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多元函数Euclid 空间上的映射

## Euclid 空间上的映射
设 $D$ 是 $R ^n$ 的一个子集，定义

$$
\begin{aligned}
& f: D \subset R ^n \rightarrow R ^m, \\
& x \mapsto y \in R ^m,
\end{aligned}
$$

其中 $m$ 可以与 $n$ 相同，也可以不同，这就是从 $D$ 到 $R ^m$ 的一个映射．
由于 $y \in R ^m$ ，因此可以写为 $y =\left(y_1, \cdots, y_m\right)$ ，其中每一个 $y_i(i=1, \cdots, m)$是一个 $n$ 元函数，即可写为

$$
y_1=f_1\left(x_1, \cdots, x_n\right), \cdots, y_m=f_m\left(x_1, \cdots, x_n\right)
$$

`例` $  n=1, m=3$ 的例子是三维向量值函数．可以写为

$$
\begin{aligned}
& c:[a, b] \rightarrow R ^3, \\
& t \mapsto(x, y, z),
\end{aligned}
$$

其中 $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ 是 $[a, b]$ 上的三个函数．若它们都是连续函数，则称它们在 $R ^3$ 中的图像为三维连续曲线．

`例` $  n>1, m=1$ ，这就是前面的 $n$ 元函数．

`例` 设 $D$ 是 $R ^3$ 中 的一个区 域，$D=$

$$
\begin{gathered}
\{(r, \varphi, \theta) \mid r>0,0<\theta<2 \pi, 0<\varphi<\pi\}, \text { 又设 } \\
T: D \rightarrow R ^3, \\
(r, \varphi, \theta) \mapsto(x, y, z),
\end{gathered}
$$

其中 $x, y, z$ 都是定义域 $D$ 上的 $r, \varphi, \theta$ 的三元函数．采用下列表达式时 $T$ 就是空间球面坐标变换：

$$
\begin{aligned}
& x=r \sin \varphi \cos \theta \\
& y=r \sin \varphi \sin \theta \\
& z=r \cos \varphi
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-02/fec828.jpg)
 
 而且在定义域 $D$ 上是一一映射．
注 这里可以先讲一下极坐标变换，即从映射观点来看这个变换．这时映射的定义域取为 $D=\{(r, \theta) \mid r>0,0<\theta<2 \pi\}$ ，映射的对应关系是

$$
x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta
$$

这是多元微积分中常用的变换．从映射观点来看，它实现了从 $D$ 到 $x O y$ 平面上下列区域的一一映射：

$$
\{(x, y) \mid y=0 \text { 时 } x<0\} \text {. }
$$

如下图所示，极坐标变换是 $r O \theta$ 平面上区域 $D$ 到 $x O y$ 平面的一个映射．在 $D$中 $r$ 等于常数的垂直细直线映射到 $x O y$ 平面上的同心圆，而 $D$ 中 $\theta$ 等于常数的水平虚线映射到 $x O y$ 平面上从原点出发的射线．

![图片](/uploads/2025-02/b99efe.jpg)

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