ 已经存在．
对于满足 $0<\left|y-y_0\right|<\delta$ 的 $y$ ，在（1）中将 $y$ 看作为参数，令 $x \rightarrow x_0$ ，就得到

$$
A-\varepsilon \leqslant \lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y)=\varphi(y) \leqslant A+\varepsilon
$$

这已经证明了 $\lim _{y \rightarrow y_0} \varphi(y)=A$ ．
推论 设 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 存在二重极限，又存在两个二次极限，则三个极限值相等。

注 当然只要存在二重极限，又存在两个第一次极限（书上称为里层极限），就保证两个累次极限存在且三个极限值相等．例题 6 就是存在二重极限但不保证两
个累次极限存在从例子．当然上述定理只是一个充分条件．例题 7 表明不存在二重极限时仍然可以存在两个累次极限且相等。例题 8 表明存在两个累次极限但不相等也是可能的．从上述定理的逆否命题可知，例题 8 中的函数 $f$ 在 $(0,0)$ 不存在二重极限。

此外，如前面所说，上述定理中的条件可以减弱，这就是将二重极限的定义中 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的一个去心邻域上有定义的前提条件降低为只在 $\{(x, y) \in$ $\left.O\left(x_0, y_0\right)-\left\{\left(x_0, y_0\right)\right\} \mid x \neq x_0, y \neq y_0\right\}$ 上有定义，其他不变．（教科书中称为去十字二重极限，这也不错，就是不知道 $n>1$ 时有什么其他名称．）

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