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平面点集

## 概述
到目前为止，我们在数学分析课程中学习的都只是一元函数的分析性质．但在现实生活中，除了非常简单的情况之外，可以仅用一个自变量和一个因变量的变化关系来刻画的问题可以说是比较少的．比如，即便是像物理学中研究质点运动这么一个相对较为容易的问题，也需要用到三个空间变量 $x 、 y 、 z$ 和一个时间变量 $t$ 以及多个函数值（如位置、速度、加速度、动量等），更不用说在化学、生物及社会科学领域产生的远为复杂的情况．这种多自变量和多因变量的变化关系，反映到数学上就是多元函数（或多元函数组，即向量值函数）。

从本节开始我们将转向研究多元函数（组）。多元函数的分析性质无非也是极限理论、连续性、可微性、可积性等，它们与一元函数的相应性质既有紧密联系，又有很大差别。希望读者＂温故而知新＂，在学习中注意对照、分析它们本质上的异同，举一反三，收到事半功倍之效果．

**Euclid 空间上的距离与极限**
前面说过，极限理论是整个数学分析的基础。在导出多元函数的极限定义之前，我们先来回忆一下一元函数的情况。

极限定义

$$
" \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x\left(0<\left|x-x_0\right|<\delta\right):|f(x)-A|<\varepsilon "
$$

意味着，在自变量的变化过程中，只要 $x$ 与 $x_0$ 充分接近 $\left(x \neq x_0\right)$ ，函数值 $f(x)$ 就可以与 $A$ 任意接近。而这个＂接近＂，不管是用符号＂ $0<\left|x-x_0\right|<\delta$＂和＂$|f(x)-A|<\varepsilon$＂表示，还是用语言＂在 $x_0$ 的 $\delta$ 去心邻域 $O\left(x_0, \delta\right) \backslash\left\{x_0\right\}$ 中＂和＂落在点 $A$ 的 $\varepsilon$ 邻域中＂表示，实质上都是用绝对值，即一维空间中两点间的距离刻画的。显而易见，若没有距离的概念和定义，就无所谓＂接近＂或＂不接近＂，也就没有＂收敛＂和＂发散＂．收敛就是距离趋向于零．

对于多元函数（组），上述的 $x 、 x_0$（及 $f(x) 、 A$ ）都是由多个分量组成的，为了研究多元函数的性质，我们先要将＂距离＂的概念推广至高维空间，定义出类似于＂绝对值＂那样的度量标准，然后才能在此基础上去相应地定义极限，进而构筑整个多元分析理论．

多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量由一个增加到多个，产生了某些新的性质，读者对这些性质尤其要加以注意。对于多元函数，我们将着重讨论二元函数．在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它们推广到一般的多元函数中去．

一元函数的定义域是实数轴上的点集，二元函数的定义域将是坐标平面上的点集．因此，在讨论二元函数之前，有必要先了解有关平面点集的一些基本概念．

### 一、平面点集
由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个坐标系（今后如不特别指出，都假定是直角坐标系）之后，所有有序实数对$(x, y)$ 与平面上所有的点之间建立了一一对应．因此，今后将把＂数对＂与＂平面上的点＂这两种说法看作是完全等同的．这种确定了坐标系的平面，称为坐标平面．

坐标平面上满足某种条件 $P$ 的点的集合称为平面点集，并记作

$$
E=\{(x, y) \mid(x, y) \text { 满足条件 } P\} \text {. }
$$

例如，全平面上的点所组成的点集是

$$
\mathbf{R}^2=\{(x, y) \mid-\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty\} ...(1)
$$

平面上以原点为中心、 $r$ 为半径的圆内所有的点的集合是

$$
C=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2<r^2\right\}   ...(2)
$$

而集合

$$
S=\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d\} ...(3)
$$

则为一矩形及其内部所有点的全体，为书写上的方便，也常把它记作 $[a, b] \times[c, d] $ ．平面点集

$$
\left\{(x, y) \mid\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2<\delta^2\right\}
$$

与

$$
\left\{(x, y)\left|\left|x-x_0\right|<\delta,\left|y-y_0\right|<\delta\right\}\right.
$$

