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Lagrange 拉格朗日乘子法

> 拉格朗日乘法子通俗理解请参考高等数学 [拉格朗日函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=399)

## 一．约束极值（最值）问题
约束极值也称为条件极值问题．反之，前面讨论的极值问题可称为无约束极值问题，或无条件极值问题．相应地也有约束最值问题或条件最值问题．与以前相同，极值是局部性质的问题，而最值则是整体来说的。

先从一个简单例子开始。

`例` 平方和等于 1 的两个数，何时其和最大？
解 1 将两个数记为 $x, y$ ，则约束条件是 $x^2+y^2=1$ 称**约束函数** ，而称 $z=x+y$ 为**目标函数**．
对 $x, y$ 用 Cauchy 不等式就可以得到

$$
x+y \leqslant \sqrt{x^2+y^2} \sqrt{2}=\sqrt{2}
$$

且于 $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时成立等号，即达到最大值 $\sqrt{2}$ ．
解 2 从约束条件消去一个变量，使问题归结为无约束最值问题。例如消去 $y$ ，问题归结为在 $[-1,1]$ 上求函数 $z=x+\sqrt{1-x^2}$ 的最大值．用一元函数求最值方法即可．以下请读者自己完成．

解 3 引入参数，这也有可能将约束最值问题归结为无约束最值问题．例如在本题中令 $x=\cos \theta, y=\sin \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi$ ，则目标函数成为 $z=\cos \theta+\sin \theta$ ．用三角函数和差化积公式即可解决．以下请读者自己完成．
评论 以上几个方法都缺乏一般意义，对于稍微复杂一点的约束极值或约束最值问题难以使用．于是需要寻找新的方法．在下面介绍了 Lagrange 乘子法后我们还回再回到这个例题来。

## Lagrange 乘子法
我们从 $f, \varphi$ 皆为二元函数这一简单情况人手．欲求函数

$$
z=f(x, y) ...(4)
$$

的极值，其中 $(x, y)$ 受条件

$$
C: \varphi(x, y)=0 ...(5)
$$

的限制．
若把条件 $C$ 看作 $(x, y)$ 所满足的曲线方程，并设 $C$ 上的点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 为 $f$ 在条件 （5）下的极值点，且在点 $P_0$ 的某邻域上方程（5）能惟一确定可微的隐函数 $y=g(x)$ ，则 $x=x_0$ 必定也是 $z=f(x, g(x))=h(x)$ 的极值点．故由 $f$ 在 $P_0$ 可微，$g$ 在 $x_0$ 可微，得到

$$
h^{\prime}\left(x_0\right)=f_x\left(x_0, y_0\right)+f_y\left(x_0, y_0\right) g^{\prime}\left(x_0\right)=0  ...(6)
$$

而当 $\varphi$ 满足隐函数定理条件时

$$
g^{\prime}\left(x_0\right)=-\frac{\varphi_x\left(x_0, y_0\right)}{\varphi_y\left(x_0, y_0\right)} ...(7)
$$

把（7）代人（6）后又得到

$$
f_x\left(P_0\right) \varphi_y\left(P_0\right)-f_y\left(P_0\right) \varphi_x\left(P_0\right)=0 ...(8)
$$

在几何意义上，关系式（8）表示曲面 $z=f(x, y)$ 的等高线 $f(x, y)=f\left(P_0\right)$ 与曲线 $C$ 在 $P_0$处具有公共切线（见图 18－7）．从而存在某一常数 $\lambda_0$ ，使得在 $P_0$ 处满足

$$
\left.\begin{array}{l}
f_x\left(P_0\right)+\lambda_0 \varphi_x\left(P_0\right)=0 \\
f_y\left(P_0\right)+\lambda_0 \varphi_y\left(P_0\right)=0 \\
\varphi\left(P_0\right)=0
\end{array}\right\} ...(9)
$$

![图片](/uploads/2025-10/e2ec50.jpg){width=500px}

如果引人辅助变量 $\lambda$ 和辅助函数

$$
L(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)...(10)

则（9）中三式就是

$$
\left.\begin{array}{l}
L_x\left(x_0, y_0, \lambda_0\right)=f_x\left(P_0\right)+\lambda_0 \varphi_x\left(P_0\right)=0 \\
L_y\left(x_0, y_0, \lambda_0\right)=f_y\left(P_0\right)+\lambda_0 \varphi_y\left(P_0\right)=0 \\
L_\lambda\left(x_0, y_0\right)=\varphi\left(P_0\right)=0
\end{array}\right\} ...(11)
$$

这样就把条件极值问题（4），（5）转化为讨论函数（10）的无条件极值问题．这种方法称为拉格朗日乘数法，（10）中的函数 $L$ 称为拉格朗日函数，辅助变量 $\lambda$ 称为拉格朗日乘数。

