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拉格朗日极值的充分条件

## 关于 Lagrange 乘子法的进一步讨论
本小节是对教科书增加的材料，其中主要是：（1）定理 2 ，即一般情况的 Lagrange 乘子法的证明；（2）关于约束极值的充分条件问题（未讲）．

首先我们来证明定理 2．为方便起见，将前面的定理 2 重新叙述如下．
设函数 $f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 与

$$
g_i\left(x_1, \cdots, x_n\right), i=1, \cdots, k, k < n
$$

在 $R ^n$ 中的开集 $D$ 上连续可微，要求在满足约束条件

$$
g_i\left(x_1, \cdots, x_n\right)=0, i=1, \cdots, k
$$

时目标函数 $z=f\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 的约束极值或约束最值．
这时作 Lagrange 函数如下（其中和式前写为负号）：

$$
L\left(x_1, \cdots, x_n, \lambda_1, \cdots, \lambda_k\right)=f\left(x_1, \cdots, x_n\right)-\sum_{i=1}^k \lambda_i g_i\left(x_1, \cdots, x_n\right) \text {, }
$$

其中的 $\lambda_1, \cdots, \lambda_k$ 称为 Lagrange 乘子 ．

**定理2** 设点 $P_0\left(x_1^0, \cdots, x_n^0\right)$ 是在约束条件 $g_1=\cdots=g_k=0$ 的条件下目标函数 $f$ 的约束极值点（或约束最值点），且 Jacobi 矩阵 $\left(\frac{\partial g_i}{\partial x_j}\right)_{1 \leqslant i \leqslant k, 1 \leqslant j \leqslant n}$ 在点 $P_0$

处满秩，则一定存在 $k$ 个数 $\lambda_1^0, \cdots, \lambda_k^0$ ，它们与 $x_1^0, \cdots, x_n^0$ 一起是 Lagrange 函数 $L$的驻点，即满足下列 $n+k$ 个方程：

$$
L_{x_1}=0, \cdots, L_{x_n}=0 ; \quad L_{\lambda_1}=0, \cdots, L_{\lambda_k}=0
$$

分析 其中后 $k$ 个方程就是约束条件，又不含有乘子，对点 $P_0$ 总是满足的．因此只要考虑前 $n$ 个方程。

利用梯度向量的概念，可以将前 $n$ 个等式写成一个向量等式，即成立

$$
\operatorname{grad} f\left(P_0\right)=\sum_{i=1}^k \lambda_i^0 \operatorname{grad} g_i\left(P_0\right)
$$

这样就知道（1）有明显的几何意义，即在点 $P_0\left(x_1^0, \cdots, x_n^0\right)$ 处目标函数 $f$ 的梯度向量可以用约束条件中的函数 $g_1, \cdots, g_k$ 在该点的梯度向量线性表出，其组合系数就是 $\lambda_i^0(i=1, \cdots k)$ 。

证 写出在点 $P_0$ 处由约束条件中的 $k$ 个函数的偏导数组成的 Jacobi 矩阵 $\left(\frac{\partial g_i}{\partial x_j}\right)_{1 \leqslant i \leqslant k, 1 \leqslant j \leqslant n}$ ，即一个 $k \times n$ 矩阵：

$$
\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial g_k}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial g_k}{\partial x_n}
\end{array}\right)_{P_0}
$$

从定理的条件知这个矩阵满秩（注意 $1 \leqslant k<n$ ），因此可以用隐函数存在定理 ${ }^{(1)}$于 $g_1=\cdots=g_k=0$ ，由此推知在点 $P_0$ 的一个邻域中存在惟一的隐函数，即使得 $x_1, \cdots, x_n$ 中的 $k$ 个变量成为另外 $n-k$ 个变量的函数。该隐函数是从 $R ^{n-k}$ 中的一个邻域到 $R ^k$ 的映射，满足 $k$ 个约束条件。

