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有界函数介值性定理

## 有界函数介值性定理

**定理16.10** （介值性定理）设函数 $f$ 在区域 $D \subset \mathbf{R}^2$ 上连续，若 $P_1, P_2$ 为 $D$ 中任意两点，且 $f\left(P_1\right)<f\left(P_2\right)$ ，则对任何满足不等式

$$
f\left(P_1\right)<\mu<f\left(P_2\right)
$$

的实数 $\mu$ ，必存在点 $P_0 \in D$ ，使得 $f\left(P_0\right)=\mu$ ．
证 作辅助函数

$$
F(P)=f(P)-\mu, \quad P \in D .
$$

易见 $F$ 仍在 $D$ 上连续，且由不等式（4）知道 $F\left(P_1\right)<0, F\left(P_2\right)>0$ 。这里不妨假设 $P_1, P_2$是 $D$ 的内点（为什么？）．下面证明必存在 $P_0 \in D$ ，使 $F\left(P_0\right)=0$ ．

由于 $D$ 为区域，我们可以用 $D$ 中的有限折线联结 $P_1$ 和 $P_2$（图 16－11）．若有某一个联结点所对应的函数值为 0 ，则定理已得证．否则从一端开始逐个检查直线段，必定存在某直线段，$F$ 在它两端的函数值异号，不失一般性，设联结 $P_1\left(x_1, y_1\right), P_2\left(x_2, y_2\right)$ 的直线段含于 $D$ ，其方程为

![图片](/uploads/2025-11/6b8972.jpg)
 
 $$
\left\{\begin{array}{l}
x=x_1+t\left(x_2-x_1\right), \\
y=y_1+t\left(y_2-y_1\right),
\end{array} \quad 0 \leqslant t \leqslant 1\right.
$$

在此直线段上，$F$ 表示为关于 $t$ 的复合函数

$$
G(t)=F\left(x_1+t\left(x_2-x_1\right), y_1+t\left(y_2-y_1\right)\right), \quad 0 \leqslant t \leqslant 1
$$

它是 $[0,1]$ 上的一元连续函数，且 $F\left(P_1\right)=G(0)<0<G(1)=F\left(P_2\right)$ ．由一元函数根的存在定理，在 $(0,1)$ 内存在一点 $t_0$ ，使得 $G\left(t_0\right)=0$ ．记

$$
x_0=x_1+t_0\left(x_2-x_1\right), \quad y_0=y_1+t_0\left(y_2-y_1\right)
$$

则有 $P_0\left(x_0, y_0\right) \in D$ ，使得

$$
F\left(P_0\right)=G\left(t_0\right)=0 \text { 即 } f\left(P_0\right)=\mu \text {. }
$$

实际上，定理 16.8 与定理 16.9 中的有界闭域 $D$ 可以改为有界闭集（证明过程无原则性变化）。但是，介值性定理中所考察的点集 $D$ 只能假设是一区域，这是为了保证它具有连通性，而一般的开集或闭集不一定具有这一特性．此外，由定理16．10可知，若 $f$ 为区域 $D$ 上的连续函数，则 $f(D)$ 必定是一个区间（有限或无限）．

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