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连续映射

$\S 17.3$ 连续映射
一．连续映射的概念
首先要讲极限．对于从 $D \subset R ^n$ 到 $R ^m$ 中的映射 $f$ ，设 $f$ 在点 $a$ 的某一个去心邻域上有定义．则容易讲前面一元函数和多元函数的极限概念推广过来，这就是

$$
\lim _{ x \rightarrow a } f ( x )= A \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in O_\delta( a )-\{ a \}: f ( x ) \in O_{\varepsilon}( A ),
$$

其中 $x , a$ 是 $n$ 维向量，点 $a$ 可以属于也可以不属于 $f$ 的定义域 $D . O_\delta( a )-\{ a \}$ 是 $n$ 维去心邻域，即 $n$ 维去心开球， $f , A$ 是 $m$ 维向量，$O_{\varepsilon}( A )$ 是 $m$ 维邻域，即 $m$ 维开球．若用距离 $|\cdot|$ 记号，则有两种距离，即 $n$ 维 Euclid 距离和 $m$ 维 Euclid 距离．

$$
\begin{aligned}
x \in O_\delta( a )-\{ a \} & \Longleftrightarrow 0<| x - a |<\delta, \\
f ( x ) \in O_{\varepsilon}( A ) & \Longleftrightarrow| f ( x )- A |<\varepsilon .
\end{aligned}
$$

在此基础上，设 $f$ 在点 $a$ 的一个邻域上有定义，即点 $a$ 是定义域 $D$ 的内点．$f$在点 $a$ 连续就定义为

$$
\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a)
$$

对于 $D$ 的边界点，则也可以定义函数极限和连续性．这时只要讲上面的去心邻域 $O_\delta( a )-\{ a \}$ 或者邻域 $O_\delta( a )$ 用它们与 $D$ 的交代替即可．

利用第十六章中点列收玫等价于每个坐标收玫，于是就有以下性质：
性质 设函数 $f =\left(f_1, \cdots, f_m\right)$ ，定义域是 $D \subset R ^n, a \in D$ ，则 $f$ 在点 $a$ 连续的充要条件是每一个 $f_i(i=1, \cdots, m)$ 在点 $a$ 连续．

若 $f$ 在定义域 $D$ 上处处连续，则称 $f$ 为 $D$ 上的连续映射。从上述性质可知，这等价于它的 $m$ 个分量都是 $D$ 上的 $n$ 元连续函数．

三．有界闭集上连续映射的性质
这里考虑定义域比有界闭区域更广一些的连续映射。
这方面的主要结果如下．它是一元函数中相应定理的推广．
定理 0.1 有界闭集上的连续映射的值域一定是有界闭集．
（我们也称有界闭集为紧集．于是定理就是说，连续映射将紧集映到紧集．）
证 设 $K$ 是 $R ^n$ 中的有界闭集， $f : K \rightarrow R ^m$ 为连续映射，要证明 $f (K)$ 为 $R ^m$中的有界闭集。

先证明值域 $f (K)$ 为闭集．设 $y$ 是值域的聚点，则存在值域 $f (K)$ 中的点列 $\left\{ y _k\right\}$ 收玫于 $y$ ．

对每个 $k$ 有 $y _k= f \left( x _k\right)$ ，利用 $\left\{ x _k\right\}$ 为有界点列，从凝聚定理知道，它存在收玫子列 $\left.\left\{ x _{k_i}\right)\right\}$ ．记 $a =\lim _{i \rightarrow \infty} x _{k_i}$ ，则 $a$ 为 $K$ 的聚点．由于 $K$ 为闭集，因此 $a \in K$ ．

利用 $f$ 在点 $a$ 连续，又利用 $\left\{ y _k\right\}$ 的子列 $\left\{ y _{k_i}\right\}$ 也收玫于 $y$ ，因此就有

$$
y =\lim _{i \rightarrow \infty} y _{k_i}=\lim _{i \rightarrow \infty} f \left( x _{k_i}\right)= f ( a )
$$

