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偏导数的概念与连续性

> 初学者可以参考 高等数学 [偏导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=380) 进行理解

## 偏导数的概念
从定义于区域 $D \subset R ^2$ 上的二元函数 $z=f(x, y)$ 开始，固定 $y$ ，若 $z$ 对 $x$ 可导，则就将这个导数称为 $z$ 关于 $x$ 的偏导数，记为 $\frac{\partial z}{\partial x}$ ，或 $z_x$ 。它反映了固定第二个自变量 $y$ 时，因变量 $z$ 关于第一个自变量 $x$ 的变化率。同样可以固定 $x$ ，定义 $z$ 关于 $y$的偏导数，记为 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ，或 $z_y$ 。

详细一点说，设 $f$ 在区域 $D$ 上定义，点 $\left(x_0, y_0\right) \in D$ ，则可以定义 $f$ 在该点对 $x$的偏导数为下列偏差商的极限

$$
\frac{\partial f\left(x_0, y_0\right)}{\partial x}=z_x\left(x_0, y_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}
$$

如果该极限存在的话．同样可以定义 $\frac{\partial f\left(x_0, y_0\right)}{\partial y}=z_y\left(x_0, y_0\right)$ ．
这里明显可以看到与导数相同之处，偏导数的定义也是逐点进行的，因此是函数的局部性质的反映．在 $\left(x_0, y_0\right)$ 为内点的时候，只要增量 $\Delta x$ 或者 $\Delta y$ 充分小，则极限定义中的偏差商就有意义。

以上定义当然可以推广到在区域 $D$ 上有定义的一般多元函数 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ ，定义它在点 $\left(x_1^0, \cdots, x_n^0\right)$ 处的 $n$ 个偏导数，记为

$$
\frac{\partial f\left(x_1^0, \cdots, x_n^0\right)}{\partial x_i}, \quad i=1, \cdots, n
$$

也可以记为 $f_{x_i}\left(x_1^0, \cdots, x_n^0\right), 1=1, \cdots, n$ ．

> 根据定义可以看到，当对$x$求偏导时，可以把y看成常数。同样当对y求偏导时，把x看成常量。

`例`设 $z=x \cos (x y)$ ，则就有

$$
z_x=\cos (x y)-x y \sin (x y), \quad z_y=-x^2 \sin (x y)
$$

`例`设 $u=x^2+y^2+y z e ^{x-z}$ ，则有

$$
u_x=2 x+y z e^{x-z}, \quad u_y=2 y+z e^{x-z}, \quad u_z=y e^{x-z}-y z e^{x-z}
$$

`例` 气体状态方程 $p=\frac{R T}{V}$ ，其中 $p$ 为压强，$R$ 为常数，$T$ 为绝对温度， $V$ 为体积．于是在 $T$ 固定时，$p$ 与 $V$ 成反比关系．即物理学上的等温过程．这时

$$
\frac{\partial p}{\partial V}=-\frac{R T}{V^2} ...(1)
$$

由（1）可以看出他的值是负数，这说明此时体积随压强的变化而单调减少：压强增大时体积收缩，压强减小时体积膨胀．这些是熟知的物理规律．

若固定 $V$ ，则称为等容过程，压强与温度成正比，

$$
\frac{\partial p}{\partial T}=\frac{R}{V}
$$

这两个偏导数分别反映了两种不同的物理过程中压强相对与体积与温度的变化率

`例`  求函数 $f(x, y)=x^3+2 x^2 y-y^3$ 在点 $(1,3)$ 关于 $x$ 和关于 $y$ 的偏导数．
解 先求 $f$ 在点 $(1,3)$ 关于 $x$ 的偏导数，为此，令 $y=3$ ，得到以 $x$ 为自变量的函数 $f(x, 3)=x^3+6 x^2-27$ ，求它在 $x=1$ 的导数，即

$$
f_x(1,3)=\left.\frac{\mathrm{d} f(x, 3)}{\mathrm{d} x}\right|_{x=1}=3 x^2+\left.12 x\right|_{x=1}=15 .
$$

再求 $f$ 在 $(1,3)$ 关于 $y$ 的偏导数．先令 $x=1$ ，得到以 $y$ 为自变量的函数 $f(1, y)=1+ 2 y-y^3$ ，求它在 $y=3$ 的导数，得

$$
f_y(1,3)=\left.\frac{\mathrm{d} f(1, y)}{\mathrm{d} y}\right|_{y=3}=2-\left.3 y^2\right|_{y=3}=-25 .
$$

