最后更新: 2025-11-03 07:11 查看: 189 次纠错评论(0) 课件开VIP

全微分的概念

## 全微分的概念
多元函数的全微分概念是一元函数的微分概念的自然推广．回顾一元函数的微分概念，虽然它的引进与导数概念的引进很不一样，但由于可导等价于可微，因此微分在一元微分学中微分概念所起的作用并不突出。与之不同，多元函数的全微分在多元函数微分学中的地位要比在一元函数微分学中的微分重要得多．

设有二元函数 $f: D \subset R ^2 \rightarrow R$ 和 $(x, y) \mapsto z=f(x, y)$ 其中 $D$ 为开集．对于点 $\left(x_0, y_0\right) \in D$ ，考虑增量
$$
\Delta z=\Delta f=f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)
$$

为简明起见，记 $r=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ ，即点 $\left(x_0, y_0\right)$ 和 $\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)$ 之间的距离．

**定义** 若存在常数 $A, B$ ，使得成立

$$
\Delta z=A \Delta x+B \Delta y+o(r)(r \rightarrow 0)
$$

则称 $f$ 于点 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微，且称 $A \Delta x+B \Delta y$ 为 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的全微分，并记为

$$
d z=A d x+B d y
$$

其中 $d x=\Delta x, d y=\Delta y$ ．

从定义可见，多元函数全微分的定义与过去的一元函数微分的定义完全相同，即函数在指定点邻近是否可以用线性函数逼近的问题。在可微时，微分 $d z$ 就是增量 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 的线性函数．当 $r$ 充分小时，有 $\Delta z \approx d z$ ．

下面的问题是：在什么条件下 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微？在可微时系数 $A, B$ 等于什么？

先解决比较容易的第二个问题。

> **性质1** 若 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微，则定义中的系数为$A=f_x\left(x_0, y_0\right), \quad B=f_y\left(x_0, y_0\right)$

证 根据定义有全微分定义中的 $A, B$ ，使得

$$
\Delta z=\Delta f=f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)=A \Delta x+B \Delta y+o(r)(r \rightarrow 0)
$$

其中 $r=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ ．于是当 $\Delta y=0$ 时，就有

$$
\Delta f=f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0\right)=A \Delta x+o(\Delta x)(\Delta x \rightarrow 0)
$$

这就导致

$$
f_x\left(x_0, y_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}=A
$$

完全同样可以证明 $f_y\left(x_0, y_0\right)=B$ ．
又可以从全微分的定义推出它的下一个性质。

> **性质2 若 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微，则 $f$ 在该点连续**．

证 从 $\Delta f=A \Delta x+B \Delta+o(r)(r \rightarrow 0)$ 可见当 $r \rightarrow 0$ 时就有 $\Delta f \rightarrow 0$ ．从 $r=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}, \Delta x=x-x_0, \Delta y=y-y_0$ 可知这就是

$$
\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)=f\left(x_0, y_0\right)
$$

回顾前面二元函数在某点存在两个偏导数但函数却在该点不连续的例子，可见多元函数的可微要比存在偏导数强．在下面的图（a）中作出了可微，存在偏导数和连续之间的关系，为了作对比，在图（b）中作出了一元函数时可微，可导和连续之间的关系．
 ![图片](/uploads/2025-02/a92cc0.jpg)
 这里重要的是只要将存在偏导数的条件适当加强，就可以推出可微．

> **定理02** 设二元函数 $f$ 的两个一阶偏导数 $f_x, f_y$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 连续，则 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微．

证 这里的主要工具是 Lagrange 微分中值定理．如下估计 $\Delta f$ ：

$$
\begin{aligned}
\Delta f & =f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right) \\
& =f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)+f\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right) \\
& =f_x\left(x_0+\theta_1 \Delta x, y_0+\Delta y\right) \Delta x+f_y\left(x_0, y_0+\theta_2 \Delta y\right) \Delta y \quad\left(0<\theta_1, \theta_2<1\right) \\
& =f_x\left(x_0, y_0\right) \Delta x+f_y\left(x_0, y_0\right) \Delta y+\varepsilon_1 \Delta x+\varepsilon_2 \Delta y,
\end{aligned}
$$

