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多个约束条件下的 Lagrange 乘子法

## 多个约束条件下的 Lagrange 乘子法
设函数 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 与

$$
g_i\left(x_1, \cdots, x_n\right), i=1, \cdots, k, k < n
$$

在 $R ^n$ 中的开集 $D$ 上连续可微，要求在满足约束条件

$$
g_i\left(x_1, \cdots, x_n\right)=0, i=1, \cdots, k,
$$

时目标函数 $z=f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的约束极值或约束最值．

**定义** 这时的 Lagrange 函数为

$$
L\left(x_1, \cdots, x_n, \lambda_1, \cdots, \lambda_k\right)=f\left(x_1, \cdots, x_n\right)+\sum_{i=1}^k \lambda_i g_i\left(x_1, \cdots, x_n\right)
$$

其中的 $\lambda_1, \cdots, \lambda_k$ 称为 Lagrange 乘子。

在上一节定理1  中解决了 $k=1$ 的问题，进一步可以推广如下．

**定理2** 设点 $P_0\left(x_1^0, \cdots, x_n^0\right)$ 是在约束条件 $g_1=\cdots=g_k=0$ 的条件下目标函数 $f$ 的约束极值点，且 Jacobi 矩阵 $\left(\frac{\partial g_i}{\partial x_j}\right)_{1 \leqslant i \leqslant k, 1 \leqslant j \leqslant n}$ 在点 $P_0$ 处满秩，则一定存在 $k$ 个数 $\lambda_1^0, \cdots, \lambda_k^0$ ，它们与 $x_1^0, \cdots, x_n^0$ 一起是 Lagrange 函数 $L$ 的驻点，即满足下列 $n+k$ 个方程：

$$
L_{x_1}=0, \cdots, L_{x_n}=0 ; L_{\lambda_1}=0, \cdots, L_{\lambda_k}=0
$$

注 与定理1相同，这里的结论只是约束极值问题的必要条件，不是充分条件．其中的 Jacobi 矩阵满秩在只有一个约束条件时就是梯度向量非零的条件。

`例`在约束条件 $x+y+z=0, x^2+y^2+z^2=1$ 下求 $W=x y z$ 的最值．
解 1 为了用 Lagrange 乘子法时的变量个数，可以先用 $z=-x-y$ 代入第二个约束和目标函数中，然后再做下去． 这个方法的缺点是破坏了问题原来的对称性．从略．

解 2 （这时 $L$ 为 5 元方程，驻点方程为 5 元的 5 个方程，求解不易．一般的方法是事先消去 $z$ ，减少一个未知量，这当然是一个办法．缺点是破坏了问题本身具有的对称性．下面不用此法做．）

首先从紧集上连续函数必有最值知道问题有解，且为极值点．又可看出最大值必大于 0 ，最小值必小于 0 ．

这时的 Jacobi 矩阵为

$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
2 x & 2 y & 2 z
\end{array}\right)
$$

除非 $x=y=z$ ，矩阵一定满秩．由于有约束条件 $x+y+z=0$ 和 $x^2+y^2+z^2=1$ ， $x=y=z$ 不可能成立．于是定理 2 的条件满足．

作出 Lagrange 函数 $L=x y z+\lambda(x+y+z)+\mu\left(x^2+y^2+z^2-1\right)$ ，就有 $L_x=y z+\lambda+2 \mu x, L_y=z x+\lambda+2 \mu y, L_z=x y+\lambda+2 \mu z$.
从这三个方程组合出 $x L_x+y L_y+z L_z=3 x y z+2 \mu$ ．又写出 $x L_x=0, y L_y=0$ ， $z L_z=0$ ，并将其中的第一项 $x y z$ 用 $-2 \mu / 3$ 代入，这样就得到新的方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
2 \mu x^2+\lambda x & =-\frac{2 \mu}{3} \\
2 \mu y^2+\lambda y & =-\frac{2 \mu}{3} \\
2 \mu z^2+\lambda z & =-\frac{2 \mu}{3}
\end{aligned}\right.
$$

于是（对于固定的 $\lambda, \mu$ 来说）$x, y, z$ 满足同一个二次方程，因此其中至少有两个相等．如前所说，达到最值的点的三个坐标不可能相等．于是只能是恰好两个坐标相等。

再从问题的对称性知，这种极值点或最值点的个数一定是 3 的倍数，且达到相同的最值。因此不妨设 $x=y \neq z$ 直接求解。（以下不再需要关于 $L$ 的驻点方程组，也没有必要去求出 Lagrange 乘子 $\lambda, \mu$ ．）

问题已经转化为在约束条件 $2 x+z=0,2 x^2+z^2=1$ 下求 $W=x^2 z$ 的最值．从前两个约束已经可以解出 $x= \pm \frac{1}{\sqrt{6

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