最后更新: 2025-11-06 08:34 查看: 323 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

内点，外点，边界点，聚点和孤立点

## 内点，外点，边界点，聚点和孤立点
以下这些概念都是对于 $R ^n$ 中的一个给定的非空子集（也称点集）而言的，将它记为 $S \subset R ^n$ ．

**定义1** 称点 $x \in S$ 为 $S$ 的**内点**，若存在点 $x$ 的某个邻域 $O( x ) \subset S$ ．
将一个集合 $S$ 的所有内点全体称为该集合的内部，记为 $S^0$ ．例如在 $R$ 中， $[a, b)^0=(a, b), Q ^0=\varnothing$.

**定义2**  称点 $y \notin S$ 为 $S$ 的**外点**，若存在点 $y$ 的某个邻域 $O( y ) \cap S=\varnothing$ ．
例如，在 $R$ 中，$[a, b)$ 的所有外点全体就是 $(-\infty, a) \cup(b,+\infty)$ ．但 $b$ 不是外点．又如 $Q$ 没有外点。

下面举一个重要例子：

$$
O_\delta( a )^0=O_\delta( a ),
$$

这就是说邻域中每个点都是内点．
证 任取点 $x_0 \in O_\delta( a )$ ，要证明它是 $O_\delta( a )$ 的内点．
取 $\delta_1=\delta-\left| x _0- a \right|$ ，则 $\delta_1>0$ ．考虑 $x \in O_{\delta_1}\left( x _0\right)$ ，则该点到 $a$ 的距离为

这样就证明了当 $x _0 \in O_\delta( a )$ 时，存在 $\delta_1>0$ ，使得以 $x _0$ 为中心的 $\delta_1$ 邻域

$$
O_{\delta_1}\left( x _0\right) \subset O_\delta( a )
$$

这样就证明了 $x _0$ 是 $O_\delta( a )$ 的内点．由于每个 $x _0 \in O_\delta( a )$ 都如此，因此所要求证的结论成立。

**定义**  称点 $x$ 为集合 $S$ 的**边界点**，若对该点的每一个邻域，其中既有 $S$ 的点，又有不是 $S$ 的点．边界点全体记为 $\partial S$ ．
$S$ 的边界点可以属于 $S$ ，也可以不属于 $S$ ．
也就是 $\forall O( x )$ ，既有 $O( x ) \cap S \neq \varnothing$ ，又有 $O( x ) \cap S^c \neq \varnothing$ ．这里 $S^c$ 是 $S$ 在 $R ^n$中的补集．例如，在 $R$ 中，$[a, b)$ 的边界点为 $a, b$ ．在 $R$ 中， $Q$ 的边界点全体只能是 $R$ ．后者当然不太直观了．

注意在以上概念中，必须明白指出在什么集合中考虑其子集的内点，外点和边界点。例如，在 $R ^2$ 中考虑 $x$ 轴上的 $S=[a, b)$ ，则 $S$ 没有内点，而 $R ^2-S$ 之外，除了点 $(b, 0)$ 之外都是外点．边界点全体为 $[a, b]$ ，比 $S$ 还大．

内点、外点与边界点的几何示意图
 ![图片](/uploads/2025-11/fc38b7.jpg){WIDTH=350PX}

**定义**  设 $x \in R ^n, S \subset R ^n$ ，若 $x$ 的任何去心邻域中总含有 $S$ 中的点，则称 $x$ 为 $S$ 的**聚点**，也称为 $S$ 的**极限点**。（这等价于说在 $x$ 的每个邻域中含有 $S$ 中异于 $x$ 的点．）

这里需要

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