分别称为以点 $A\left(x_0, y_0\right)$ 为中心的 $\delta$ 圆邻域与 $\delta$ 方邻域（图16－1）．

![图片](/uploads/2025-11/1b921d.jpg){width=500px}
 
 
 由于点 $A$ 的任一个圆邻域总包含有点 $A$ 的某一个方邻域（反之亦然），因此通常用 ＂点 $A$ 的 $\delta$ 邻域＂或＂点 $A$ 的邻域＂泛指这两种形状的邻域，并以记号 $U(A ; \delta)$ 或 $U(A)$ 来表示．点 $A$ 的空心邻域是指

或

$$
\begin{gathered}
\left\{(x, y) \mid 0<\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2<\delta^2\right\} \\
\left\{(x, y)\left|\left|x-x_0\right|<\delta,\left|y-y_0\right|<\delta,(x, y) \neq\left(x_0, y_0\right)\right\}\right.
\end{gathered}
$$

并用记号 $U^{\circ}(A ; \delta)$ 或 $U^{\circ}(A)$ 来表示．
下面利用邻域来描述点和点集之间的关系。
任意一点 $A \in \mathbf{R}^2$ 与任意一个点集 $E \subset \mathbf{R}^2$ 之间必有以下三种关系之一：
（i）内点——若存在点 $A$ 的某邻域 $U(A)$ ，使得 $U(A) \subset E$ ，则称点 $A$ 是点 $E$ 的内点．$E$ 的全体内点构成的集合称为 $E$ 的内部，记作 $\operatorname{int} E$ ．
（ii）外点一一若存在点 $A$ 的某邻域 $U(A)$ ，使得 $U(A) \cap E=\varnothing$ ，则称 $A$ 是点集 $E$的外点．
（iii）界点——若在点 $A$ 的任何邻域内既含有属于 $E$ 的点，又含有不属于 $E$ 的点，则称 $A$ 是集合 $E$ 的界点．即对任何正数 $\delta$ ，恒有

$$
U(A ; \delta) \cap E \neq \varnothing \text { 且 } U(A ; \delta) \cap E^c \neq \varnothing \text {, }
$$
其中 $E^c=\mathbf{R}^2 \backslash E$ 是 $E$ 关于全平面的余集．$E$ 的全体界点构成 $E$ 的边界，记作 $\partial E$ ．
$E$ 的内点必定属于 $E, E$ 的外点必定不属于 $E, E$ 的界点可能属于 $E$ ，也可能不属于 $E$ ．

点 $A$ 与点集 $E$ 的上述关系是按＂点 $A$ 在 $E$ 内或在 $E$ 外＂来区分的．此外，还可按在点 $A$ 的近旁是否密集着 $E$ 中无穷多个点而构成另一类关系：
（i）聚点——若在点 $A$ 的任何空心邻域 $U^{\circ}(A)$ 内都含有 $E$ 中的点，则称 $A$ 是 $E$ 的聚点，聚点本身可能属于 $E$ ，也可能不属于 $E$ 。
$A$ 是点集 $E$ 的聚点的定义等价于＂点 $A$ 的任何邻域 $U(A)$ 包含有 $E$ 的无穷多个点＂．
（ii）孤立点一一若点 $A \in E$ ，但不是 $E$ 的聚点，即存在某一正数 $\delta$ ，使得 $U^{\circ}(A ; \delta) \cap E=\varnothing$ ，则称点 $A$ 是 $E$ 的孤立点．

显然，孤立点一定是界点，内点和非孤立的界点一定是聚点，既不是聚点，又不是孤立点，则必为外点．

`例` 设平面点集

$$
D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+y^2<4\right\} ...(4)
$$

满足 $1<x^2+y^2<4$ 的一切点都是 $D$ 的内点，满足 $x^2+y^2=1$ 的一切点是 $D$ 的界点，它们都属于 $D$ ，满足 $x^2+y^2=4$ 的一切点也是 $D$ 的界点，但它们都不属于 $D$ ，点集 $D$ 连同它外圆边界上的一切点都是 $D$ 的聚点．

