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向量值函数的全导数

$\S 20.6$ 向量值函数的全导数
一．全导数的概念
这里要推广过去的导数概念到一般映射．
设有 $f: D \subset R ^n \rightarrow R ^m,\left(x_1, \cdots, x_n\right) \mapsto\left(y_1, \cdots, y_m\right)$ ，即对于 $j=1, \cdots, m$ 的每一个 $y_j$ 是 $x_1, \cdots, x_n$ 的 $n$ 元函数，可写成

$$
f \left(x_1, \cdots, x_n\right)=\left(f_1\left(x_1, \cdots, x_n\right), \cdots, f_m\left(x_1, \cdots, x_n\right)\right),
$$

称 $f_j$ 为 $f$ 的第 $j$ 个坐标函数，$j=1, \cdots, m$ ．
设 $a$ 是 $D$ 的内点．如何将一元函数的导数概念推广到这里？差商中的分子分母都必须是数．偏导数就是这样来的．但我们已经知道偏导数概念太弱，连映射的连续性都不能保证．若要求偏导数连续，则已经不是一个点上的概念了．

对于向量值函数，自变量是参数 $t$ 的情况，即 $n=1, m>1$ 的情况，可以对因变量向量的每一个分量去做出差商后取极限．这在 $n>1$ 时就没法做．

办法还是从全微分的定义出发．即在点 $a$ 的一个邻域内，能否存在一个线性映射来逼近 $f$ ．这里的线性映射与 $f$ 一样，都是从 $R ^n$ 到 $R ^m$ 的映射．

从高等代数可以知道，这样的线性映射可以用向量和矩阵工具来表示．考虑全微分中的线性部分，可以猜想这里的线性映射应当具有以下形式：

$$
f(a)+ A ( x - a ),
$$

其中 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵 $\left(a_{i j}\right)_{1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant n}$ ．
若记 $x =\left(x_1, \cdots, x_n\right)^T, a =\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ 为列向量，则上式等式的第 $i$ 个分量就是

$$
f_i\left(a_1, \cdots, a_n\right)+\sum_{j=1}^n a_{i j}\left(x_j-a_j\right),
$$

其中 $i=1, \cdots, m$ ．
由此可见，$a_{i j}$ 应当取为 $f_i$ 对 $x_j$ 在点 $a$ 的偏导数．因此也就是 $f_1, \cdots, f_m$ 关于 $x_1, \cdots, x_n$ 的 Jacobi 矩阵：

$$
\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant n}=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{array}\right)_{ x = a } .
$$

现在给出定义。
定义 0.1 设 $f$ 的每个坐标函数 $f_i$ 在点 $a$ 可微，则称 $f$ 在点 $a$ 可微，且称 $\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant n}$ 为 $f$ 在点 $a$ 的全导数，并记为 $f ^{\prime}( a )$ ．

下面是已知的三个特例：

对于 $m=n=1$ ，这就是一元函数的导数；对于 $m=1, n>1$ ，这就是多元函数的偏导数组成的向量，也就是梯度向量 $\operatorname{grad} f$（不妨将它看成为列向量）；对于 $m>1, n=1$ ，也就是向量值函数的切向量．

利用偏导数连续保证可微的定理，容易证明教科书上的第一个定理，即将可微概念推广到一般的映射。

定理 0.1 设 $f$ 的每个坐标函数 $f_i$ 于点 $a$ 处关于每个自变量 $x_i$ 有连续的偏导数，则 $f$ 在点 $a$ 处可微．

下面我们证明，用上述定义得到的可微性概念确实是以前关于一元函数和多元函数的可微性概念的推广．

定理 0.2 设 $f$ 于点 $a$ 可微，则有

$$
f ( x )- f ( a )= f ^{\prime}( a )( x - a )+o( x - a )( x \rightarrow a )
$$

这里先注意左边是 $m$ 维向量，右边第一项是 $m \times n$ 阶矩阵与 $n$ 向量的乘积，因此得到的也是 $m$ 阶向量。右边第二项当然是 $m$ 阶向量，作为余项，它与 $x$ 和 $a$有关，不妨记为 $r ( x , a )$ ，则定理表明有

$$
\lim _{ x \rightarrow a } \frac{| r ( x , a )|}{| x - a |}=0
$$

即当 $x \rightarrow a$ 时是比无穷小量 $| x - a |$ 更为高阶的无穷小量．
证 证明很简单．记

$$
r ( x , a )=\left(r_1( x , a ), \cdots, r_m( x , a )\right)^T
$$

则按照定义对于每一个 $i=1, \cdots, m$ 有

$$
r_i( x , a )=f_i( x )-f_i( a )-\left[\frac{\partial f_i}{\partial x_1}( a )\left(x_1-a_1\right)+\cdots+\frac{\partial f_i}{\partial x_n}( a )\left(x_n-a_n\right)\right]
$$