将上述隐函数组代入约束条件中得到关于 $n-k$ 个变量的 $k$ 个恒等式．利用一阶全微分的形式不变性就有以下 $k$ 个等式（当然在点 $P_0$ 处也成立）：

$$
\left.\begin{array}{l}
d g_1=\frac{\partial g_1}{\partial x_1} d x_1+\cdots+\frac{\partial g_1}{\partial x_n} d x_n=0 \\
\ldots \ldots \cdots \\
d g_k=\frac{\partial g_k}{\partial x_1} d x_1+\cdots+\frac{\partial g_1}{\partial x_n} d x_n=0
\end{array}\right\}
$$

另一方面，由于 $P_0$ 为极值点，将上述隐函数组代入目标函数 $f$ 中，就使得 $f$ 从 $n$ 个自变量的函数变成为 $n-k$ 个自变量的函数，同时问题从约束极值成为无约束极值．用 Fermat 定理就知道这个函数在极值点处对于这 $n-k$ 个自变量的偏导数等于 0 ，也就是 $d z=0$ ．利用一阶微分的形式不变性，就可以不区分在 $x_1, \cdots, x_n$中的自变量和隐函数的因变量，从而得到 ${ }^{(1)}$

$$
d f=\frac{\partial f}{\partial x_1} d x_1+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n} d x_n=0
$$

现在考察向量 $d x =\left( d x_1, \cdots, d x_n\right)$ 。从条件（2）可见 $d x$ 与 $k$ 个线性无关向量 $\operatorname{grad} g_1\left(P_0\right), \cdots, \operatorname{grad} g_k\left(P_0\right)$ 正交．将这 $k$ 个向量张成的 $k$ 维子空间记为

$$
M=\operatorname{Span}\left\{\operatorname{grad} g_1\left(P_0\right), \cdots, \operatorname{grad} g_k\left(P_0\right)\right\}
$$

则 $d x \perp M$ ，也就是 $d x \in M^{\perp}$ ，这里的记号 $M^{\perp}$ 是 $M$ 的正交补子空间．
条件（3）表明向量 $\operatorname{grad} f\left(P_0\right)$ 与所有这样的 $d x$ 正交，由于 $d x$ 的全体组成 $M^{\perp}$ ，而 $\left(M^{\perp}\right)^{\perp}=M$ ，因此 $\operatorname{grad} f\left(P_0\right) \in M$ ，这表明它是 $\operatorname{grad} g_1\left(P_0\right), \cdots, \operatorname{grad} g_k\left(P_0\right)$的线性组合，即成立 $(1)$ ，其组合系数就是定理所要求的 Lagrange 乘子．

本小节的第二个问题是考虑能否将前面用 Hesse 矩阵给出的无约束极值充分条件推广到约束极值的情况。

由于在约束极值问题中，$f$ 在点 $P_0$ 的一阶偏导数并不都等于 0 ，因此不能将 $\Delta f$ 写成为自变量增量的二次型加上高阶项，并从二次型的定号与不定号来判定是否是极值以及极值的类型。

这里可以介绍用 Lagrange 函数的 Hesse 矩阵来判定极值的方法．记 $x^0=$ $\left(x_1^0, \cdots, x_n^0\right), \lambda=\left(\lambda_1, \cdots, \lambda_k\right), \lambda^0=\left(\lambda_1^0, \cdots, \lambda_k^0\right)$ ，并设 $f, g_1, \cdots, g_k$ 均在点 $P_0$ 邻近二阶连续可微．利用 Lagrange 函数 $L( x , \lambda)$ 以 $\left( x ^0, \lambda^0\right)$ 为驻点，就有

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
\Delta f & =f( x )-f\left( x ^0\right) \\
& =L\left( x , \lambda^0\right)-L\left( x ^0, \lambda^0\right) \\
& =\frac{1}{2!} \sum_{i, j=1}^n \frac{\partial^2 L}{\partial x_i \partial x_j}\left( x ^0, \lambda^0\right) \Delta x_i \Delta x_j+o\left(r^2\right)(r \rightarrow 0),
\end{aligned}\\
&\text { 其中 } r=|\Delta x| \text { 与过去相同．}
\end{aligned}
$$   
 
