最后更新: 2025-03-17 08:31 查看: 14 次反馈刷题

一致连续

四．一致连续
这里的定义和关于 Cantor 定理的证明与一元函数完全相同（见上册 p．108），可以不讲。

下面对于 Cantor 定理给一个新的证明．（时间不够未讲．）
证 设 $K \subset R ^n$ 为有界闭集，$f: K \rightarrow R ^m$ 为连续映射，要证明 $f$ 在 $K$ 上一致连续．
 ![图片](/uploads/2025-02/e6cca6.jpg)
 构造 $K$ 与自身的直积

$$
K \times K \subset R ^n \times R ^n= R ^{2 n}
$$

则 $K \times K$ 是 $R ^{2 n}$ 中的有界闭集。（p． 13 之习题2（2）证明闭集与闭集之直积为闭集。有界性是明显的。）这里可以参见图 1，它是一个示意图，可以想象为 $n=1, K \times K$就是 $[a, b ; a, b]$ 。

对于给定的 $\varepsilon>0$ ，定义 $K \times K$ 的子集

$$
A=\{(x, y) \in K \times K| | f(x)-f(y) \mid \geqslant \varepsilon\}
$$

则从 $f$ 连续可以推出 $A$ 为闭集．
同时考虑 $K \times K$ 中的另一个子集

$$
B=\{(x, y) \in K \times K \mid x=y\}
$$

它也是有界闭集．

由于 $\varepsilon>0$ ，可见 $A \cap B=\varnothing$ ．令 $d(A, B)$ 为集 $A$ 和 $B$ 之间的距离，则有 $d(A, B)>0$ ．（这里利用教科书 p .13 的习题 3，4．）

取 $\delta=d(A, B)$ 。下面我们证明当 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in K$ ，且 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，就有 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ．（这里 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|$ 是 $R ^n$ 中的距离，$\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|$ 是 $R ^m$ 中的距离．）

为此只要证明点 $\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right) \notin A$ ．
实际上计算点 $\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right)$ 到集 $B$ 的距离：

$$
\begin{aligned}
d\left(\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right), B\right) & =\inf _{(x, y) \in B}\left|\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right)-(x, y)\right|=\inf _{x \in K}\left|\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right)-(x, x)\right| \\
& \leqslant\left|\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right)-\left(x^{\prime}, x^{\prime}\right)\right|=\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta=d(A, B)
\end{aligned}
$$

因此就保证了 $\left(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\right) \notin A$ ．于是就有 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ．

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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