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一阶微分的形式不变性

四．一阶微分的形式不变性
与一元函数的情况完全类似，可以用链式法则推导出一阶微分的形式不变性。设 $z=f(x, y)$ ．若 $x, y$ 为自变量，$f$ 可微，则有

$$
d z=f_x d x+f_y d y
$$

现在假设 $x=x(u, v), y=y(u, v)$ ，且均可微，并有复合函数

$$
z=f(x(u, v), y(u, v)) .
$$

则以 $u, v$ 为自变量，$x, y$ 为中间变量，就可以从链式法则计算得到

$$
\begin{aligned}
d z & =z_u d u+z_v d v \\
& =\left(f_x x_u+f_y y_u\right) d u+\left(f_x x_v+f_y y_v\right) d v \\
& =f_x\left(x_u d u+x_v d v\right)+f_y\left(y_u d u+y_v d v\right) \\
& =f_x d x+f_y d y . ...( * * )
\end{aligned}
$$

其中利用了 $d x=x_u d u+x_v d v, d y=y_u d u+y_v d v$ ．
比较 $(*)$ 与 $(* *)$ 的最后一行，可见在形式上相同．这就叫做一阶微分的形式不变性。

然而实际上二者根本不同．首先，微分算子 d 是对于真正的自变量而言的，因此 $(*)$ 是 $x, y, d x, d y$ 的 4 元函数，而 $(* *)$ 是 $u, v, d u, d v$ 的 4 元函数，只是最后可以写成与 $(*)$ 相同的形式．

其次，在 $(*)$ 中 $d x=\Delta x, d y=\Delta y$ ，而在 $(* *)$ 中以上两个等式一般不成立．这时有

$$
\begin{aligned}
& \Delta x=d x+o(r)(r \rightarrow 0), \\
& \Delta y=d y+o(r)(r \rightarrow 0),
\end{aligned}
$$

其中 $r=\sqrt{\Delta u^2+\Delta v^2}=\sqrt{ d u^2+ d v^2}$ ．
与一元函数中的一阶微分形式不变性不同的是，多元函数的一阶微分形式不变性有多方面的用处．下面将逐步举例．

与一元函数的情况相同，高阶微分不具有形式不变性．
例如，设 $z=z(x, y)$ 。且二阶连续可微。
在 $x, y$ 为自变量时，已经在上一节得到

$$
d^2 z=z_{x x} d x^2+2 z_{x y} d x d y+z_{y y} d y^2
$$

现在假设 $z=f(x, y)$ 中的 $x, y$ 只是中间变量，它们分别是其他一个或多个自变量的函数．例如 $x=x(u), y=y(u)$ ，或者 $x=x(u, v), y=y(u, v)$ ，或者 $x=x(u, v, w), y=y(u, v, w)$ 等。下面的推导对所有这些情况都成立。计算中假设链式法则需要的条件都满足。

首先从上述一阶微分的形式不变性有

$$
d z=z_x d x+z_y d y
$$

然后求二阶全微分，计算如下：

$$
\begin{aligned}
d^2 z & =d(d z) \\
& =d\left(z_x d x+z_y d y\right) \\
& =d\left(z_x\right) d x+z_x d^2 x+d\left(z_y\right) d y+z_y d^2 y \\
& =\left(z_{x x} d x+z_{x y} d y\right) d x+\left(z_{y x} d x+z_{y y} d y\right)+z_x d^2 x+z_y d^2 y \\
& =z_{x x} d x^2+2 z_{x y} d x d y+z_{y y} d y^2+z_x d^2 x+z_y d^2 y
\end{aligned}
$$

这里需要作如下说明。
首先，算子 d 是对于真正的自变量而言的．
其次，从（5）到（2）的计算中，利用了 $d (f g)=f d g+g d f$ ，其中 $f, g$ 都是某些自变量的函数。此外，由于 $d ( d x)$ 和 $d ( d y)$ 末必为 0 ，就记为 $d ^2 x$ 和 $d ^2 y$ ．

还有，从（2）到（3）的计算中，则是又一次利用一阶微分的形式不变性来计算 $d \left(z_x\right)$ 和 $d \left(z_y\right)$ ．