### 一般函数
假设在一般形式的约束下

$$
\varphi_k\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=0, k=1,2, \cdots, m \quad(m<n) ...(2)
$$

的限制下，求目标函数

$$
y=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) ...(3)
$$

的极值．

拉格朗日函数是

$$
\begin{aligned}
& L\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m\right) \\
= & f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)+\sum_{k=1}^m \lambda_k \varphi_k\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right),
\end{aligned} ...(12)
$$

其中 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ 为拉格朗日乘数，并有下面的定理．

**定理**  设在条件（2）的限制下，求函数（3）的极值问题，其中 $f$ 与 $\varphi_k(k=1$ ， $2, \cdots, m)$ 在区域 $D$ 上有连续的一阶偏导数．若 $D$ 的内点 $P_0\left(x_1^{(0)}, \cdots, x_n^{(0)}\right)$ 是上述问题的极值点，且雅可比矩阵

$$
\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_n} \\
\vdots & & \vdots \\
\frac{\partial \varphi_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial \varphi_m}{\partial x_n}
\end{array}\right)_{P_0} ...(13)
$$

的秩为 $m$ ，则存在 $m$ 个常数 $\lambda_1^{(0)}, \cdots, \lambda_m^{(0)}$ ，使得 $\left(x_1^{(0)}, \cdots, x_n^{(0)}, \lambda_1^{(0)}, \cdots, \lambda_m^{(0)}\right)$ 为拉格朗日函数（12）的稳定点，即 $\left(x_1^{(0)}, \cdots, x_n^{(0)}, \lambda_1^{(0)}, \cdots, \lambda_m^{(0)}\right)$ 为 $n+m$ 个方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
L_{x_1}=\frac{\partial f}{\partial x_1}+\sum_{k=1}^m \lambda_k \frac{\partial \varphi_k}{\partial x_1}=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
L_{x_n}=\frac{\partial f}{\partial x_n}+\sum_{k=1}^m \lambda_k \frac{\partial \varphi_k}{\partial x_n}=0, \\
L_{\lambda_1}=\varphi_1\left(x_1, \cdots, x_n\right)=0, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
L_{\lambda_m}=\varphi_m\left(x_1, \cdots, x_n\right)=0
\end{array}\right.
$$

的解．

`例`  例1 容量为 $V$ 的长方形开口水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，其表面积最小？

解：设水箱的长、宽、高分别为 $x, y, z$ ，则表面积为

$$
S(x, y, z)=2(x z+y z)+x y
$$

依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求 $(x>0, y>0, z>0)$ ，而且还须满足条件

$$
x y z=V .
$$

这就是有约束条件的极值问题称为条件极值问题

这时所求问题的拉格朗日函数是

$$
L(x, y, z, \lambda)=2(x z+y z)+x y+\lambda(x y z-V) .
$$

对 $L$ 求偏导数，并令它们都等于 0 ，则有

$$
\left.\begin{array}{l}
L_x=2 z+y+\lambda y z=0 \\
L_y=2 z+x+\lambda x z=0 \\
L_z=2(x+y)+\lambda x y=0 \\
L_\lambda=x y z-V=0
\end{array}\right\}
$$

求方程组 的解，得

$$
x=y=2 z=\sqrt[3]{2 V}, \lambda=-\frac{4}{\sqrt[3]{2 V}}
$$

## Lagrange 算子的理解

关于拉格朗日函数的通俗理解，请参考 高等数学 [拉格朗日函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=399)

## 例题

设 $F(x, y)$ 和 $f(x, y)$ 于开集 $D$ 上连续可微，问题是在约束 $F(x, y)=0$ 的条件下求目标函数 $z=f(x, y)$ 的极值，即求 $\max _{F(x, y)=0} f(x, y)$ 或 $\min _{F(x, y)=0} f(x, y)$ 的解．

**定义** 下列 Lagrange 函数$L(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda F(x, y)$ 称 Lagrange 函数中的 $\lambda$ 为 Lagrange **乘子**，它是新的末知量．

**定理1** 设点 $(a, b)$ 是在约束 $F(x, y)=$ 0 的条件下目标函数 $f(x, y)$ 的约束极值点或约束最值点，且梯度 $\operatorname{grad} F=\left(F_x, F_y\right)$在点 $(a, b)$ 处不是零向量，则一定存在数 $\lambda_0$ ，使得 $\lambda_0, a, b$ 是 Lagrange 函数 $L$ 的驻点，即满足
$$
L_x=L_y=L_\lambda=0
$$
 
注 定理 1 是极值点的必要条件，不是充分条件． 
定理1 有明显的几何意义．下面给出了两个示意图．先看左下图．
 
 ![图片](/uploads/2025-02/34668a.jpg)
 
