最后更新: 2025-02-02 09:47 查看: 49 次反馈刷题

邻域与收敛

四．邻域
与 $R$ 中一样，对于给定的点 $a =\left(a_1, \cdots, a_n\right) \in R ^n$ 和 $\delta>0$ 引入以 $a$ 为心以 $\delta$为半径的邻域：

$$
\begin{aligned}
O_\delta( a ) & =\left\{ x \in R ^n| | x - a \mid<\delta\right\} \\
& =\left\{\left(x_1, \cdots, x_n\right) \in R ^n \mid\left(x_1-a_1\right)^2+\cdots+\left(x_n-a_n\right)^2<\delta^2\right\} .
\end{aligned}
$$

与过去一样，若不强调邻域的半径，则简单地将以 $x$ 为中心的某个邻域记为 $O( x )$ ．同样定义去心邻域 $O_\delta( a )-\{ a \}$ ．

五．收敛
设 $\left\{ x _k\right\}$ 是空间 $R ^n$ 中的一个点列，其中 $x _k=\left(x_1^{(k)}, \cdots, x_n^{(k)}\right) \forall k \in N$ ，又记 $a =\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ ，则就可以给出点列极限的定义．

定义 $0 . 1$ 称点列 $\left\{ x _k\right\}$ 以 $a$ 为极限，或收玫于 $a$ ，若 $\forall \varepsilon>0, \exists K, \forall k \geqslant K$ ： $\left| x _k- a \right|<\varepsilon$ ．记为 $\lim _{k \rightarrow \infty} x _k= a$ ，或简记为 $x _k \rightarrow a (k \rightarrow \infty)$ ．

这样就可以将第二章数列极限理论中的许多结果推广到 $R ^n$ 中来．举一个例子．这就是极限的惟一性定理．实际上惟一性是最基本的，只是平时往往不自觉使用它。例如，切线惟一，因为从定义来看它源于极限惟一。

定理 0.1 （极限的惟一性定理）若有 $\lim _{k \rightarrow \infty} x _k= a , \lim _{k \rightarrow \infty} x _k= b$ ，则 $a = b$ ．
证 1 用反证法．设 $a \neq b$ ，则 $| a - b |>0$ ．取 $\varepsilon=\frac{1}{3}| a - b |$ ，则 $O_{\varepsilon}( a ) \cap O_{\varepsilon}( b )=$ $\varnothing$ ．（这里还是根据三角形不等式．）

另一方面，根据点列 $\left\{ x _k\right\}$ 既收玫于 $a$ ，又收玫于 $b$ ，则有 $K, \forall k \geqslant K$ ，同时成立 $\left| x _k- a \right|<\varepsilon,\left| x _k- b \right|<\varepsilon$ 。于是点 $x _k$ 在 $k \geqslant K$ 时同时属于 $O_\delta( a )$ 和 $O_\delta( b )$ ．引出矛盾．

证 2 对 $\forall \varepsilon>0, \exists K, \forall k \geqslant K$ ，同时成立 $\left| x _k- a \right|<\frac{\varepsilon}{2},\left| x _k- b \right|<\frac{\varepsilon}{2}$ ．
利用三角形不等式，则就有

$$
| a - b | \leqslant\left| a - x _k\right|+\left| x _k- b \right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
$$

由于 $\varepsilon>0$ 可取到任意小，因此只能是 $a = b$ ．
注 这与第二章完全一样。但还是值得学，其中证一可作图．此外，用 $\varepsilon=$ $\frac{1}{2}| a - b |$ 也可以．还有就是两个证明中都要用到三角形不等式。

同样可以引入 $R ^n$ 中的有界性概念．称点集 $A$ 有界，若存在 $M>0$ ，使得 $\forall x \in A$ ，成立 $| x |<M$ 。

然后就可以证明收敛点列必定有界．这可以留作练习题．
下面的定理在投影的意义上建立了 $R ^n$ 中的点列收敛与第二章的数列收敛之间的联系，这对于将过去许多一维的结果推广到高维提供了一种有效的方法。

定理 0.2 （坐标收敛定理）设给定点列 $x _k=\left(x_1^{(k)}, \cdots, x_n^{(k)}\right) \forall k$ ，又给定点 $a =\left(a_1, \cdots, a_n\right)$ ，则 $\lim _{k \rightarrow \infty} x _k= a$ 的充分必要条件是对于每一个 $i \in\{1,2, \cdots, n\}$ ，有 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_i^{(k)}=a_i$ ．
这就是说 $R ^n$ 中的点列收玫等价于点列的坐标形成的 $n$ 个数列同时收敛．证明留作练习题。（关键之处即是存在下列不等式

$$
\left.\forall i=1, \cdots, n, \quad\left|x_i^{(k)}-a_i\right| \leqslant\left| x _{ k }- a \right|<\sum_{i=1}^n\left|x_i^{(k)}-a_i\right| .\right)
$$

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