最后更新: 2025-11-02 09:53 查看: 114 次纠错评论(0) 课件开VIP

高阶偏导数

## 高阶偏导数

设 $z=f(x, y)$ 在区域 $D \subset \mathbf{R}^2$ 上具有偏导函数

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=f_x(x, y) \text { 和 } \frac{\partial z}{\partial y}=f_y(x, y) \text {. }
$$

那么在 $D$ 上，$f_x(x, y)$ 和 $f_y(x, y)$ 都是 $x, y$ 的二元函数．如果这两个偏导函数的偏导数也存在，则称它们是 $f(x, y)$ 的二阶偏导数．

按照对自变量的求导次序的不同，二阶偏导数有下列四种：

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(f_x(x, y)\right)=f_{x x}(x, y) \\
& \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(f_y(x, y)\right)=f_{y x}(x, y) \\
& \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(f_x(x, y)\right)=f_{x y}(x, y) \\
& \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(f_y(x, y)\right)=f_{y y}(x, y)
\end{aligned}
$$

其中第二、第三两个二阶偏导数称为混合偏导数．
可类似得到三阶、四阶以至更高阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．

同样可对 $n$ 元函数 $u=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 定义高阶偏导数．

> 用 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ 或者 $f_{x x}$ 表示 $f_x(x, y)$ 关于 $x$ 的偏导数，称为 $f$ 关于 $x$ 的二阶偏导数．同样用 $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ 或者 $f_{y y}$ 表示 $f_y(x, y)$ 关于 $y$ 的偏导数，称为 $f$ 关于 $y$ 的二阶偏导数。 用 $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ 或者 $f_{x y}$ 表示  $f$ 的先 $x$ 后 $y$ 的二阶偏导数．即

$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right), \quad f_{x y}=\left(f_x\right)_y$

此外，加＂＇＂的做法也很普遍，即将 $f_x$ 写为 $f_x^{\prime}$ ，将 $f_{x x}$ 写为 $f_{x x}^{\prime \prime}$ 或 $f_x^{\prime \prime}$ ，将 $f_{x y}$写为 $f_{x y}^{\prime \prime}$ 等等．也有用数字1,2的即 $f_{12}$表示对x和y，$f_{22}$表示对y和y

`例`设 $f=x^3 y+x y^3$ ，求出所有一阶和二阶偏导数．
解 先求出

$$
f_x=3 x^2 y+y^3, \quad f_y=x^3+3 x y^2
$$

然后就可以求出

$$
f_{x x}=6 x y, f_{x y}=3 x^2+3 y^2, f_{y x}=3 x^2+3 y^2, f_{y y}=6 x y
$$

注 可以注意到 $f_{x y}=f_{y x}$ ．以后会知道这是经常发生的现象．

`例`设
$$
\begin{aligned}
&  f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}
x y \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0, \\
0, & x^2+y^2=0,
\end{array}\right. \text { 那么它的一阶偏导数为 }\\
&\begin{aligned}
& f_x(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
y \frac{x^4+4 x^2 y^2-y^4}{\left(x^2+y^2\right)^2}, & x^2+y^2 \neq 0, \\
0, & x^2+y^2=0,
\end{array}\right. \\
& f_y(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
x \frac{x^4-4 x^2 y^2-y^4}{\left(x^2+y^2\right)^2}, & x^2+y^2 \neq 0, \\
0, & x^2+y^2=0 .
\end{array}\right.
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

于是

$$
\begin{gathered}
\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}(0,0)=f_{x y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f_x(0,0+\Delta y)-f_x(0,0)}{\Delta y}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{-\frac{\Delta y^5}{\Delta y^4}-0}{\Delta y}=-1, \\
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}(0,0)=f_{y x}(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f_y(0+\Delta x, 0)-f_y(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\frac{\Delta x^5}{\Delta x^4}-0}{\Delta x}=1 .
\end{gathered}
$$

注意本例中 $ f(x, y) $ 的两个混合偏导数不相等

可以证明：如果函数光滑，则2个偏导数相等。

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