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复合函数的链式求导法则

## 复合函数求导的链式法则
如一元函数微分学中的求导运算一样，在多元函数微分学中链式法则是最重要的计算工具。

看一个简单情况．设 $z=f(x, y), x=x(s), y=y(s)$ ，则就可以构成复合函数 $z=f(x(s), y(s))$ ．对此有下列链式法则。

**定理**  设 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微，$x_0=x\left(s_0\right), y_0=y\left(s_0\right)$ ，且 $x(s), y(s)$ 在点 $s_0$ 均可导，则当 $s=s_0$ 时，复合函数 $z=f(x(s), y(s))$ 在点 $s_0$可导，且有

$$
\left.z_s\right|_{s=s_0}=\left.\frac{d}{d s} f(x(s), y(s))\right|_{s=s_0}=f_x\left(x_0, y_0\right) x^{\prime}\left(s_0\right)+f_y\left(x_0, y_0\right) y^{\prime}\left(s_0\right)
$$

证 直接计算上式左边的导数，即 $\left.z_s\right|_{s=s_0}$ ．写出差商

$$
\frac{\Delta f}{\Delta s}=\frac{1}{\Delta s}\left[f\left(x\left(s_0+\Delta s\right), y\left(s_0+\Delta s\right)\right)-f\left(x_0, y_0\right)\right]
$$

利用 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微，就有

$$
f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)=f_x\left(x_0, y_0\right) \Delta x+f_y\left(x_0, y_0\right) \Delta y+r(\Delta x, \Delta y)
$$

其中 $r=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}, o(r)$ 是对于 $r \rightarrow 0$ 而言的．利用

$$
\Delta x=x\left(s_0+\Delta s\right)-x\left(s_0\right), \quad \Delta y=y\left(s_0+\Delta s\right)-y\left(s_0\right)
$$

就可以将差商写为

$$
\frac{\Delta f}{\Delta s}=f_x\left(x_0, y_0\right) \frac{x\left(s_0+\Delta s\right)-x\left(s_0\right)}{\Delta s}+f_y\left(x_0, y_0\right) \frac{y\left(s_0+\Delta s\right)-y\left(s_0\right)}{\Delta s}+\frac{o(r)}{\Delta s}
$$

利用 $x(s), y(s)$ 在 $s_0$ 可导，就有

$$
\frac{o(r)}{\Delta s}=\frac{r}{\Delta s} o(1)=\sqrt{\left(\frac{\Delta x}{\Delta s}\right)^2+\left(\frac{\Delta y}{\Delta s}\right)^2} o(1)=o(1)(\Delta s \rightarrow 0)
$$

这里利用了当 $\Delta s \rightarrow 0$ 时也有 $r \rightarrow 0$ ，因此 $o(1)(r \rightarrow 0)$ 也是 $o(1)(\Delta s \rightarrow 0)$ ．
最后令 $\Delta s \rightarrow 0$ 就得到

$$
\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta s}=f_x\left(x_0, y_0\right) x^{\prime}\left(s_0\right)+f_y\left(x_0, y_0\right) y^{\prime}\left(s_0\right)
$$

### 多元函数
设有多元函数

$$
\begin{aligned}
& f: \text { 区域 } D \subset R ^m \rightarrow R , \\
& y =\left(y_1, \cdots, y_m\right) \mapsto z=f( y ) .
\end{aligned}
$$

又有映射

$$
\begin{aligned}
& g : \text { 区域 } D_1 \subset R ^n \rightarrow R ^m, \\
& x =\left(x_1, \cdots, x_n\right) \mapsto y = g ( x ) .
\end{aligned}
$$

也可写为 $y_i=g_i\left(x_1, \cdots, x_n\right), i=1, \cdots, m$ ．设映射 $g$ 在点 $x = a$ 处连续可微，且 $g ( a ) \in D$ ，则在点 $a$ 的一个邻域内存在复合映射 $F=f \circ g$ ，它将该邻域映入 $R$ 中．可以写为

$$
z=F\left(x_1, \cdots, x_n\right)=f\left(g_1\left(x_1, \cdots, x_n\right), \cdots, g_m\left(x_1, \cdots, x_n\right)\right)
$$

若又假设 $f$ 在点 $g ( a )$ 处连续可微，则 $F$ 的偏导数就有下列链式法则：

$$
\left.F_{x_i}\right|_{ x = a }=\left.\frac{\partial z}{\partial x_i}\right|_{ x = a }=\left.\left.\sum_{j=1}^m \frac{\partial f}{\partial y_j}\right|_{ y = g ( a )} \frac{\partial g_j}{\partial x_i}\right|_{ x = a }, \quad i=1, \cdots, n,
$$