根据点集中所属点的特征，我们再来定义一些重要的平面点集．
开集——若平面点集所属的每一点都是 $E$ 的内点（即 $\operatorname{int} E=E$ ），则称 $E$ 为开集．
闭集——若平面点集 $E$ 的所有聚点都属于 $E$ ，则称 $E$ 为闭集．若点集 $E$ 没有聚点，这时也称 $E$ 为闭集．

在前面列举的平面点集中，（2）所表示的点集 $C$ 是开集，（3）所表示的点集 $S$ 是闭集，（4）所表示的点集 $D$ 既非开集，又非闭集，而且（1）所表示的点集 $\mathbf{R}^2$ 既是开集又是闭集．此外，还约定空集 $\varnothing$ 既是开集又是闭集．可以证明，在一切平面点集中，只有 $\mathbf{R}^2$与 $\varnothing$ 是既开又闭的点集．

开域——若非空开集 $E$ 具有连通性，即 $E$ 中任意两点之间都可用一条完全含于 $E$的有限折线（由有限条直线段连接而成的折线）相连接，则称 $E$ 为开域（即开域就是非空连通开集）。

闭域——开域连同其边界所成的点集称为闭域．
区域——开域、闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域．
在上述诸例中，（2）是开域，（3）是闭域，（1）既是开域又是闭域．
又如

$$
E=\{(x, y) \mid x y>0\} ...(5)
$$

虽然是开集，但因 I、III象限之间不具有连通性，所以它不是开域，也不是区域．
有界点集——对于平面点集 $E$ ，若存在某一正数 $r$ ，使得

$$
E \subset U(O ; r),
$$

其中 $O$ 是坐标原点（也可以是其他固定点），则称 $E$ 是有界点集．否则就是无界点集．上述（2）、（3）、（4）都是有界点集，（1）、（5）则是无界点集．
$E$ 为有界点集的另一等价说法是：存在矩形区域 $D=[a, b] \times[c, d] \supset E$ ．
点集的有界性还可用点集的直径来反映，所谓点集 $E$ 的直径，就是

$$
d(E)=\sup _{P_1, P_2 \in E} \rho\left(P_1, P_2\right)
$$

其中 $\rho\left(P_1, P_2\right)$ 表示 $P_1$ 与 $P_2$ 两点之间的距离，当 $P_1, P_2$ 的坐标分别为 $\left(x_1, y_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2\right)$ 时，则

$$
\rho\left(P_1, P_2\right)=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2} .
$$

于是，当且仅当 $d(E)$ 为有限值时 $E$ 是有界点集．
根据距离概念，读者不难证明如下三角形不等式，即对 $\mathbf{R}^2$ 上任何三点 $P_1, P_2$ 和 $P_3$ ，皆有

$$
\rho\left(P_1, P_2\right) \leqslant \rho\left(P_1, P_3\right)+\rho\left(P_2, P_3\right)
$$

`例`证明：对任何 $S \subset \mathbf{R}^2, \partial S$ 恒为闭集．
证 如图 16－2 所示，设 $x_0$ 为 $\partial S$ 的任一聚点，要证 $x_0 \in \partial S$ 。为此，任给 $\varepsilon>0$ ，由聚点

![图片](/uploads/2025-11/f7fa42.jpg)
 
 
 定义，存在 $y \in U^{\circ}\left(x_0 ; \varepsilon\right) \cap \partial S$ ．又 $y$ 是 $S$ 的界点，所以对任意 $U(y ; \delta) \subset U\left(x_0 ; \varepsilon\right), U(y ; \delta)$ 上既有 $S$ 的点，又有非 $S$ 的点．于是 $U\left(x_0 ; \varepsilon\right)$ 上也既有 $S$ 的点，又有非 $S$ 的点，由 $\varepsilon$ 的任意性，推知 $x_0$ 是 $S$ 的界点，即 $x_0 \in \partial S$ ，这就证明了 $\partial S$ 是闭集．
 
 
> 本节内容可以参考《线性代数》里 [近世代数对数学的整体思考](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2602)

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