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高阶全微分

## 高阶全微分
设 $z=f(x, y)$ ．称前面定义的全微分 $d z(= d f)$ 为一阶全微分．若将 $d z$ 中的 d看成为作用于函数 $f$ 上的算子 (所谓算子就是一个函数到另外一个函数的映射) ，它的作用就是将 $x, y$ 的二元函数分别对 $x, y$ 求偏导并乘以 $d x$ 和 $d y$ 后求和。在约定 $d x, d y$ 相同的条件下就可以定义二阶全微分为

$$
\begin{aligned}
d^2 z & =d(d z)=d\left(\frac{\partial f}{\partial x} d x+\frac{\partial f}{\partial y} d y\right) \\
& =d\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) d x+d\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) d y \\
& =\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} d x+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} d y\right) d x+\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} d x+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2 \partial x} d y\right) d y \\
& =\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} d x^2+2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} d x d y+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} d y^2
\end{aligned}
$$

又若将求偏导运算看成算子，记为 $\frac{\partial}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial}{\partial y}$ ，则可以将上述二阶全微分记为

$$
d^2 z=\left(d x \frac{\partial}{\partial x}+d y \frac{\partial}{\partial y}\right)^2 z
$$

其中约定

$$
\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y}=\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}, \quad\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^2=\frac{\partial^2}{\partial y^2} .
$$

对于更高阶的微分都可以类似地给出定义和计算，这时用上述算子记号进行计算是很方便的：

$$
d^n z=d\left(d^{n-1} z\right)=\left(d x \frac{\partial}{\partial x}+d y \frac{\partial}{\partial y}\right)^n z .
$$

对 $n$ 元函数 $u=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 可同样定义各阶微分，并且成立

$$
\mathrm{d}^k u=\left(\mathrm{d} x_1 \frac{\partial}{\partial x_1}+\mathrm{d} x_2 \frac{\partial}{\partial x_2}+\cdots+\mathrm{d} x_n \frac{\partial}{\partial x_n}\right)^k u, \quad k=1,2, \cdots
$$

`例` 设 $u=x y z$ ，计算 $\mathrm{d}^3 u$ ．
解 易算得

$$
\begin{gathered}
\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}=\frac{\partial^3 u}{\partial y^3}=\frac{\partial^3 u}{\partial z^3}=0, \\
\frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial y}=\frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y^2}=\frac{\partial^3 u}{\partial x^2 \partial z}=\frac{\partial^3 u}{\partial x \partial z^2}=\frac{\partial^3 u}{\partial y^2 \partial z}=\frac{\partial^3 u}{\partial y \partial z^2}=0,
\end{gathered}
$$

以及

$$
\frac{\partial^3 u}{\partial x \partial y \partial z}=1
$$

利用上面所述的多元函数的高阶微分公式，可得

$$
\mathrm{d}^3 u=\left(\mathrm{d} x \frac{\partial}{\partial x}+\mathrm{d} y \frac{\partial}{\partial y}+\mathrm{d} z \frac{\partial}{\partial z}\right)^3 u=6 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z .
$$

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