最后更新: 2025-11-06 08:32 查看: 232 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

平面点集

## 概述
到目前为止，我们在数学分析课程中学习的都只是一元函数的分析性质．但在现实生活中，除了非常简单的情况之外，可以仅用一个自变量和一个因变量的变化关系来刻画的问题可以说是比较少的．比如，即便是像物理学中研究质点运动这么一个相对较为容易的问题，也需要用到三个空间变量 $x 、 y 、 z$ 和一个时间变量 $t$ 以及多个函数值（如位置、速度、加速度、动量等），更不用说在化学、生物及社会科学领域产生的远为复杂的情况．这种多自变量和多因变量的变化关系，反映到数学上就是多元函数（或多元函数组，即向量值函数）。

从本节开始我们将转向研究多元函数（组）。多元函数的分析性质无非也是极限理论、连续性、可微性、可积性等，它们与一元函数的相应性质既有紧密联系，又有很大差别。希望读者＂温故而知新＂，在学习中注意对照、分析它们本质上的异同，举一反三，收到事半功倍之效果．

**Euclid 空间上的距离与极限**
前面说过，极限理论是整个数学分析的基础。在导出多元函数的极限定义之前，我们先来回忆一下一元函数的情况。

极限定义

$$
" \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x\left(0<\left|x-x_0\right|<\delta\right):|f(x)-A|<\varepsilon "
$$

意味着，在自变量的变化过程中，只要 $x$ 与 $x_0$ 充分接近 $\left(x \neq x_0\right)$ ，函数值 $f(x)$ 就可以与 $A$ 任意接近。而这个＂接近＂，不管是用符号＂ $0<\left|x-x_0\right|<\delta$＂和＂$|f(x)-A|<\varepsilon$＂表示，还是用语言＂在 $x_0$ 的 $\delta$ 去心邻域 $O\left(x_0, \delta\right) \backslash\left\{x_0\right\}$ 中＂和＂落在点 $A$ 的 $\varepsilon$ 邻域中＂表示，实质上都是用绝对值，即一维空间中两点间的距离刻画的。显而易见，若没有距离的概念和定义，就无所谓＂接近＂或＂不接近＂，也就没有＂收敛＂和＂发散＂．收敛就是距离趋向于零．

对于多元函数（组），上述的 $x 、 x_0$（及 $f(x) 、 A$ ）都是由多个分量组成的，为了研究多元函数的性质，我们先要将＂距离＂的概念推广至高维空间，定义出类似于＂绝对值＂那样的度量标准，然后才能在此基础上去相应地定义极限，进而构筑整个多元分析理论．

多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量由一个增加到多个，产生了某些新的性质，读者对这些性质尤其要加以注意。对于多元函数，我们将着重讨论二元函数．在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它们推广到一般的多元函数中去．

一元函数的定义域是实数轴上的点集，二元函数的定义域将是坐标平面上的点集．因此，在讨论二元函数之前，有必要先了解有关平面点集的一些基本概念．

### 一、平面点集
由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个坐标系（今后如不特别指出，都假定是直角坐标系）之后，所有有序实数对$(x, y)$ 与平面上所有的点之间建立了一一对应．因此，今后将把＂数对＂与＂平面上的点＂这两种说法看作是完全等同的．这种确定了坐标系的平面，称为坐标平面．

坐标平面上满足某种条件 $P$ 的点的集合称为平面点集，并记作

$$
E=\{(x, y) \mid(x, y) \text { 满足条件 } P\} \text {. }
$$

例如，全平面上的点所组成的点集是

$$
\mathbf{R}^2=\{(x, y) \mid-\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty\} ...(1)
$$

平面上以原点为中心、 $r$ 为半径的圆内所有的点的集合是

$$
C=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2<r^2\right\}   ...(2)
$$

而

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