 图 8 就是例题 1 的几何意义．其中作出了目标函数 $x+y$ 的等值线，同时又用粗黑线作出了约束条件，即圆 $x^2+y^2=1$ ．其中的两个黑点就是在圆上与 $x+y$ 的某条等值线相切的点，一条是 $x+y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，另一条是 $x+y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．对于满足约束条件，即圆 $x^2+y^2=1$ 上的其他点，设记为 $\left(x_0, y_0\right)$ ，经过它的 $x+y$ 的等值线与圆不相切，于是在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的任意邻近，在满足约束条件的 $x^2+y^2=1$ 上，目标函数 $x+y$ 的值既可大于 $x_0+y_0$ ，也可小于 $x_0+y_0$ ，因此这样的 $\left(x_0, y_0\right)$ 就不会是约束极值点．

图9是更为一般的情况，可以对照定理1的证明来看．其中用粗黑曲线表示约束条件 $F(x, y)=0$ ，又用一族细曲线表示目标函数 $f(x, y)$ 的若干条等值线．点 $(a, b)$ 是约束极值点．如果在点 $(a, b)$ 处的梯度向量 $\operatorname{grad} f$ 不是零向量，且曲线 $F(x, y)=0$ 与等值线 $f(x, y)=f(a, b)$ 在点 $(a, b)$ 处不相切，则当点 $(x, y)$ 在点 $(a, b)$ 处沿曲线 $F(x, y)=0$ 变化时，$f$ 的值就可能取到大于 $f(a, b)$ 和小于 $f(a, b)$的值，从而与 $(a, b)$ 为极值点矛盾．因此 $F, f$ 在该点的两个梯度向量必须共线，即

$$
\operatorname{grad} f(a, b) \| \operatorname{grad} F(a, b)
$$
注 一种特殊情况是 $\lambda_0=0$ ．从乘子法可见这时 $f_x(a, b)=f_y(a, b)=0$ ，即点 $(a, b)$ 是目标函数 $f$ 的驻点．这时图 9 所显示的情况，即曲线 $F(x, y)=0$ 与 $f$ 的等值线在点 $(a, b)$ 处相切，就未必成立．例如等值线 $f(x, y)=f(a, b)$ 退化为一个孤立点也是可能的．然而由于 $\operatorname{grad} f= 0 , \operatorname{grad} f \| \operatorname{grad} F$ 仍然成立．

`例`给定三维空间的一张平面 $S: A x+B y+C z+D=0$ ，其中 $a, b, c$不同时为 0 ，又给定一点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ ，求它到上述平面的最短距离．

解 这是在解析几何中已经解决的问题．现在从约束最值问题的角度来重新考察它．可以将目标函数设为 ${ }^{(1)}$

$$
f(x, y, z)=\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2
$$

问题就是在约束条件 $A x+B y+C z+D=0$ 下求 $f$ 的最小值．
从 Euclid 空间中点到集合的距离概念可见，上述约束最小值问题的解存在惟一，而且约束最小值点也是约束极小值点。

由于 $A, B, C$ 不同时为 0 ，因此梯度非零条件满足．这样就可以用定理 1 ．
作 Lagrange 函数

$$
L=\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2+\lambda(A x+B y+C z+D)
$$

然后求解方程组

$$
\begin{aligned}
& 2\left(x-x_0\right)+\lambda A=0, \\
& 2\left(y-y_0\right)+\lambda B=0, \\
& 2\left(z-z_0\right)+\lambda C=0,
\end{aligned}
$$

$$
A x+B y+C z+D=0 .
$$

由前三式可见，只要点 $P_0$ 不在约束平面上 $\lambda$ 就不可能等于 0 ．从前三个方程将 $x, y, z$ 用 $\lambda$ 表出，代入最后一个方程即可确定

$$
\lambda=2 \frac{A x_0+B y_0+C z_0+D}{A^2+B^2+C^2} .
$$

由此即可解出极值点．由于求解的惟一性，因此也就是最值点．
从计算的简便来看，可以从上述前三个方程得到

$$
f(x, y, z)=\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2=\frac{\lambda^2}{4}\left(A^2+B^2+C^2\right),
$$

然后将上面得到的 $\lambda$ 代入并开方就得到所求的答案：

$$
\min _{A x+B y+C z+D=0} \sqrt{f(x, y, z)}=\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} .
$$

`例`求平面上点 $\left(x_0, y_0\right)$ 到椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的距离，其中设 $a \neq b$ ．
解 这里的距离就是指从点 $\left(x_0, y_0\right)$ 到椭圆上点的最小距离．它的存在性没有问题。同样应用定理 1 的梯度非零条件满足。

这时的目标函数为 $f(x, y)=\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2$ ，作 Lagrange 函数

$$
L(x, y, \lambda)=\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\lambda\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)
$$

