最后更新: 2025-11-06 09:30 查看: 96 次纠错评论(0) 课件开VIP

有界闭域上连续函数的性质（最大、最小值定理）

## 有界闭域上连续函数的性质
本段讨论有界闭域上多元连续函数的性质。它们可以看作是闭区间上一元连续函数性质的推广。
定理16.8（有界性与最大、最小值定理）若函数 $f$ 在有界闭域 $D \subset \mathbf{R}^2$ 上连续，则 $f$ 在 $D$ 上有界，且能取得最大值与最小值．

证 先证明 $f$ 在 $D$ 上有界．倘若不然，则对每个正整数 $n$ ，必存在点 $P_n \in D$ ，使得

$$
\left|f\left(P_n\right)\right|>n, \quad n=1,2, \cdots ...(3)
$$

于是得到一个有界点列 $\left\{P_n\right\} \subset D$ ，且总能使 $\left\{P_n\right\}$ 中有无穷多个不同的点．由 $\S 1$ 定理 16．3，$\left\{P_n\right\}$ 存在收敛子列 $\left\{P_{n_k}\right\}$ ，设 $\lim _{k \rightarrow \infty} P_{n_k}=P_0$ ．且因 $D$ 是闭域，从而 $P_0 \in D$ ．

由于 $f$ 在 $D$ 上连续，当然在点 $P_0$ 也连续，因此有

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(P_{n_k}\right)=f\left(P_0\right)
$$

这与不等式（3）相矛盾．所以 $f$ 是 $D$ 上的有界函数．
下面证明 $f$ 在 $D$ 上能取到最大、最小值．为此设

$$
m=\inf f(D), \quad M=\sup f(D)
$$

可证必有一点 $Q \in D$ ，使 $f(Q)=M$（同理可证存在 $Q^{\prime} \in D$ ，使 $\left.f\left(Q^{\prime}\right)=m\right)$ 。如若不然，对任意 $P \in D$ ，都有 $M-f(P)>0$ ．考察 $D$ 上的连续正值函数

$$
F(P)=\frac{1}{M-f(P)}
$$

由前面的证明知道，$F$ 在 $D$ 上有界．又因 $f$ 不能在 $D$ 上达到上确界 $M$ ，所以存在收敛点列 $\left\{P_n\right\} \subset D$ ，使 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(P_n\right)=M$ 。于是有 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(P_n\right)=+\infty$ ，这导致与 $F$ 在 $D$ 上有界的结论相矛盾．从而证得 $f$ 在 $D$ 上能取得最大值．

定理 16．9（一致连续性定理）若函数 $f$ 在有界闭域 $D \subset \mathbf{R}^2$ 上连续，则 $f$ 在 $D$ 上一致连续．即对任何 $\varepsilon>0$ ，总存在只依赖于 $\varepsilon$ 的正数 $\delta$ ，使得对一切点 $P, Q$ ，只要 $\rho(P, Q)< \delta$ ，就有 $|f(P)-f(Q)|<\varepsilon$ 。

证 我们可以用聚点定理来证明．
倘若 $f$ 在 $D$ 上连续而不一致连续，则存在某 $\varepsilon_0>0$ ，对于任意小的 $\delta>0$ ，例如 $\delta=\frac{1}{n}$ ， $n=1,2, \cdots$ ，总有相应的 $P_n, Q_n \in D$ ，虽然 $\rho\left(P_n, Q_n\right)<\frac{1}{n}$ ，但是 $\left|f\left(P_n\right)-f\left(Q_n\right)\right| \geqslant \varepsilon_0$ ．

由于 $D$ 为有界闭域，因此存在收敛子列 $\left\{P_{n_k}\right\} \subset\left\{P_n\right\}$ ，并设 $\lim _{k \rightarrow \infty} P_{n_k}=P_0 \in D$ ．为记号方便起见，再在 $\left\{Q_n\right\}$ 中取出与 $P_{n_k}$ 下标相同的子列 $\left\{Q_{n_k}\right\}$ ，则因

$$
0 \leqslant \rho\left(P_{n_k}, Q_{n_k}\right)<\frac{1}{n_k} \rightarrow 0, \quad k \rightarrow \infty
$$

而有 $\lim _{k \rightarrow \infty} Q_{n_k}=\lim _{k \rightarrow \infty} P_{n_k}=P_0$ ．最后，由 $f$ 在 $P_0$ 连续，得到

$$
\lim _{k \rightarrow \infty}\left|f\left(P_{n_k}\right)-f\left(Q_{n_k}\right)\right|=\left|f\left(P_0\right)-f\left(P_0\right)\right|=0
$$

这与 $\left|f\left(P_{n_k}\right)-f\left(Q_{n_k}\right)\right| \geqslant \varepsilon_0>0$ 相矛盾．所以 $f$ 在 $D$ 上一致连续．

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