这里的计算用矩阵向量乘法更为清楚：
$$
\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial F}{\partial x_1} \\
\vdots \\
\frac{\partial F}{\partial x_n}
\end{array}\right)_{ x = a }=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial g_m}{\partial x_1} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial g_1}{\partial x_n} & \cdots & \frac{\partial g_m}{\partial x_n}
\end{array}\right)_{ x = a }\left(\begin{array}{c}
\frac{\partial f}{\partial y_1} \\
\vdots \\
\frac{\partial f}{\partial y_m}
\end{array}\right)_{ y = g ( a )}
$$

其左边是 $n \times 1$ 阶阵（即 $n$ 维列向量），右边是 $n \times m$ 阶阵乘以 $m \times 1$ 阶阵（即 $m$ 维列向量）。

上面的链式法则是对于复合之后为多元函数而言的，当然还可以考虑更一般的复合映射和相应的链式法则。

在上面定理中是 $n=1, m=2$ 的情况，即有

$$
\left.z_s\right|_{s=s_0}=\left(\begin{array}{ll}
x_s & y_z
\end{array}\right)_{s=s_0}\binom{f_x}{f_y}_{x=x_0, y=y_0}
$$

又如 $u=f(x, y, z)$ ，其中 $x=x(s, t), y=y(s, t), z=z(s, t)$ ，则复合函数为 $u=f(x(s, t), y(s, t), z(s, t))$ ．其链式法则为

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial s}=u_s=u_x x_s+u_y y_s+u_z z_s \\
& \frac{\partial u}{\partial t}=u_t=u_x x_t+u_y y_t+u_z z_t
\end{aligned}
$$

写成矩阵乘法形式就是 $n=2, m=3$ 时的上述乘积：
$$
\binom{u_s}{u_t}=\left(\begin{array}{lll}
x_s & y_s & z_s \\
x_t & y_t & z_t
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
u_x \\
u_y \\
u_z
\end{array}\right)
$$

或者

$$
\left(\begin{array}{ll}
u_s & u_t
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
u_x & u_y & u_z
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
x_s & x_t \\
y_s & y_t \\
z_s & z_t
\end{array}\right)
$$

在实际使用链式法则时，一个常见的问题是容易发生记号上的混淆，需要注意克服．

## 记忆方法
 为了便于记忆链式法则，可以按照各变量间的复合关系，画成图 17－5 那样的树状图．首先从因变量 $z$ 向中间变量 $x, y$ 画两个分枝，然后再分别从中间变量 $x, y$ 向自变量 $s, t$ 画分枝，并在每个分枝旁写上对应的偏导数．求 $\frac{\partial z}{\partial s}$ 时，只要把从 $z$ 到 $s$ 的每条路径上的各个偏导数相乘，然后再将这些乘积相加即得：
$$
\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}
$$

类似地考察从 $ z$ 到$t$ 的路径，可写出 $ \frac{\partial z}{\partial t}$

![图片](/uploads/2025-11/19ff32.jpg){width=300px}
 
 
 `例` 设 $z=\ln \left(u^2+v\right)$ ，而 $u=\mathrm{e}^{x+y^2}, v=x^2+y$ ，求

$$
\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} .
$$

解 所讨论的复合函数以 $x, y$ 为自变量，$u, v$ 为中间变量．由于

$$
\begin{gathered}
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{2 u}{u^2+v}, \frac{\partial z}{\partial v}=\frac{1}{u^2+v}, \\
\frac{\partial u}{\partial x}=\mathrm{e}^{x+y^2}, \frac{\partial u}{\partial y}=2 y \mathrm{e}^{x+y^2}, \frac{\partial v}{\partial x}=2 x, \frac{\partial v}{\partial y}=1,
\end{gathered}
$$

根据公式 得到

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial x} & =\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \\
& =\frac{2 u}{u^2+v} \mathrm{e}^{x+y^2}+\frac{1}{u^2+v} 2 x=\frac{2}{u^2+v}\left(u \mathrm{e}^{x+y^2}+x\right), \\
\frac{\partial z}{\partial y} & =\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} \\
& =\frac{2 u}{u^2+v} 2 y \mathrm{e}^{x+y^2}+\frac{1}{u^2+v}=\frac{1}{u^2+v}\left(4 u y \mathrm{e}^{x+y^2}+1\right) .
\end{aligned}
$$

`例`设 $u=u(x, y)$ 可微，在极坐标变换 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ 下，证明：

$$
\left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^2=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 .
$$