最后的公式（4）对所有情况都成立。与 $x$ 和 $y$ 为自变量的情况相比多了最后两项，因此我们说二阶全微分不具有形式不变性。

若 $x, y$ 是真正自变量的线性函数，则也有 $d ^2 x=0$ 和 $d ^2 y=0$ ．于是形式上二阶微分也不变。

作为一个应用，我们来重新计算前面的例 5 （p．42）和例 3 （p．41）．
例 5 的解 2 记 $u=x-2 y^2$ ，求 $z=f(u)$ 关于 $x, y$ 的所有二阶偏导数．
按照前面的公式（4）有

$$
d^2 z=f^{\prime \prime}(u) d u^2+f^{\prime}(u) d^2 u
$$

于是只要计算出

$$
d u=d x-4 y d y, \quad d^2 u=-4 d y^2
$$

代入即得

$$
\begin{aligned}
d^2 z & =f^{\prime \prime}(u)(d x-4 y d y)^2+f^{\prime}(u)\left(-4 d y^2\right) \\
& =f^{\prime \prime}(u) d x^2-8 f^{\prime \prime}(u) d x d y+16 y^2 f^{\prime \prime}(u) d y^2-4 f^{\prime}(u) d y^2 \\
& =f^{\prime \prime}(u) d x^2-8 f^{\prime \prime}(u) d x d y+\left[16 y^2 f^{\prime \prime}(u)-4 f^{\prime}(u)\right] d y^2
\end{aligned}
$$

然后从中即可读出所要的 $z_{x x}, z_{x y}, z_{y y}$ ．
下面是例 3 的新解法．（请同学同时看教科书 p .41 ，只是书上用 $z_{11}$ 等，而我们将它改写为 $f_{u u}$ 等．）

例题 3 的解 2 设 $z=f(u, v)$ 又设 $u=x^2 y, v=\frac{y}{x}$ ，先求 $z$ 关于 $x, y$ 的一阶偏导数。这里 $u, v$ 是中间变量，$x, y$ 是自变量．

先用一阶微分形式不变性计算一阶全微分如下：

$$
\begin{aligned}
d z & =f_u d u+f_v d v \\
& =f_u\left(2 x y d x+x^2 d y\right)+f_v\left(-\frac{y}{x^2} d x+\frac{1}{x} d y\right) \\
& =\left(2 x y f_u-\frac{y}{x^2} f_v\right) d x+\left(x^2 f_u+\frac{1}{x} f_v\right) d y
\end{aligned}
$$

再与 $d z=z_x d x+z_y d y$ 比较，就得到所要的 $z_x, z_y$ 为：

$$
z_x=2 x y f_u-\frac{y}{x^2} f_v, \quad z_y=x^2 f_u+\frac{1}{x} f_v
$$

然后再计算二阶偏导数。这时只要利用（4）即可．除了在上面已经求出的 $d u$和 $d v$ 之外，还需要

$$
\begin{aligned}
& d^2 u=d(d u)=d\left(2 x y d x+x^2 d y\right)=2 y d x^2+4 x d x d y \\
& d^2 v=d(d v)=d\left(-\frac{y}{x^2} d x+\frac{1}{x} d y\right)=\frac{2 y}{x^3} d x^2-\frac{2}{x^2} d x d y
\end{aligned}
$$

然后将 $d u, d v, d^2 u, d^2 v$ 一起代入（4）中，就有

$$
\begin{aligned}
d^2 z= & f_{u u}\left(4 x^2 y^2 d x^2+4 x^3 y d x d y+x^4 d y^2\right) \\
& +2 f_{u v}\left(-\frac{2 y^2}{x} d x^2+y d x d y+x d y^2\right) \\
& +f_{v v}\left(\frac{y^2}{x^4} d x^2-\frac{2 y}{x^3} d x d y+\frac{1}{x^2} d y^2\right) \\
& +f_u\left(2 y d x^2+4 x d x d y\right)+f_v\left(\frac{2 y}{x^3} d x^2-\frac{2}{x^2} d x d y\right)
\end{aligned}
$$

将右边整理为 $d x, d y$ 的二次多项式，并与
$$
d^2 z=z_{x x} d x^2+2 z_{x y} d x d y+z_{y y} d y^2
$$

作比较，就可以求出所要的 $z_{x x}, z_{x y}, z_{y y}$ ．它们的表达式与前面相同，这里从略．
注 这里的计算不见得比原来的方法简单，但对于理解全微分法有帮助。此外，对于二阶偏导数的计算还说明，虽然二阶全微分没有形式不变性，但公式（4）对计算还是有用的。

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