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数学分析
第十三篇 多元函数微分学及其应用
偏导数的几何意义
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更新:
2025-02-02 08:49
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偏导数的几何意义
三．偏导数的几何意义 对于一般的 $z=f(x, y)$ ，如右图所示，看成为在三维空间的一张曲面．固定 $y=y_0$ ，则就得到一个变元 $x$ 的函数 $z=f\left(x, y_0\right)$ ．从几何上就是上述曲面上的一条曲线．它可以用三维空间的参数方程表出：  $$ l:\left\{\begin{array}{l} x=x \\ y=y_0 \\ z=f\left(x, y_0\right) \end{array}\right. $$ 这时该曲线在点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(z_0=f\left(x_0, y_0\right)\right)$ 的切向量就是 $$ \tau _x=\left(1,0, f_x\left(x_0, y_0\right)\right) $$ 同样可以给出 $f_y\left(x_0, y_0\right)$ 的几何意义．在右图中在曲面 $z=f(x, y)$ 上作出了经过点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的两条曲线，分别为 $x=x_0$ 和 $y=y_0$ 所决定，并分别作出了曲面上的这两条曲线在该点的曲线 $\tau _x$ 和 $\tau _y$ ．即 $$ \tau _x=\left(1,0, f_x\left(x_0, y_0\right)\right), \quad \tau _y=\left(0,1, f_y\left(x_0, y_0\right)\right) $$ 
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