最后更新: 2025-03-17 08:23 查看: 91 次反馈刷题

集合的直积与欧几里得空间

## 欧几里得空间点积拓扑的概念
一．集合的直积
基本定义，即由两个非空集合 $A$ 和 $B$ 生成一个新的集合：

$$
A \times B=\{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}
$$

称为 $A$ 和 $B$ 的直积．
特别是在第一册 $\S 1.1$ 中的 $R ^2$ 本身，就是 $R \times R$ ．将直积 $\times$ 作为一种运算，则还可以多次进行，例如生成 $R ^n$ 等．

今后常用的是由 $R$ 的两个数集生成的直积，例如

$$
[a, b] \times[c, d]=\{(x, y) \mid a \leqslant x \leqslant b, c \leqslant y \leqslant d\}
$$

它是 $R ^2$ 的子集．几何上它是平面上的一个矩形，并且包含了边界上的所有点．
同样可以得到 $(a, b) \times(c, d),(a, b] \times[c, d)$ 等等。
二．Euclid 空间
这里可以讲一下 Bourbaki 学派的观点：各个数学学科研究的对象都是在某个集合中赋以某种结构而形成的。

在高等代数中也有这个内容，但除了定义之外，并不重复。因为在代数中关心的是代数结构，而在我们这里关心的是极限。

定义的方法分为几步。
首先是用直积引入集合：

$$
R ^n=\overbrace{ R \times R \times \cdots \times R }^n=\left\{\left(x_1, \cdots, x_n\right) \mid-\infty<x_i<\infty, i=1, \cdots, n\right\} .
$$

第二步是在集合 $R ^n$ 中赋以线性空间的结构．这就是在该集合中引入两种运
算，加与数乘，并满足相应的公理．具体来说即对于 $R ^n$ 的任何两个点（元或向量）， $x =\left(x_1, \cdots, x_n\right), y =\left(y_1, \cdots, y_n\right)$ ，定义它们的和为

$$
x + y =\left(x_1+y_1, \cdots, x_n+y_n\right)
$$

又对于任何 $x =\left(x_1, \cdots, x_n\right), \lambda \in R$ ，定义它们的积为

$$
\lambda c =\left(\lambda x_1, \cdots, \lambda x_n\right)
$$

关于这两种运算应当满足的公理，可以从代数教科书中找到．这里从略．

为了研究 $R ^n$ 中的极限，需要有距离的概念．这有各种引进方法．在 Euclid空间中采用从内积引入距离的方法。即对于 $R ^n$ 的任何两个点（元或向量）， $x =\left(x_1, \cdots, x_n\right), y =\left(y_1, \cdots, y_n\right)$ ，定义它们的内积为

$$
(x, y)=x_1 y_1+\cdots+x_n y_n
$$

由此就可以引入向量的范数和距离．

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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