证 $u$ 可以看作 $r, \theta$ 的复合函数 $u=u(r \cos \theta, r \sin \theta)$ ，因此

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x} \cos \theta+\frac{\partial u}{\partial y} \sin \theta \\
& \frac{\partial u}{\partial \theta}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta}=\frac{\partial u}{\partial x}(-r \sin \theta)+\frac{\partial u}{\partial y} r \cos \theta
\end{aligned}
$$

于是

$$
\begin{aligned}
& \left(\frac{\partial u}{\partial r}\right)^2+\frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial u}{\partial \theta}\right)^2 \\
= & \left(\frac{\partial u}{\partial x} \cos \theta+\frac{\partial u}{\partial y} \sin \theta\right)^2+\frac{1}{r^2}\left(-\frac{\partial u}{\partial x} r \sin \theta+\frac{\partial u}{\partial y} r \cos \theta\right)^2 \\
= & \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 .
\end{aligned}
$$

`例`  设 $z=u v+\sin t$ ，其中 $u=\mathrm{e}^t, v=\cos t$ ，求 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ ．
解 根据复合关系，画出树状图 17－6．于是

![图片](/uploads/2025-11/07f856.jpg){width=300px}

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t} & =\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial t} \\
& =v \mathrm{e}^t+u(-\sin t)+\cos t \\
& =\mathrm{e}^t(\cos t-\sin t)+\cos t
\end{aligned}
$$

注 上面第一个等式中，左边的 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ 是作为一元函数的复合函数对 $t$ 求导数，右边最后一项里的 $\frac{\partial z}{\partial t}$ 是外函数（作为 $u, v, t$ 的三元函数）对 $t$ 求偏导数，二者所用符号各自有别．
 
 
 `例`设 $u=f(x, y, z), y=\varphi(x, t), t=\psi(x, z)$ 都有一阶连续偏导数，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial z}$ ．
解 代人中间变量，得到复合函数 $u=f(x, \varphi(x, \psi(x, z)), z)$ 为 $x, z$ 的函数，参见图 17－7得到

$$
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \frac{\partial \psi}{\partial x} ; \\
& \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \frac{\partial \psi}{\partial z}+\frac{\partial f}{\partial z} .
\end{aligned}
$$

注意，这里用 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 表示复合函数 $u=f(x, \varphi(x, \psi(x, z)), z)$ 对 $x$ 的偏导数，而用 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示函数 $u=f(x, y, z)$ 对第一个变量 $x$ 的偏导数，以区别两者的不同．

![图片](/uploads/2025-11/938aef.jpg){width=300px}
 
 
 
`例`设 $z=z(x, y), y=y(x)$ ，满足复合函数链式法则的条件，求 $z$ 对 $x$的导数．

解 若写出 $z_x=z_x+z_y y_x$ ，则两边都有 $z_x$ ，是否可以消去？
其实两边的 $z_x$ 根本不同．左边的 $z_x$ 是一元函数 $z=z(x, y(x))$ 对 $x$ 的导数，右边的 $z_x$ 是将 $z$ 看成为二元函数时对第一个自变量 $x$ 的偏导数，然后其中用 $y=y(x)$ 代入。

通常有3个方法，建议用其中第一个或第二个方法．
第一个方法，先加个说明，即将二元函数 $z(x, y)$ 对第一个自变量的偏导数记为 $z_1$ ，对第二个自变量的偏导数记为 $z_2$ ，则就有

$$
z_x=z_1+z_2 y_x
$$

第二个方法，将函数和因变量用不同记号，一开始写 $z=f(x, y)$ ，然后有

$$
z_x=f_x+f_y y_x
$$

这样也比较清楚．当然也可以同时使用两个方法，即将题改写为 $z=f(x, y)$ ，又将其两个偏导数约定记为 $f_1$ 和 $f_2$ ．
例题 0.2 设 $u=f(x, y, t), x=x(s, t), y=y(s, t)$ ，满足复合函数链式法则的条件，则可将 $f$ 的三个偏导数分别记为 $f_1, f_2, f_3$ ，然后就有

$$
u_s=f_1 x_s+f_2 y_s, \quad u_t=f_1 x_t+f_2 y_s+f_3
$$

`例` 设 $z=f(u, v)$ 在 $R ^2$ 上二阶连续可微，又设 $u=x^2 y, v=\frac{y}{x}$ ，求 $z$ 关于 $x, y$ 的所有一阶和二阶偏导数．

