最后更新: 2025-02-02 09:38 查看: 7 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

约束条件为不等式的例子

九．约束条件为不等式的例子
例题 0.3 求 $f(x, y)=x+y$ 在不等式约束条件 $x^2+y^2 \leqslant 1$ 下的最值．
解 首先还是从有界闭集上连续函数必有最值知道最小值和最大值都存在．
可以分别考虑 $f$ 在 $x^2+y^2=1$ 和在 $x^2+y^2<1$ 上的最值．对于前者，已在例 1 中讨论过最大值问题．在定理 1 证明前求出的两个极值点分别就是最大值点和最小值点．（可参看该题以前的解法和附图．）

若 $f$ 在后者的区域中有最值，则必是无约束极值点．因此可以用 Fermat 定理求解．然而从 $f_x=f_y=1$ 可见不存在极值点．因此 $f$ 的最值只能在边界上达到．

例题 0.4 试用 Lagrange 乘子法证明 Cauchy 不等式：

$$
\left|\sum_{i=1}^n x_i y_i\right| \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}
$$

并指出等号成立的条件．
解（将不等式的证明化为约束极值问题来处理是一种很有效的方法，本题是这方面的一个例子．）

记 $\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}=A, \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}=B$ ，则 Cauchy 不等式就成为

$$
\left|\sum_{i=1}^n x_i y_i\right| \leqslant A B .
$$

将 $A y_1, \cdots, y_n$ 固定，也就是作为参数，将 $x_1, \cdots, x_n$ 看成为变量，然后在约束条件

$$
g( x )=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2-A^2=0
$$

下求目标函数 $z=x_1 y_1+\cdots+x_n y_n$ 的最大值和最小值．
若 $A=0$ ，则所有 $x_i=0, i=1, \cdots, n$ ，于是 $z=0$ ．同样若 $B=0$ 时也是如此．以下设 $A, B>0$ ．

从有界闭集上连续函数有最值，因此最大值和最小值存在，且都是极值．同时 $g$的梯度向量非零，因此可以用 Lagrange 乘子法来求极值点．

作 Lagrange 函数

$$
L\left(x_1, \cdots, x_n, \lambda\right)=\sum_{i=1}^n x_i y_i+\lambda\left(x_1^2+\cdots+x_n^2-A^2\right)
$$

就得到
$$
y_i+2 \lambda x_i=0, \quad i=1, \cdots, n .
$$

由 $B>0$ 可见 $\lambda \neq 0$ ，于是 $x_i=-\frac{y_i}{2 \lambda}, i=1, \cdots, n$ ．将 $x_1, \cdots, x_n$ 的上述表达式代入约束条件，就可以求出 $\lambda^2=\frac{B^2}{4 A^2}$ ，就有

$$
\lambda= \pm \frac{B}{2 A} .
$$

并得到极值点

$$
x_i=\mp \frac{y_i A}{B}, \quad i=1, \cdots, n
$$

这样就得到

$$
\sum_{i=1}^n x_i y_i=\mp A B
$$

其中的正号和负号分别对应了目标函数的最大值和最小值．由此就得到 Cauchy 不等式。

从最值点的表达式可见，在 Cauchy 不等式中成立等号的条件是 $x$ 与 $y$ 共线 （其中包括两个向量中一个或两个都是零向量的情况）．

上一篇：多个约束条件下的 Lagrange 乘子法

下一篇：关于 Lagrange 乘子法的进一步讨论

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