最后更新: 2025-11-02 07:49 查看: 46 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

偏导数的几何意义与切平面

## 偏导数的几何意义
对于一般的 $z=f(x, y)$ ，如下图所示，看成为在三维空间的一张曲面．固定 $y=y_0$ ，则就得到一个变元 $x$ 的函数 $z=f\left(x, y_0\right)$ ．从几何上就是上述曲面上的一条曲线．它可以用三维空间的参数方程表出：
 ![图片](/uploads/2025-02/8e5cd3.jpg)
$$
l:\left\{\begin{array}{l}
x=x \\
y=y_0 \\
z=f\left(x, y_0\right)
\end{array}\right.
$$

这时该曲线在点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(z_0=f\left(x_0, y_0\right)\right)$ 的切向量就是

$$
\tau _x=\left(1,0, f_x\left(x_0, y_0\right)\right)
$$

同样可以给出 $f_y\left(x_0, y_0\right)$ 的几何意义．

### 切平面

在下图中在曲面 $z=f(x, y)$ 上作出了经过点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的两条曲线，分别为 $x=x_0$ 和 $y=y_0$ 所决定，并分别作出了曲面上的这两条曲线在该点的曲线 $\tau _x$ 和 $\tau _y$ ．即

$$
\tau _x=\left(1,0, f_x\left(x_0, y_0\right)\right), \quad \tau _y=\left(0,1, f_y\left(x_0, y_0\right)\right)
$$

![图片](/uploads/2025-02/1a5067.jpg)
 
两条直线可以确定一个平面，所以两个偏导数就可以确定一个切平面，具体后面会介绍。

`例` 设 $z=x^{\prime}(x>0, x \neq 1)$ ，证明它满足方程

$$
\frac{x \partial z}{y \partial x}+\frac{1 \quad \partial z}{\ln x \partial y}=2 z .
$$

证 由于 $\frac{\partial z}{\partial x}=y x^{y-1}, \frac{\partial z}{\partial y}=x^y \ln x$ ，因此

$$
\frac{x \partial z}{y \partial x}+\frac{1 \quad \partial z}{\ln x \partial y}=\frac{x}{y} \cdot y x^{y-1}+\frac{1}{\ln x} \cdot x^y \ln x=2 x^y=2 z .
$$

## 切平面

在一元导数里，我们曾把平面曲线 $S$ 在某一点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 的切线 $P T$ 定义为过 $P$点的割线 $P Q$ 当 $Q$ 沿 $S$ 趋近 $P$ 时的极限位置（如果存在的话）．这时，$P Q$ 与 $P T$ 的夹角 $\varphi$ 也将随 $Q \rightarrow P$ 而趋于零（图17－2）．

![图片](/uploads/2025-11/61e36f.jpg){width=300px}

由于

$$
\sin \varphi=\frac{h}{d},
$$

其中 $h$ 和 $d$ 分别表示点 $Q$ 到切线 $P T$ 的距离和 $Q$ 到 $P$ 的距离，因此当 $Q$ 沿 $S$ 趋于 $P$时，$\varphi \rightarrow 0$ 等同于 $\frac{h}{d} \rightarrow 0$ ．

仿照这个想法，我们引人曲面 $S$ 在点 $P$ 的切平面定义。

**定义3** 设 $P$ 是曲面 $S$ 上一点，$\Pi$ 为通过点 $P$ 的一个平面，曲面 $S$ 上的动点 $Q$ 到定点 $P$ 和到平面 $\Pi$ 的距离分别为 $d$ 与 $h$（图17－3）．若当 $Q$ 在 $S$ 上以**任何方式**趋近于 $P$ 时，恒有 $\frac{h}{d} \rightarrow 0$ ，则称平面 $\Pi$ 为曲面 $S$ 在点 $P$ 处的**切平面**，$P$ 为**切点**．

![图片](/uploads/2025-11/67af93.jpg){width=300px}
 
 
**定理 17.4** 曲面 $z=f(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0, f\left(x_0, y_0\right)\right)$ 存在不平行于 $z$ 轴的切平面 $\Pi$的充要条件是函数 $f$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 可微．

证［充分性］若函数

其他版本
【高等数学】偏导数的几何意义

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：偏导数的概念与连续性

下一篇：高阶偏导数

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)