且成立

$$
\lim _{ x \rightarrow a } \frac{\left|r_i( x , a )\right|}{| x - a |}=0
$$

由于

$$
| r |=\sqrt{r_1^2+\cdots+r_m^2}
$$

因此定理的结论成立。
小结 对于从 Euclid 空间 $R ^n$（中的区域）到 Euclid 空间 $R ^m$ 的一般映射 $f$ ，我们引入了映射在某点 $a$ 的全微分和全导数的一般性概念，这时的全导数就是 $f$ 在点 $a$ 的 Jacobi 矩阵，而在此前的导数，梯度向量和向量值函数的切向量都是这里的全导数概念的特例。

二．链式法则
设有 $R ^n$ 中的开集 $D$ ，并在 $D$ 上定义有映射

$$
\begin{aligned}
& f : D \rightarrow R ^k \\
& x \mapsto u = f ( x )
\end{aligned}
$$

又设有 $R ^k$ 中的开集 $E$ ，并在 $E$ 上定义有映射

$$
\begin{aligned}
& g : E \rightarrow R ^m \\
& u \mapsto y = f ( u )
\end{aligned}
$$

则在条件 $f (D) \subset E$ 成立时，就得到在 $D \subset R ^n$ 上定义的复合映射 $g \circ f$ ：

$$
\begin{aligned}
& g \circ f : D \rightarrow R ^m \\
& x \mapsto y = g ( f ( x )) .
\end{aligned}
$$

定理 0.3 若 $f$ 的各个坐标函数在点 $a \in D$ 处连续可偏导， $g$ 的各个坐标函数在点 $b = f ( a )$ 处连续可偏导，则复合函数 $g \circ f$ 的各个坐标函数在点 $a$ 处连续可偏导，且在它们的全导数之间成立

$$
( g \circ f )^{\prime}( a )= g ^{\prime}( b ) \circ f ^{\prime}( a )
$$

证 上式左边是 $m \times n$ 阶矩阵，也可以理解为一个线性变换。右边是 $m \times k$ 阶矩阵与 $k \times n$ 阶矩阵的乘积，也可以理解为两个线性变换的复合．

将 $m$ 维向量函数 $g \circ f$ 记为

$$
g \circ f =\left(h_1, \cdots, h_m\right)
$$

则就有

$$
h_i( x )=g_i\left(f_1( x ), \cdots, f_k( x )\right), \quad i=1, \cdots, m
$$

利用多元函数的链式法则就可以对于所有的 $1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant n$ 得到

$$
\frac{\partial h_i( a )}{\partial x_j}=\frac{\partial g_i}{\partial u_1}( b ) \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_j}( a )+\cdots+\frac{\partial g_i}{\partial u_k}( b ) \cdot \frac{\partial f_k}{\partial x_j}( a ),
$$

这就是所要证明的结论．
注 可以将定理中的连续可偏导条件减弱为可微条件，结论仍然成立．
推论 设 $D$ 是 $R ^n$ 中的开集， $f$ 是从 $D$ 到 $R ^n$ 的可微映射，且存在可微的逆映射 $f ^{-1}$ ．设点 $a \in D, f ( a )= b$ ，则就有

$$
\left( f ^{-1} \circ f \right)^{\prime}( a )=\left( f ^{-1}\right)^{\prime}( b ) \circ f ^{\prime}( a )= 1 ,
$$

其中最右边的 $1$ 是恒等映射，它的矩阵表示就是单位阵 $I$ ．
注 这是一元函数中反函数求导法则的推广．即若 $y=y(x)$ 在点 $a$ 可微， $y^{\prime}(x) \neq 0$ ，则存在反函数 $x=x(y)$ ，且也可微．若 $b=y(a)$ ，则有

$$
x_y^{\prime}(b) y_x^{\prime}(a)=1,
$$

或写为

$$
y_x^{\prime}(x)=\frac{1}{x_y^{\prime}(y(x))} .
$$

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