## 充分条件
判断如上所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件，我们不加证明地给出，请有兴趣的读者将证明补上。

定理 12．7．2 设点 $\boldsymbol{x}_0=\left(x_1^0, x_2^0, \cdots, x_n^0\right)$ 及 $m$ 个常数 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m$ 满足方程组 （＊），则当方阵

$$
\left(\frac{\partial^2 L}{\partial x_k \partial x_l}\left(\boldsymbol{x}_0, \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_m\right)\right)_{n \times n}
$$

为正定（负定）矩阵时，$x_0$ 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此 $f\left(x_0\right)$ 为满足约束条件的条件极小（大）值。

注意，当这个定理中的方阵为不定时，并不能说明 $f\left(x_0\right)$ 不是极值．例如，在求函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2-z^2$ 在约束条件 $z=0$ 下的极值时，构造 Lagrange 函数 $L(x, y, z)=x^2+y^2- z^2-\lambda z$ ，并解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
L_x=2 x=0 \\
L_y=2 y=0 \\
L_z=-2 z-\lambda=0 \\
z=0
\end{array}\right.
$$

得 $x=y=z=\lambda=0$ ．而在 $(0,0,0,0)$ 点，方阵

$$
\left(\begin{array}{lll}
L_{x x} & L_{x y} & L_{x z} \\
L_{y x} & L_{y y} & L_{y z} \\
L_{z x} & L_{z y} & L_{z z}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -2
\end{array}\right)
$$

是不定的．但在约束条件 $z=0$ 下，$f(x, y, z)=x^2+y^2 \geqslant f(0,0,0)=0$ ，即 $f(0,0,0)$ 是条件极小值．

`例`在约束条件 $x+y=1$ 下求 $f(x, y)=x y$ 的最大值．
解 从直线 $x+y=1$ 穿过 3 个象限可知 $x y$ 的最大值只能在 $x, y>0$ 达到，且也是极大值．作 Lagrange 函数

$$
L=x y+\lambda(x+y-1),
$$

则从

$$
L_x=y+\lambda=0, L_y=x+\lambda=0, x+y=1
$$

可解出 $x=y=\frac{1}{2}$ ，即最大值点．
写出 $L$ 关于 $x, y$ 的 Hesse 矩阵，则是 $\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，它是不定号的矩阵．对应的二次型是 $2 \Delta x \Delta y$ ．然而由于其中的 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 不独立，因此不能从上述二次型不定号作出什么结论．

从约束可知有 $\Delta x+\Delta y=0$ ，代入上述二次型中就得到 $-2 \Delta x^2$ ，可推出点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 为极大值点．
（由于目标函数 $f$ 为二次，约束为一次，因此有

$$
\begin{aligned}
\Delta f & =(x+\Delta x)(y+\Delta y)+\lambda_0(x+\Delta x+y+\Delta y-1)-\left(x y+\lambda_0(x+y-1)\right) \\
& =\left(y+\lambda_0\right) \Delta x+\left(x+\lambda_0\right) \Delta y+\Delta x \Delta y=\Delta x \Delta y
\end{aligned}
$$

因此 $\Delta f$ 为二次，它和约束导出的 $\Delta x+\Delta y=0$ 中的 $\Delta x, \Delta y$ 可以取任意大的值，从而通过上述分析（不需要作事先分析）同时也可以断定极大值点也是最大值点．）

最后指出，这里的问题相当于讨论线性约束下的二次型的定号问题．对简单的具体问题用消去法即可．下面举出 Finsler ${ }^{(1)}$ 定理供参考．

**定理** 设 $\boldsymbol{x}^T Q \boldsymbol{x}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的二次型， $\boldsymbol{x}$ 满足线性约束条件 $G \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ ，其中 $G$ 为 $k \times n$ 阶矩阵 $(1 \leqslant k<n)$ ，则上述二次型为正定（即对非零 $\boldsymbol{x}$ 始终取正值）的充分必要条件是当数 $\lambda$ 充分大时，矩阵 $Q+\lambda G^T G$ 为正定阵．

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