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欧几里得Euclid 范数和距离

## 欧几里得Euclid 范数和距离
记 $\mathbf{R}$ 为实数全体，定义 $n$ 个 $\mathbf{R}$ 的 Descartes 乘积集为

$$
\mathbf{R}^n=\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \cdots \times \mathbf{R}=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \mid x_i \in \mathbf{R}, i=1,2, \cdots, n\right\}
$$

$\mathbf{R}^n$ 中的元素 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 称为向量或点，$x_i$ 称为 $\boldsymbol{x}$ 的第 $i$ 个坐标。特别地， $\mathbf{R}^n$ 中的零元素记为 $\mathbf{0}=(0,0, \cdots, 0)$ 。

设 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right), \boldsymbol{y}=\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)$ 为 $\mathbf{R}^n$ 中任意两个向量， $\boldsymbol{\lambda}$ 为任意实数，定义 $\mathbf{R}^n$ 中的加法和数乘运算：

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\left(x_1+y_1, x_2+y_2, \cdots, x_n+y_n\right) \\
\lambda \boldsymbol{x}=\left(\lambda x_1, \lambda x_2, \cdots, \lambda x_n\right)
\end{gathered}
$$

$\mathbf{R}^n$ 就成为向量空间．
如果再在 $\mathbf{R}^n$ 上引人内积运算

$$
\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=x_1 y_1+x_2 y_2+\cdots+x_n y_n=\sum_{k=1}^n x_k y_k,
$$

那么它就被称为 Euclid 空间．

容易验证内积满足以下性质：设 $x, y, z \in \mathbf{R}^n, \lambda, \mu \in \mathbf{R}$ ，则
（1）（正定性）$\langle x, x\rangle \geqslant 0$ ，而 $\langle x, x\rangle=0$ 当且仅当 $x=0$ ；
（2）（对称性）$\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}\rangle$ ；
（3）（线性性）$\langle\lambda x+\mu y, z\rangle=\lambda\langle x, z\rangle+\mu\langle y, z\rangle$ ；
（4）（Schwarz 不等式）$\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle^2 \leqslant\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle\langle\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y}\rangle$ 。
我们仅说明一下（4）．由（1）－（3）可得出，对于任意 $\lambda \in \mathbf{R}$ 都成立

$$
\langle\lambda x+y, \lambda x+y\rangle=\lambda^2\langle x, x\rangle+2 \lambda\langle x, y\rangle+\langle y, y\rangle \geqslant 0,
$$

所以其判别式不大于零，即

$$
4\langle x, y\rangle^2-4\langle x, x\rangle\langle y, y\rangle \leqslant 0 .
$$

这就得到了 Schwarz 不等式。
平面解析几何中两点 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2\right), \boldsymbol{y}=\left(y_1, y_2\right)$ 间的距离公式

$$
\sqrt{\left(x_1-y_1\right)^2+\left(x_2-y_2\right)^2}
$$

给我们以启示：可以按照这样的方式，为具有更多个分量的＂点＂定义两点间的距离。仍用绝对值的符号表示推广到 $\mathbf{R}^n$ 上的＂距离＂，则有

定义 11．1．1 Euclid 空间 $\mathbf{R}^n$ 中任意两点 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 和 $\boldsymbol{y}=\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)$ 的距离定义为

$$
|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|=\sqrt{\left(x_1-y_1\right)^2+\left(x_2-y_2\right)^2+\cdots+\left(x_n-y_n\right)^2} ;
$$

并称
并称

$$
\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle}=\sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}
$$

为 $\boldsymbol{x}$ 的 Euclid 范数（简称范数）。
显然， $\boldsymbol{x}$ 的范数 $\|\boldsymbol{x}\|$ 就是 $\boldsymbol{x}$ 到 $\mathbf{0}$ 的距离（即 $\boldsymbol{x}$ 的模长）。
定理 11．1．1 距离满足以下性质：
（1）（正定性）$|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}| \geqslant 0$ ，而 $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|=0$ 当且仅当 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$ ；
（2）（对称性）$|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|=|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|$ ；
（3）（三角不等式）$|x-z| \leqslant|x-y|+|y-z|$ 。
证明留给读者．

> 本节内容可以参考《线性代数》里 [近世代数对数学的整体思考](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2602)

## 邻域
与 $R$ 中一样，对于给定的点 $a =\left(a_1, \cdots, a_n\right) \in R ^n$ 和 $\delta>0$ 引入以 $a$ 为心以 $\delta$为半径的邻域：

$$
\begin{aligned}
O_\delta( a ) & =\left\{ x \in R ^n| | x - a \mid<\delta\right\} \\
& =\left\{\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in R ^n \mid\left(x_1-a_1\right)^2+\cdots+\left(x_n-a_n\right)^2<\delta^2\right\} .
\end{aligned}
$$

与过去一样，若不强调邻域的半径，则简单地将以 $x$ 为中心的某个邻域记为 $O( x )$ ．同样定义去心邻域 $O_\delta( a )-\{ a \}$ ．

## 收敛
设 $\left\{ x _k\right\}$ 是空间 $R ^n$ 中的一个点列，其中 $x _k=\left(x_1^{(k)}, \cdots, x_n^{(k)}\right) \forall k \in N$ ，又记 $a =\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ ，则就可以给出点列极限的定义．

