最后更新: 2025-11-02 09:42 查看: 57 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

偏导数的概念与连续性

> 初学者可以参考 高等数学 [偏导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=380) 进行理解

## 偏导数的概念
从定义于区域 $D \subset R ^2$ 上的二元函数 $z=f(x, y)$ 开始，固定 $y$ ，若 $z$ 对 $x$ 可导，则就将这个导数称为 $z$ 关于 $x$ 的偏导数，记为 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ，或 $z_x$ 。它反映了固定第二个自变量 $y$ 时，因变量 $z$ 关于第一个自变量 $x$ 的变化率。同样可以固定 $x$ ，定义 $z$ 关于 $y$的偏导数，记为 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ，或 $z_y$ 。

详细一点说，设 $f$ 在区域 $D$ 上定义，点 $\left(x_0, y_0\right) \in D$ ，则可以定义 $f$ 在该点对 $x$的偏导数为下列偏差商的极限

$$
\frac{\partial f\left(x_0, y_0\right)}{\partial x}=z_x\left(x_0, y_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}
$$

如果该极限存在的话．同样可以定义 $\frac{\partial f\left(x_0, y_0\right)}{\partial y}=z_y\left(x_0, y_0\right)$ ．
这里明显可以看到与导数相同之处，偏导数的定义也是逐点进行的，因此是函数的局部性质的反映．在 $\left(x_0, y_0\right)$ 为内点的时候，只要增量 $\Delta x$ 或者 $\Delta y$ 充分小，则极限定义中的偏差商就有意义。

以上定义当然可以推广到在区域 $D$ 上有定义的一般多元函数 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ ，定义它在点 $\left(x_1^0, \cdots, x_n^0\right)$ 处的 $n$ 个偏导数，记为

$$
\frac{\partial f\left(x_1^0, \cdots, x_n^0\right)}{\partial x_i}, \quad i=1, \cdots, n
$$

也可以记为 $f_{x_i}\left(x_1^0, \cdots, x_n^0\right), 1=1, \cdots, n$ ．

> 根据定义可以看到，当对$x$求偏导时，可以把y看成常数。同样当对y求偏导时，把x看成常量。

`例`设 $z=x \cos (x y)$ ，则就有

$$
z_x=\cos (x y)-x y \sin (x y), \quad z_y=-x^2 \sin (x y)
$$

`例`设 $u=x^2+y^2+y z e ^{x-z}$ ，则有

$$
u_x=2 x+y z e^{x-z}, \quad u_y=2 y+z e^{x-z}, \quad u_z=y e^{x-z}-y z e^{x-z}
$$

`例` 气体状态方程 $p=\frac{R T}{V}$ ，其中 $p$ 为压强，$R$ 为常数，$T$ 为绝对温度， $V$ 为体积．于是在 $T$

其他版本
【高等数学】偏导数

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：有界函数介值性定理

下一篇：偏导数的几何意义与切平面

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)