最后更新: 2025-02-02 08:52 查看: 22 次反馈刷题

关于混合偏导数的求导顺序

六．关于混合偏导数的求导顺序
首先举出一个例子，说明混合偏导数中顺序不同时结果可能不同．
例题 0.2 设给定函数 $f(x, y)=\left\{\begin{aligned} x y \cdot \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{aligned}\right.$ 求在点 $(0,0)$ 的两个二阶混合偏导数．
解 从偏导数的定义可以看出，为求 $f_{x y}(0,0)$ ，并不需要求出作为全平面上有定义的 $f_x(x, y)$ ，而只要先求出 $f_x(0, y)$ 就够了：

$$
\begin{aligned}
f_x(0, y) & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(\Delta x, y)-f(0, y)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} y \cdot \frac{\Delta x^2-y^2}{\Delta x^2+y^2} \\
& =\left\{\begin{array}{rl}
-y, & y \neq 0 \\
0, & y=0
\end{array}=-y .\right.
\end{aligned}
$$

于是就有

$$
f_{x y}(0,0)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f_x(0, \Delta y)-f_x(0,0)}{\Delta y}=-1
$$

当然从 $f_x(0, y)=-y$ 已经可以知道 $f_{x y}(0, y)=-1$ 对 $y \neq 0$ 都成立．
从对称性可以看到一定有 $f_y(x, 0)=x$ ，从而得到 $f_{y x}(0,0)=1$ ．这表明在点 $(0,0)$ 的两个混合二阶偏导数 $f_{x y}(0,0)$ 和 $f_{y x}(0,0)$ 不相等。

下面给出保证混合偏导数与求偏导顺序无关的充分条件．

定理 0.1 设二元函数 $f(x, y)$ 的两个混合偏导数 $f_{x y}(x, y)$ 和 $f_{y x}(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续，则 $f_{x y}\left(x_0, y_0\right)=f_{y x}\left(x_0, y_0\right)$ ．

分析（用分析方式写，教科书上那样写过分＂突然＂了．）
首先注意条件是什么。由于 $f_{x y}$ 和 $f_{y x}$ 作为两个二元函数在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 连续，因此它们都在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某一个邻域上有定义．既然如此，则两个一阶偏导数当然也是如此，即在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某一个邻域中有定义。

从 $f_{x y}\left(x_0, y_0\right)$ 的定义开始。即有

$$
\begin{aligned}
f_{x y}\left(x_0, y_0\right) & =\left.\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f_x\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-f_x\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y} \\
& =\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta y} \lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[\frac{f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0+\Delta y\right)}{\Delta x}\right. \\
& =\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta}{\Delta x \Delta y}\right)
\end{aligned}
$$

其中记号 $\Delta$ 如下为 4 项的代数和：

$$
\Delta=f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0+\Delta y\right)+f\left(x_0, y_0\right)
$$

完全同样可以得到

$$
f_{y x}\left(x_0, y_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \lim _{\Delta y \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta}{\Delta x \Delta y}\right)
$$

![图片](/uploads/2025-02/0f87ea.jpg)
 
于是，问题成为作为 $\Delta x, \Delta y$ 的二元函数 $\frac{\Delta}{\Delta x \Delta y}$ 的两个累次极限是否相等的问题．（存在性已经没有问题了．）

注意上述二元函数的分子是一个矩形的 4 个顶点上的 $f$ 的函数值的代数和。如右图所示是 $\Delta x>0, \Delta y>0$时的一个矩形，并将其顶点标志为 $P_0, P_1, P_2, P_3$ ．于是有

$$
\Delta=f\left(P_0\right)-f\left(P_1\right)-f\left(P_2\right)+f\left(P_3\right)
$$

（这个代数和在偏微分方程中是有用的．）

下面的方法就是反复用 Lagrange 微分中值定理．例如对于 $f\left(P_0\right)-f\left(P_1\right)$ 和 $f\left(P_2\right)-f\left(P_3\right)$ 就可以分别关于 $x$ 微分中值定理，然后再对于 $y$ 用微分中值定理．但这里还有困难．为此需要用一点技巧．这写在下面的证明中．

证 设 $\Delta x \neq 0, \Delta y \neq 0$ ，令

$$
\Delta=f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0+\Delta y\right)+f\left(x_0, y_0\right)
$$
则如（1），（2）所示，有

$$
f_{x y}\left(x_0, y_0\right)=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta}{\Delta x \Delta y}\right), \quad f_{y x}\left(x_0, y_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \lim _{\Delta y \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta}{\Delta x \Delta y}\right)
$$

以下只要证明 $\frac{\Delta}{\Delta x \Delta y}$ 在 $\Delta x \rightarrow 0, \Delta y \rightarrow 0$ 时的二重极限存在．为此引入辅助函数

$$
\varphi(x)=f\left(x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x, y_0\right)
$$

则有

$$
\Delta=\varphi\left(x_0+\Delta x\right)-\varphi\left(x_0\right)
$$

用 Lagrange 微分中值定理，就有

$$
\begin{aligned}
\Delta & =\varphi_x^{\prime}\left(x_0+\theta_1 \Delta x\right) \Delta x \quad\left(0<\theta_1<1\right) \\
& =\left[f_x\left(x_0+\theta_1 \Delta x, y_0+\Delta y\right)-f_x\left(x_0+\theta_1 \Delta x, y_0\right)\right] \Delta x
\end{aligned}
$$

然后再一次用微分中值定理，就得到

$$
\Delta=f_{x y}\left(x_0+\theta_1 \Delta x, y_0+\theta_2 \Delta y\right) \Delta x \Delta y, \quad 0<\theta_1, \theta_2<1
$$

这样在 $\Delta x \Delta y \neq 0$ 时就得到

$$
\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta}{\Delta x \Delta y}=f_{x y}\left(x_0, y_0\right)
$$

然后应用 $\S 17.1$ 定理 4 即可．

注 回顾证明过程，可见定理条件中两个混合偏导函数 $f_{x y}, f_{y x}$ 于点 $\left(x_0, y_0\right)$为连续的条件只用了一半．此外，所涉及的二重极限的存在是在去十字的邻域中讨论的，这在前面都已经解释过．这个定理可以推广，对一般多元函数的混合偏导数，只要在所关心的点处连续，则混合偏导数就与求偏导顺序无关．这为计算高阶偏导数带来很大的方便．

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