通常也可分别先求出 $f$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导函数：

$$
\begin{aligned}
& f_x(x, y)=3 x^2+4 x y \\
& f_y(x, y)=2 x^2-3 y^2
\end{aligned}
$$

然后以 $(x, y)=(1,3)$ 代人，也能得到同样结果．

`例`求函数 $z=x^y(x>0)$ 的偏导数．
解

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=y x^{y-1}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=x^y \ln x .
$$

`例`设 $f(x, y)=x^4+2 x^2 y+y^4$ ，求 $f_x(x, y), f_y(x, y), f_x(0,1)$ 和 $f_y(0,1)$ ．
解 把 $y$ 看成常数，对 $x$ 求导便得

$$
f_x(x, y)=4 x^3+4 x y .
$$

于是 $f_x(0,1)=0$ ．
把 $x$ 看成常数，对 $y$ 求导便得

$$
f,(x, y)=2 x^2+4 y^3 .
$$

于是 $f_y(0,1)=4$ ．

### 多元偏导数

`例`求三元函数 $u=\sin \left(x+y^2-\mathrm{e}^z\right)$ 的偏导数．
解 把 $y$ 和 $z$ 看作常数，得

$$
\frac{\partial u}{\partial x}=\cos \left(x+y^2-\mathrm{e}^z\right) .
$$

把 $x, z$ 看作常数，得

$$
\frac{\partial u}{\partial y}=2 y \cos \left(x+y^2-\mathrm{e}^z\right) .
$$

把 $x, y$ 看作常数，得

$$
\frac{\partial u}{\partial z}=-\mathrm{e}^z \cos \left(x+y^2-\mathrm{e}^z\right) .
$$

`例`求函数 $u=\ln \left(x+y^2+z^3\right)$ 的偏导数．
解

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{x+y^2+z^3}, \\
& \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{2 y}{x+y^2+z^3}, \\
& \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{3 z^2}{x+y^2+z^3} .
\end{aligned}
$$

## 偏导数和连续性
如同导数情况一样，一个基本问题时多元函数存在偏导数时是否连续．具体来说，设 $f$ 在区域 $D$ 的某点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处存在两个偏导数 $f_x\left(x_0, y_0\right)$ 和 $f_y\left(x_0, y_0\right)$ ，问：$f$在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 是否连续？

有点出人意料的是，对上述问题的答案是否定的．

`例`设

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\
0, & (x, y)=(0,0),
\end{array}\right.
$$

计算 $f_x(0,0), f_y(0,0)$ ．
解 由定义得到

$$
f_x(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\frac{\Delta x \cdot 0}{\Delta x^2+0^2}-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0}{\Delta x}=0 .
$$

同理 $f_y(0,0)=0$ ．这说明了 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可偏导．
但我们已经知道，$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点不连续．

注 上述例子似乎说明偏导数的引入不是很成功，因为它只描述了函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的两个特殊方向的变化率，而对于 $f$ 在该点邻近的其他特性描述无用．下面会看到，在略微加强条件之后就可以改变这种情况．

若一个偏增量的极限为零，例如 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta_x f\left(x_0, y_0\right)=0$ ，它表示在 $f$ 的两个自变量中，当固定 $y=y_0$ 时，$f\left(x, y_0\right)$ 作为 $x$ 的一元函数在 $x_0$ 连续。同理，若 $\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \Delta_y f\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则表示 $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y_0$ 连续．容易证明：当 $f$ 在其定义域的内点 $\left(x_0, y_0\right)$ 连续时，$f\left(x, y_0\right)$ 在 $x_0$ 和 $f\left(x_0, y\right)$ 在 $y_0$ 都连续。但是反过来，二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}
1, & x y \neq 0 \\
0, & x y=0
\end{array}\right.
$$

在原点处显然不连续．但由于

$$
f(0, y)=f(x, 0) \equiv 0
$$

因此在原点处 $f$ 对 $x$ 和对 $y$ 分别都连续．

![图片](/uploads/2025-11/ca43c9.jpg)

### 偏导数和连续性关系
对于可导、可微、连续可以参考下图
 ![图片](/uploads/2025-11/a2eef1.jpg)

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