最后更新: 2025-02-02 08:50 查看: 24 次反馈刷题

高阶偏导数

五．高阶偏导数
若 $f(x, y)$ 的偏导数 $f_x(x, y)$ 在某一个区域 $D$ 中处处存在，则它就是一个新的二元函数，即偏导函数．当然 $f_y(x, y)$ 也可能如此．于是又可以考虑它们的偏导数．这里与一元情况相比更为复杂．我们采用下列记号．

用 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ 或者 $f_{x x}$ 表示 $f_x(x, y)$ 关于 $x$ 的偏导数，称为 $f$ 关于 $x$ 的二阶偏导数．同样用 $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ 或者 $f_{y y}$ 表示 $f_y(x, y)$ 关于 $y$ 的偏导数，称为 $f$ 关于 $y$ 的二阶偏导数。

有点复杂的问题是混合二阶偏导数。（称关于不同自变量的高阶偏导数为混合偏导数．）用 $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ 或者 $f_{x y}$ 表示 $f_x(x, y)$ 关于 $y$ 的偏导数，称为 $f$ 的先 $x$ 后 $y$ 的二阶偏导数．这就是

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right), \quad f_{x y}=\left(f_x\right)_y
$$

注 这里的记号与先后的规定在各种教科书中不完全一致．从上面的写法可以认为这里的规定还是比较合理的．由于后面会讲到的理由，混合高阶偏导数在连续条件下与对自变量求偏导的顺序无关，因此这不是一个重要问题．

此外，加＂＇＂的做法也很普遍，即将 $f_x$ 写为 $f_x^{\prime}$ ，将 $f_{x x}$ 写为 $f_{x x}^{\prime \prime}$ 或 $f_x^{\prime \prime}$ ，将 $f_{x y}$写为 $f_{x y}^{\prime \prime}$ 等等．

例题 0.1 设 $f=x^3 y+x y^3$ ，求出所有一阶和二阶偏导数．
解 先求出

$$
f_x=3 x^2 y+y^3, \quad f_y=x^3+3 x y^2
$$

然后就可以求出

$$
f_{x x}=6 x y, f_{x y}=3 x^2+3 y^2, f_{y x}=3 x^2+3 y^2, f_{y y}=6 x y
$$

注 可以注意到 $f_{x y}=f_{y x}$ ．以后会知道这是经常发生的现象．

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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