然后列出驻点方程组

$$
\begin{aligned}
& L_x=2\left(x-x_0\right)+2 \lambda \frac{x}{a^2}=0, \\
& L_y=2\left(y-y_0\right)+2 \lambda \frac{y}{b^2}=0, \\
& L_\lambda=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0 .
\end{aligned}
$$

前两个方程的几何意义很清楚，即连接极值点 $(a, b)$ 与点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的直线与椭圆在点 $(a, b)$ 的切线正交，也就是说该直线是椭圆在点 $(a, b)$ 的法线（的一部分）．

关于从一个给定点作给定的椭圆的法线问题是一个比较复杂的问题，就极值点来说，可能有 $2,3,4$ 个解，而其中长度最小的就是距离问题的解．（其中长度最大的就是从点 $(a, b)$ 到椭圆上的点的最大距离．）

这可以从上述三个方程看出，即若从前两个方程消去 $\lambda$ ，则得到关于 $x, y$ 的两个二次方程。或者从前两个方程解出 $x, y$ 用 $\lambda$ 表出，代入第三个方程，则得到关于 $\lambda$ 的 4 次方程．

在下面的图 10 中给出了各种可能性的示意图．其中除了用粗黑曲线作出椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 之外，还用细曲线作出了具有 4 个尖点的曲线，它的方程是

$$
(a x)^{\frac{2}{3}}+(b y)^{\frac{2}{3}}=\left(a^2-b^2\right)^{\frac{2}{3}},
$$

它是椭圆的渐屈线方程．结论是：从渐屈线外的点出发可引出 2 条法线（见分图 （a））；从渐屈线上的非尖点出发可引出 3 条法线（见分图（b）），但从尖点出发则只能引出 2 条法线；从渐屈线内的点出发可引出 4 条法线（见分图（c））．有关的计算细节从略．这里只指出，这个问题最早是古希腊数学家Appollonius ${ }^{(1)}$ 提出和解决的．
（参见《数学分析习题课讲义》上册 p． 412 对第八章第二组参考题 20 的注解．）
 ![图片](/uploads/2025-02/ccfe1b.jpg)
 
**注意点**
对于多元函数的约束极值和约束最值问题来说，Lagrange 乘子法相当于一元函数中的 Fermat 定理，但更复杂一些．与一元函数情况类似，对于 Lagrange 乘子法的使用提出以下几个注意要点．
（1）Lagrange 乘子法只是极值点的必要条件，因此所得的解只是约束极值（或约束最值）的嫌疑点．
（2）除了用 Lagrange 乘子法求出的嫌疑点之外，满足以下条件的点也是约束极值（或约束最值）的嫌疑点：（i）约束条件中的函数 $F$ 和目标函数 $f$ 的不连续可微的点；（ii）使得 Jacobi 矩阵 $\left(F_x, F_y\right)$ 降秩的点．
（3）实际上需要解决的多数问题是约束最值问题．这时最好能够利用有界闭集上连续函数必有最值等方法事先判定最值的存在性．
（4）若事先能肯定最值点存在，则可以将上述（1）与（2）点中所说的极值嫌疑点全部求出，然后计算所有嫌疑点上的目标函数值来确定最值点和最值．
（5）对于约束最值问题，如满足约束条件的点集不是有界闭集，则有可能需要采取附加手段将点集转化为有界闭集来研究．这将在后面通过例题来介绍．

`例` 在约束条件 $g(x, y)=y^2+y x^2=0$下，求 $z=f(x, y)=x^2+(y-1)^2$ 的最值．

解 这实际上就是点 $(0,1)$ 到曲线 $g(x, y)=$ 0 的距离最值问题．由于该曲线无界，因此最大值不存在（参见右图）．又求出 $g(x, y)$ 的梯度 $\left(2 x y, x^2+y^2\right)$ ，可见在 $(0,0)$ 点为零向量．因此这也是极值嫌疑点．

![图片](/uploads/2025-02/9d4f1f.jpg)

对于 $(0,0)$ 之外的点试用 Lagrange 乘子法求嫌疑点．作出

$$
L(x, y, \lambda)=x^2+(y-1)^2+\lambda\left(y^2+y x^2\right)
$$

则驻点方程为

$$
\begin{aligned}
& L_x=2 x+2 \lambda x y=0 \\
& L_y=2(y-1)+2 \lambda y+\lambda x^2=0, \\
& L_\lambda=y^2+y x^2=0 .
\end{aligned}
$$

可以发现该方程组无解．

于是嫌疑点只有点 $(0,0)$ ．由于最小值点存在，因此它就是所求的最小值点．从表达式知道最小值为 1 ．（从图 11 可直接看出，满足约束的点 $(x, y)$ 都有 $y \leqslant 0$ ，因此 $(0,0)$ 就是最小值点，最小值为 1 ．）

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