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向量值函数的全导数

$\S 20.6$ 向量值函数的全导数
一．全导数的概念
这里要推广过去的导数概念到一般映射．
设有 $f: D \subset R ^n \rightarrow R ^m,\left(x_1, \cdots, x_n\right) \mapsto\left(y_1, \cdots, y_m\right)$ ，即对于 $j=1, \cdots, m$ 的每一个 $y_j$ 是 $x_1, \cdots, x_n$ 的 $n$ 元函数，可写成

$$
f \left(x_1, \cdots, x_n\right)=\left(f_1\left(x_1, \cdots, x_n\right), \cdots, f_m\left(x_1, \cdots, x_n\right)\right),
$$

称 $f_j$ 为 $f$ 的第 $j$ 个坐标函数，$j=1, \cdots, m$ ．
设 $a$ 是 $D$ 的内点．如何将一元函数的导数概念推广到这里？差商中的分子分母都必须是数．偏导数就是这样来的．但我们已经知道偏导数概念太弱，连映射的连续性都不能保证．若要求偏导数连续，则已经不是一个点上的概念了．

对于向量值函数，自变量是参数 $t$ 的情况，即 $n=1, m>1$ 的情况，可以对因变量向量的每一个分量去做出差商后取极限．这在 $n>1$ 时就没法做．

办法还是从全微分的定义出发．即在点 $a$ 的一个邻域内，能否存在一个线性映射来逼近 $f$ ．这里的线性映射与 $f$ 一样，都是从 $R ^n$ 到 $R ^m$ 的映射．

从高等代数可以知道，这样的线性映射可以用向量和矩阵工具来表示．考虑全微分中的线性部分，可以猜想这里的线性映射应当具有以下形式：

$$
f(a)+ A ( x - a ),
$$

其中 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵 $\left(a_{i j}\right)_{1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant n}$ ．
若记 $x =\left(x_1, \cdots, x_n\right)^T, a =\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ 为列向量，则上式等式的第 $i$ 个分量就是

$$
f_i\left(a_1, \cdots, a_n\right)+\sum_{j=1}^n a_{i j}\left(x_j-a_j\right),
$$

其中 $i=1, \cdots, m$ ．
由此可见，$a_{i j}$ 应当取为 $f_i$ 对 $x_j$ 在点 $a$ 的偏导数．因此也就是 $f_1, \cdots, f_m$ 关于 $x_1, \cdots, x_n$ 的 Jacobi 矩阵：

$$
\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant n}=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots &

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