这就证明了 $y \in f (K)$ 。
然后证明 $f (K)$ 有界．用反证法，设有 $f (K)$ 中的一个无界点列 $\left\{ y _k\right\}$ ，即一方面对每个 $k$ 有 $y _k= f \left( x _k\right), x _k \in K$ ；另一方面有 $\lim _{k \rightarrow \infty}\left| y _k\right|=+\infty$ 。

与前面一样利用 $K$ 为有界闭集，在 $\left\{ x _k\right\}$ 中存在收玫子列，且其极限属于 $K$ 。不妨设已经有 $\lim _{k \rightarrow \infty} x _k= a \in K$ ，则由于 $f$ 在点 $a$ 连续，因此局部有界。这导致 $k$充分大时， $y _k$ 有界，引出矛盾。

注 这里两次使用凝聚定理。由于在前面聚点的定义后已经证明它等价于有点列收敛于它，因此用凝聚定理非常方便。若用有限覆盖定理则比较难说一点。虽然从本质上说，有界闭集就是紧集，而紧集的一般性定义应当是其有限覆盖性质。

由此就有关于多元函数的推论。它当然是一元连续函数的性质的推广．
推论 1 有界闭集上的多元函数的值域是 $R$ 中的有界闭集。
利用连续函数的零点存在定理，可以得到一元连续函数的介值定理的推广．
定理 0.2 连通集上的多元连续函数的值域是区间．

由此可以得到上一节中的定理 3 ．
下面的推论 2 与书中 p .25 的推论 2 不同．
推论2 有界闭区域上的多元连续函数的值域为有界闭区间．
证 根据闭区域的定义，一定可以写为 $\bar{D}=D \cup \partial D$ ，其中 $D$ 是闭区域的所有内点组成的开集．于是边界点集中每个点是 $D$ 的聚点．

先看 $f(D)$ ．从上述定理 2 知道 $f(D)$ 是区间．又由定理 1 知道 $f(\bar{D})$ 有界，因此 $f(D)$ 是有界区间．不论它是否闭，它的闭包 $\overline{f(D)}$ 一定是有界闭区间．

下面只要证明 $f(\bar{D})=\overline{f(D)}$ 就够了．分成两点来证明。
（i）$f(\bar{D}) \supset \overline{f(D)}$ ．
用反证法．若（i）不成立，则存在点 $x_0 \in \overline{f(D)}$ ，但 $x_0 \notin f(\bar{D})$ ．于是 $x_0 \in$ $f(\bar{D})^c$ 。由定理1知 $f(\bar{D})$ 闭，因此其补集 $f(\bar{D})^c$ 开，从而存在 $x_0$ 的一个邻域 $O\left(x_0\right) \subset f(\bar{D})^c$ 。这表明邻域 $O\left(x_0\right) \cap f(\bar{D})=\varnothing$ ，于是也有 $O\left(x_0\right) \cap f(D)=\varnothing$ 。然而这与 $x_0 \in \overline{f(D)}$ 矛盾．因此（i）成立．
（ii）$f(\bar{D}) \subset \overline{f(D)}^{(1)}$ ．

由于 $f(\bar{D})=f(D) \cup f(\partial D)$ ，因此只要证明 $f(\partial D) \subset \overline{f(D)}$ ．
设 $x_0 \in \partial D$ ，则因 $D$ 开，因此 $x_0$ 不属于 $D$ ，但是 $D$ 的聚点．于是有 $x_n \rightarrow x_0$ ， $x_n \in D \forall n$ ．因 $f$ 在点 $x_0$ 连续，因此也有 $f\left(x_n\right) \rightarrow f\left(x_0\right)$ ．于是或者已有 $f\left(x_0\right) \in f(D)$ ，或者 $f\left(x_0\right)$ 是 $f(D)$ 的聚点，则属于 $f(D)$ 的闭包．因此总是有 $f\left(x_0\right) \in \overline{f(D)}$ ．即（ii）成立．

注 1 以上证明的 $f(\bar{D})=\overline{f(D)}$ 不仅对于有界闭区域 $D$ 上的多元连续函数 $f$成立，从证明可见，

注 书上 p． 25 中推论 2 是连通有界闭集上的连续函数的值域为有界闭区间．这本身没有错．由于闭区域不一定连通，因此不能由这个推论 2 得到前面 p． 20 的定理 2．于是书中没有给出这个定理的证明．

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