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数学分析
第十八章 多元函数微分学及其应用
约束极值
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2025-02-02 09:30
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约束极值
一．约束极值（最值）问题 也称为条件极值问题．反之，前面讨论的极值问题可称为无约束极值问题，或无条件极值问题．相应地也有约束最值问题或条件最值问题．与以前相同，极值是局部性质的问题，而最值则是整体来说的。 先从一个简单例子开始。 例题 0.1 平方和等于 1 的两个数，何时其和最大？ 解 1 将两个数记为 $x, y$ ，则约束条件是 $x^2+y^2=1$ ，称 $z=x+y$ 为目标函数． 对 $x, y$ 用 Cauchy 不等式就可以得到 $$ x+y \leqslant \sqrt{x^2+y^2} \sqrt{2}=\sqrt{2} $$ 且于 $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时成立等号，即达到最大值 $\sqrt{2}$ ． 解 2 从约束条件消去一个变量，使问题归结为无约束最值问题。例如消去 $y$ ，问题归结为在 $[-1,1]$ 上求函数 $z=x+\sqrt{1-x^2}$ 的最大值．用一元函数求最值方法即可．以下请读者自己完成． 解 3 引入参数，这也有可能将约束最值问题归结为无约束最值问题．例如在本题中令 $x=\cos \theta, y=\sin \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi$ ，则目标函数成为 $z=\cos \theta+\sin \theta$ ．用三角函数和差化积公式即可解决．以下请读者自己完成． 评论 以上几个方法都缺乏一般意义，对于稍微复杂一点的约束极值或约束最值问题难以使用．于是需要寻找新的方法．在下面介绍了 Lagrange 乘子法后我们还回再回到这个例题来。
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