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一阶微分的形式不变性

## 一阶微分的形式不变性
与一元函数的情况完全类似，可以用链式法则推导出一阶微分的形式不变性。设 $z=f(x, y)$ ．若 $x, y$ 为自变量，$f$ 可微，则有

$$
d z=f_x d x+f_y d y ...( * )
$$

现在假设 $x=x(u, v), y=y(u, v)$ ，且均可微，并有复合函数

$$
z=f(x(u, v), y(u, v)) .
$$

则以 $u, v$ 为自变量，$x, y$ 为中间变量，就可以从链式法则计算得到

$$
\begin{aligned}
d z & =z_u d u+z_v d v \\
& =\left(f_x x_u+f_y y_u\right) d u+\left(f_x x_v+f_y y_v\right) d v \\
& =f_x\left(x_u d u+x_v d v\right)+f_y\left(y_u d u+y_v d v\right) \\
& =f_x d x+f_y d y . ...( * * )
\end{aligned}
$$

其中利用了 $d x=x_u d u+x_v d v, d y=y_u d u+y_v d v$ ．
比较 $(*)$ 与 $(* *)$ 的最后一行，可见在形式上相同．这就叫做一阶微分的形式不变性。

> 然而实际上二者根本不同．首先，微分算子 d 是对于真正的自变量而言的，因此 $(*)$ 是 $x, y, d x, d y$ 的 4 元函数，而 $(* *)$ 是 $u, v, d u, d v$ 的 4 元函数，只是最后可以写成与 $(*)$ 相同的形式．其次，在 $(*)$ 中 $d x=\Delta x, d y=\Delta y$ ，而在 $(* *)$ 中以上两个等式一般不成立．这时有 $ \Delta x=d x+o(r)(r \rightarrow 0),  \Delta y=d y+o(r)(r \rightarrow 0)$ 其中 $r=\sqrt{\Delta u^2+\Delta v^2}=\sqrt{ d u^2+ d v^2}$ ． 当然这个区别基本上我们不用关心。

## 高阶微分不具有形式不变性
与一元函数的情况相同，高阶微分不具有形式不变性．
例如，设 $z=z(x, y)$  且二阶连续可微。
在 $x, y$ 为自变量时，已经在前面得到

$$
d^2 z=z_{x x} d x^2+2 z_{x y} d x d y+z_{y y} d y^2
$$

现在假设 $z=f(x, y)$ 中的 $x, y$ 只是中间变量，它们分别是其他一个或多个自变量的函数．例如 $x=x(u), y=y(u)$ ，或者 $x=x(u, v), y=y(u, v)$ ，或者 $x=x(u, v, w), y=y(u, v, w)$ 等。

下面的推导对所有这些情况都成立。计算中假设链式法则需要的条件都满足。

首先从上述一阶微分的形式不变性有

$$
d z=z_x d x+z_y d y
$$

然后求二阶全微分，计算如下：

$$
\begin{aligned}
d^2 z & =d(d z) \\
& =d\left(z_x d x+z_y d y\right)  ...(1)\\
& =d\left(z_x\right) d x+z_x d^2 x+d\left(z_y\right) d y+z_y d^2 y ...(2)\\
& =\left(z_{x x} d x+z_{x y} d y\right) d x+\left(z_{y x} d x+z

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【高等数学】全微分形式的不变性

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