**定义**  称点列 $\left\{ x _k\right\}$ 以 $a$ 为极限，或收敛于 $a$ ，若 $\forall \varepsilon>0, \exists K, \forall k \geqslant K$ ： $\left| x _k- a \right|<\varepsilon$ ．记为 $\lim _{k \rightarrow \infty} x _k= a$ ，或简记为 $x _k \rightarrow a (k \rightarrow \infty)$ ．

这样就可以将第二章数列极限理论中的许多结果推广到 $R ^n$ 中来．举一个例子．这就是极限的惟一性定理．实际上惟一性是最基本的，只是平时往往不自觉使用它。例如，切线惟一，因为从定义来看它源于极限惟一。

**定理（极限的惟一性定理）** 若有 $\lim _{k \rightarrow \infty} x _k= a , \lim _{k \rightarrow \infty} x _k= b$ ，则 $a = b$ ．
证 1 用反证法．设 $a \neq b$ ，则 $| a - b |>0$ ．取 $\varepsilon=\frac{1}{3}| a - b |$ ，则 $O_{\varepsilon}( a ) \cap O_{\varepsilon}( b )=$ $\varnothing$ ．（这里还是根据三角形不等式．）

另一方面，根据点列 $\left\{ x _k\right\}$ 既收敛于 $a$ ，又收敛于 $b$ ，则有 $K, \forall k \geqslant K$ ，同时成立 $\left| x _k- a \right|<\varepsilon,\left| x _k- b \right|<\varepsilon$ 。于是点 $x _k$ 在 $k \geqslant K$ 时同时属于 $O_\delta( a )$ 和 $O_\delta( b )$ ．引出矛盾．

证 2 对 $\forall \varepsilon>0, \exists K, \forall k \geqslant K$ ，同时成立 $\left| x _k- a \right|<\frac{\varepsilon}{2},\left| x _k- b \right|<\frac{\varepsilon}{2}$ ．
利用三角形不等式，则就有

$$
| a - b | \leqslant\left| a - x _k\right|+\left| x _k- b \right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
$$

由于 $\varepsilon>0$ 可取到任意小，因此只能是 $a = b$ ．
注 这与第二章完全一样。但还是值得学，其中证一可作图．此外，用 $\varepsilon=$ $\frac{1}{2}| a - b |$ 也可以．还有就是两个证明中都要用到三角形不等式。

同样可以引入 $R ^n$ 中的有界性概念．称点集 $A$ 有界，若存在 $M>0$ ，使得 $\forall x \in A$ ，成立 $| x |<M$ 。

然后就可以证明收敛点列必定有界．这可以留作练习题．
下面的定理在投影的意义上建立了 $R ^n$ 中的点列收敛与第二章的数列收敛之间的联系，这对于将过去许多一维的结果推广到高维提供了一种有效的方法。

**定理（坐标收敛定理）** 设给定点列 $x _k=\left(x_1^{(k)}, \cdots, x_n^{(k)}\right) \forall k$ ，又给定点 $a =\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ ，则 $\lim _{k \rightarrow \infty} x _k= a$ 的充分必要条件是对于每一个 $i \in\{1,2, \cdots, n\}$ ，有 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_i^{(k)}=a_i$ ．
这就是说 $R ^n$ 中的点列收敛等价于点列的坐标形成的 $n$ 个数列同时收敛．证明留作练习题。（关键之处即是存在下列不等式

$$
\left.\forall i=1, \cdots, n, \quad\left|x_i^{(k)}-a_i\right| \leqslant\left| x _{ k }- a \right|<\sum_{i=1}^n\left|x_i^{(k)}-a_i\right| .\right)
$$

### 总结
 $O(\boldsymbol{a}, \delta)$ 在 $\mathbf{R}$ 上就是开区间，在 $\mathbf{R}^2$ 上是开圆盘，在 $\mathbf{R}^3$ 上则是开球。
定义 设 $\left\{x_k\right\}$ 是 $\mathbf{R}^n$ 中的一个点列．若存在定点 $a \in \mathbf{R}^n$ ，对于任意给定的 $\varepsilon>$ 0 ，存在正整数 $K$ ，使得当 $k>K$ 时，

$$
\left|\boldsymbol{x}_k-\boldsymbol{a}\right|<\varepsilon \quad\left(\text { 即 } x_k \in O(a, \varepsilon)\right) \text {, }
$$

则称点列 $\left\{x_k\right\}$ 收敛于 $a$ ，记为 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_k=a$ ．而称 $a$ 为点列 $\left\{x_k\right\}$ 的极限．

一个点列不收敛就称其**发散**．
记 $\boldsymbol{x}_k=\left(x_1^k, x_2^k, \cdots, x_n^k\right)(k=1,2, \cdots), a=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ ，利用不等式

$$
\left|x_j^k-a_j\right| \leqslant\left|\boldsymbol{x}_k-\boldsymbol{a}\right|=\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(x_i^k-a_i\right)^2} \leqslant \sum_{i=1}^n\left|x_i^k-a_i\right|, j=1,2, \cdots, n
$$

可以得到

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