最后更新: 2025-10-30 10:24 查看: 58 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

拉格朗日极值的充分条件

## 关于 Lagrange 乘子法的进一步讨论
本小节是对教科书增加的材料，其中主要是：（1）定理 2 ，即一般情况的 Lagrange 乘子法的证明；（2）关于约束极值的充分条件问题（未讲）．

首先我们来证明定理 2．为方便起见，将前面的定理 2 重新叙述如下．
设函数 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 与

$$
g_i\left(x_1, \cdots, x_n\right), i=1, \cdots, k, k < n
$$

在 $R ^n$ 中的开集 $D$ 上连续可微，要求在满足约束条件

$$
g_i\left(x_1, \cdots, x_n\right)=0, i=1, \cdots, k
$$

时目标函数 $z=f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的约束极值或约束最值．
这时作 Lagrange 函数如下（其中和式前写为负号）：

$$
L\left(x_1, \cdots, x_n, \lambda_1, \cdots, \lambda_k\right)=f\left(x_1, \cdots, x_n\right)-\sum_{i=1}^k \lambda_i g_i\left(x_1, \cdots, x_n\right) \text {, }
$$

其中的 $\lambda_1, \cdots, \lambda_k$ 称为 Lagrange 乘子 ．

**定理2** 设点 $P_0\left(x_1^0, \cdots, x_n^0\right)$ 是在约束条件 $g_1=\cdots=g_k=0$ 的条件下目标函数 $f$ 的约束极值点（或约束最值点），且 Jacobi 矩阵 $\left(\frac{\partial g_i}{\partial x_j}\right)_{1 \leqslant i \leqslant k, 1 \leqslant j \leqslant n}$ 在点 $P_0$

处满秩，则一定存在 $k$ 个数 $\lambda_1^0, \cdots, \lambda_k^0$ ，它们与 $x_1^0, \cdots, x_n^0$ 一起是 Lagrange 函数 $L$的驻点，即满足下列 $n+k$ 个方程：

$$
L_{x_1}=0, \cdots, L_{x_n}=0 ; \quad L_{\lambda_1}=0, \cdots, L_{\lambda_k}=0
$$

分析 其中后 $k$ 个方程就是约束条件，又不含有乘子，对点 $P_0$ 总是满足的．因此只要考虑前 $n$ 个方程。

利用梯度向量的概念，可以将前 $n$ 个等式写成一个向量等式，即成立

$$
\operatorname{grad} f\left(P_0\right)=\sum_{i=1}^k \lambda_i^0 \operatorname{grad} g_i\left(P_0\right)
$$

这样就知道（1）有明显的几何意义，即在点 $P_0\left(x_1^0, \cdots, x_n^0\right)$ 处目标函数 $f$ 的梯度向量可以用约束条件中的函数 $g_1, \cdots, g_k$ 在该点的梯度向量线性表出，其组合系数就是 $\lambda_i^0(i=1, \cdots k)$ 。

证 写出在点 $P_0$ 处由约束条件中的 $k$ 个函数的偏导数组成的 Jacobi 矩阵 $\left(\frac{\partial g_i}{\partial x_j}\right)_{1 \leqslant i \leqslant k, 1 \leqslant j \leqslant n}$ ，即一个 $k \times n$ 矩阵：

$$
\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial g_k}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial g_k}{\partial x_n}
\end{array}\right)_{P_0}
$$

从定理的条件知这个矩阵满秩（注意 $1 \leqslant k<n$ ），因此可以用隐函数存在定理 ${ }^{(1)}$于 $g_1=\cdots=g_k=0$ ，由此推知在点 $P_0$ 的一个邻域中存在惟一的隐函数，即使得 $x_1, \cdots, x

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