解 用 $f_u, f_v, f_{u u}$ 等表示二元函数 $f(u, v)$ 的偏导数，用 $z_x, z_y, z_{x x}$ 等表示二元

函数 $z=f\left(x^2 y, \frac{y}{x}\right)$ 的偏导数，则就可以直接计算如下：

$$
\begin{aligned}
z_x= & f_u \cdot 2 x y+f_v \cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right), \\
z_y= & f_u \cdot x^2+f_v \cdot \frac{1}{x}, \\
z_{x x}= & f_{u u} \cdot 4 x^2 y^2+f_{u v} \cdot(2 x y) \cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right)+f_u \cdot 2 y \\
& \quad+f_{v u} \cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right) \cdot(2 x y)+f_{v v} \cdot \frac{y^2}{x^4}+f_v \cdot \frac{2 y}{x^3} \\
= & 4 x^2 y^2 f_{u u}-\frac{4 y^2}{x} f_{u v}+\frac{y^2}{x^4} f_{v v}+2 y f_u+\frac{2 y}{x^3} f_v, \\
z_{x y}= & f_{u u} \cdot 2 x y \cdot x^2+f_{u v} \cdot 2 x y \cdot \frac{1}{x}+f_u \cdot 2 x
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
z_{x y}= & f_{u u} \cdot 2 x y \cdot x^2+f_{u v} \cdot 2 x y \cdot \frac{1}{x}+f_u \cdot 2 x \\
& \quad+f_{v u} \cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right) \cdot x^2+f_{v v} \cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right) \cdot \frac{1}{x}+f_v \cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) \\
= & 2 x^3 y f_{u u}+y f_{u v}-\frac{y}{x^3} f_{v v}+2 x f_u-\frac{1}{x^2} f_v \\
z_{y y}= & x^4 f_{u u}+2 x f_{u v}+\frac{1}{x^2} f_{v v} .
\end{aligned}
$$

`例` 设二元函数 $f(x, y)$ 二阶可微，$z=f\left(x, e ^x\right)$ ，求 $\frac{ d z}{d x}, \frac{d^2 z}{d x^2}$ ．

解 直接用链式法则计算如下：

$$
\begin{aligned}
\frac{d z}{d x} & =f_x+f_y e^x \\
\frac{d^2 z}{d x^2} & =f_{x x}+f_{x y} e^x+f_{y x} e^x+f_{y y} e^{2 x}+f_y e^x \\
& =f_{x x}+2 f_{x y} e^x+f_{y y} e^{2 x}+f_y e^x
\end{aligned}
$$

`例` 设 $f$ 是二阶可微的一元函数，$z=f\left(x-2 y^2\right)$ ，求二元函数 $z$ 的所有二阶偏导数。

解 直接计算如下：

$$
\begin{aligned}
z_x & =f^{\prime}\left(x-2 y^2\right) \\
z_y & =f^{\prime}\left(x-2 y^2\right)(-4 y) \\
z_{x x} & =f^{\prime \prime}\left(x-2 y^2\right) \\
z_{x y} & =f^{\prime \prime}\left(x-2 y^2\right)(-4 y) \\
z_{y y} & =f^{\prime \prime}\left(x-2 y^2\right) \cdot 16 y^2-4 f^{\prime}\left(x-2 y^2\right)
\end{aligned}
$$

`例` 设 $u=f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{|x|^\alpha y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y) \neq(0,0),\end{aligned}\right.$ 其中 $\alpha>0$ 。若令 $x=t, y=t$ ，是否可以用链式法则求 $t=0$ 时的导数．

解 由于 $\alpha>0$ ，可看出 $f(0, y) \equiv 0, f(x, 0) \equiv 0$ ，因此 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ ．又有 $x_t^{\prime} \equiv 1, y_t^{\prime} \equiv 1$ ，于是有

$$
f_x(0,0) x_t^{\prime}+f_y(0,0) y_t^{\prime}=0
$$

另一方面，直接将 $x=y=t$ 代入 $u=f(x, y)$ 中，则得到

$$
u=u(t)=\left\{\begin{aligned}
\frac{|t|^\alpha}{2 t}, & t \neq 0 \\
0, & t=0
\end{aligned}\right.
$$

由此可见，$u(t)$ 在 $t=0$ 处当 $0<\alpha \leqslant 1$ 时不连续，当然不可导．这与其他情况的结果可一起列表如下：
 ![图片](/uploads/2025-02/a5acc6.jpg)
 由此可见，只有 $\alpha>2$ 时才能用链式法则正确求出 $\left.u_t\right|_{t=0}$ ．
注 讲课时将 $f$ 的表达式中的绝对号去掉了，但对于一般的指数 $\alpha$ 来说，还是应当加绝对号才正确。此外，链式法则定理中的条件只是充分条件，不能从它不满足来判定链式法则能否用．因此上面的讲法与书上不同．当然可以倒过来证明 $u=f(x, y)$ 于 $(0,0)$ 一定不可微。

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