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隐函数求导法

$\S 19.1$ 隐函数求导法
这一节完全讲计算，而将理论问题，即是否存在隐函数，它是否可导等等放到下一节去处理。

一．一个方程的情况
这一小节的内容与上册 $\S 6.3$ 之五．隐函数求导法基本相同，即假定存在隐函数，且可微，如何计算其偏导数．差别在于上册的隐函数总是一元函数，而这里则可以是多元函数。例如，假设从方程

$$
F(x, y, z)=0
$$

可确定出二元函数 $z=z(x, y)$ ，则将它代入方程后就得到关于 $x, y$ 的恒等式

$$
F(x, y, z(x, y)) \equiv 0
$$

假设这个隐函数 $z=z(x, y)$ 有偏导数，又设 $F$ 可微，则就可以将恒等式对 $x$ 求导，得到

$$
\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}=0
$$

在 $\frac{\partial z}{\partial z} \neq 0$ 的条件下，就可以得到

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}=-\frac{F_x}{F_z}
$$

当然右边的表达式中 $z=z(x, y)$ ，从而是二元函数．
同样可以得到

$$
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}=-\frac{F_y}{F_z}
$$

而且可以注意到条件 $\frac{\partial F}{\partial z} \neq 0$ 是相同的．
下面主要是举例。
例题 0.1 设从 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 可确定隐函数 $z=z(x, y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
解 1 在方程中将 $z$ 换为 $z(x, y)$ ，然后对 $x$ 求导，就有

$$
\frac{2 x}{a^2}+\frac{2 z}{c^2} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}=0
$$

于是在 $z \neq 0$ 时可以得到

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{x}{a^2}}{\frac{z}{c^2}}=-\frac{c^2 x}{a^2 z}
$$

同样在 $z \neq 0$ 时可以得到

$$
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{c^2 y}{b^2 z}
$$

解 2 对方程求全微分，即有

$$
\frac{2 x}{a^2} d x+\frac{2 y}{b^2} d y+\frac{2 z}{c^2} d z=0
$$

然后改写为

$$
d z=-\frac{c^2 x}{a^2 z} d x-\frac{c^2 y}{b^2 z} d y
$$

则右边的 $d x$ 和 $d y$ 的系数就是要求的 $z_x, z_y$ ．
例题 0.2 设 $F$ 为二阶可微的三元函数，又设从方程 $F(x y, y+z, x z)=0$ 可确定出隐函数 $z=z(x, y)$ ，求 $z_x, z_y, z_{x y}$ ．

解 1 用 $z=z(x, y)$ 代入方程中，就可以得到关于 $x, y$ 的恒等式 $F(x y, y+$ $z(x, y), x z(x, y)) \equiv 0$ ．为避免混淆，将三元函数 $F$ 的三个偏导数记为 $F_1, F_2, F_3$ ．对 $x$ 求导得到

$$
F_1 y+F_2 z_x+F_3\left(z+x z_x\right)=0
$$

于是在 $F_2+x F_3 \neq 0$ 的条件下就可以得到

$$
z_x=-\frac{y F_1+z F_3}{F_2+x F_3}
$$

同样可以将恒等式对 $y$ 求导得到 $F_1 x+F_2\left(1+z_y\right)+F_3 x z_y=0$ ，从而得到

$$
z_y=-\frac{x F_1+F_2}{F_2+x F_3}
$$

注意两个偏导数的表达式中分母是相同的．
为了计算 $z_{x y}$ ，可以从 $z_x$ 对 $y$ 求导，也可以从 $z_y$ 对 $x$ 求导．又为了避免分式求导的计算，可以从（5）对 $y$ 求导，得到

$$
\begin{aligned}
F_1 & +y\left(F_{11} x+F_{12}\left(1+z_y\right)+F_{13} x z_y\right) \\
& +F_2 z_{x y}+z_x\left(F_{21} x+F_{22}\left(1+z_y\right)+F_{23} x z_y\right) \\
& +\left(z_y+x z_{x y}\right) F_3+\left(z+x z_x\right)\left(F_{31} x+F_{32}\left(1+z_y\right)+F_{33} x z_y\right)=0 .
\end{aligned}
$$

将其中不含有 $z_{x y}$ 的所有项之和记为 $\Delta$ ，则就有

$$
z_{x y}=-\frac{\Delta}{F_2+x F_3},
$$

这里的分母与前面 $z_x, z_y$ 的表达式中的分母又是相同的．当然这里的 $\Delta$ 中还含有 $z_x$ 和 $z_y$ ，应当用前面的表达式代入。计算从略。
（此题的 $z_{x y}$ 表达式太长，作为例题不合适。）
解 2 只对于一阶偏导数介绍与解 1 不同的算法．
直接对方程求全微分得到

$$
F_1(x d y+y d x)+F_2(d y+d z)+F_3(x d z+z d x)=0
$$

将它改写为

$$
\left(F_2+x F_3\right) d z=-\left(y F_1+z F_3\right) d x-\left(x F_1+F_2\right) d y
$$

这样就可以得出 $z_x, z_y$ ．

例题 0.3 从方程 $F(x y, y+z, x z)=0$ 计算 $x_z$
解 从题可见是由方程确定 $x=x(y, z)$ ，然后计算 $x$ 对 $z$ 的偏导数．
如上例的解 2 那样用全微分法，就可以得到

$$
x_z=-\frac{F_2+x F_3}{y F_1+z F_3} .
$$

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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