其中 $\varepsilon_1=f_x\left(x_0+\theta_1 \Delta x, y_0+\Delta y\right)-f_x\left(x_0, y_0\right), \varepsilon_2=f_y\left(x_0, y_0+\theta_2 \Delta y\right)-f_y\left(x_0, y_0\right)$ ．由于 $f_x, f_y$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 连续，因此当 $(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)$ 时 $\varepsilon_1$ 和 $\varepsilon_2$ 都收敛于 0 ．这样就可以用 Cauchy 不等式得到

$$
\left|\varepsilon_1 \Delta x+\varepsilon_2 \Delta y\right| \leqslant \sqrt{\varepsilon_1^2+\varepsilon_2^2} \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=o(1) r=o(r)(r \rightarrow 0),
$$

即 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微．
注 1 定理可以推广到一般的多元函数．此外还可以将条件减弱一点，即在上述定理中只要有一个偏导数在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 连续，另一个偏导数在该点存在也可以推出相同的结论．

注 2 今后经常对多元函数除了加以可微条件之外，有时也加以连续可微条件，这就是说存在所有的连续偏导数，从而保证可微．
与一元函数情况类似，对于自变量的增量经常写为自变量的微分，这样全微分就可以写为

$$
d f=f_x\left(x_0, y_0\right) d x+f_y\left(x_0, y_0\right) d y
$$

又不只是考虑某个点的全微分时就写为 $d f=f_x(x, y) d x+f_y(x, y) d y$ ，这时全微分成为 $x, y, d x, d y$ 的 4 元函数。

`例` 考察函数 $f(x, y)=x y$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的可微性．
解 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处函数 $f$ 的全增量为

$$
\begin{aligned}
\Delta f\left(x_0, y_0\right) & =\left(x_0+\Delta x\right)\left(y_0+\Delta y\right)-x_0 y_0 \\
& =y_0 \Delta x+x_0 \Delta y+\Delta x \Delta y
\end{aligned}
$$
由于
$$
\frac{|\Delta x \Delta y|}{\rho}=\rho \frac{|\Delta x|}{\rho} \frac{|\Delta y|}{\rho} \leqslant \rho \rightarrow 0 \quad(\rho \rightarrow 0)
$$

因此 $\Delta x \Delta y=o(\rho)$ ．从而函数 $f$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微，且

$$
\mathrm{d} f=y_0 \Delta x+x_0 \Delta y
$$

`例` 求函数 $z=\mathrm{e}^{x y}$ 在点 $(2,1)$ 处的全微分．
解 由于

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=y \mathrm{e}^{x y}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=x \mathrm{e}^{x y},
$$

则 $\frac{\partial z}{\partial x}(2,1)=\mathrm{e}^2, \frac{\partial z}{\partial y}(2,1)=2 \mathrm{e}^2$ ．所以函数在点 $(2,1)$ 处的全微分为

$$
\mathrm{d} z=\mathrm{e}^2 \mathrm{~d} x+2 \mathrm{e}^2 \mathrm{~d} y
$$

还可以进一步得到：

## 推论

设 $D \subset \mathbf{R}^2$ 为开集，$\left(x_0, y_0\right) \in D$ 为一定点．如果函数

$$
z=f(x, y), \quad(x, y) \in D
$$

在 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微，那么对于任一方向 $\boldsymbol{v}=(\cos \alpha, \sin \alpha), f$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 点沿方向 $\boldsymbol{v}$ 的方向导数存在，且

$$
\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{v}}\left(x_0, y_0\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right) \sin \alpha .
$$

证 由定义和全微分公式，得

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial v}\left(x_0, y_0\right) & =\lim _{t \rightarrow 0+} \frac{f\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \sin \alpha\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{t} \\
& =\lim _{t \rightarrow 0+} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) t \cos \alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right) t \sin \alpha+o(t)}{t} \\
& =\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0, y_0\right) \sin \alpha .
\end{aligned}
$$

证毕

`例` 求函数 $u=x-\cos \frac{y}{2}+\arctan \frac{z}{y}$ 的全微分．
解 由于

$$
\frac{\partial u}{\partial x}=1, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{2} \sin \frac{y}{2}-\frac{z}{y^2+z^2}, \quad \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{y}{y^2+z^2},
$$

所以

$$
\mathrm{d} u=\mathrm{d} x+\left(\frac{1}{2} \sin \frac{y}{2}-\frac{z}{y^2+z^2}\right) \mathrm{d} y+\frac{y}{y^2+z^2} \mathrm{~d} z .
$$

其他版本
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