最后更新: 2025-02-02 09:48 查看: 127 次反馈刷题

内点，外点，边界点，聚点和孤立点

七．内点，外点，边界点，聚点和孤立点
（这里修改书中的内容，取消极限点与聚点的区分，主要是一般书中都将点列看成为无重复的无限个点。当然对于数列则允许重复。例如上面的定理 2 就是如此．但对于点列若也允许重复，则就没有意思了。）

所有这些概念都是对于 $R ^n$ 中的一个给定的非空子集（也称点集）而言的。将它记为 $S \subset R ^n$ ．

1．内点．（教科书上册没有，但我们讲课中已经引进了．）
定义 0.2 称点 $x \in S$ 为 $S$ 的内点，若存在点 $x$ 的某个邻域 $O( x ) \subset S$ ．
将一个集合 $S$ 的所有内点全体称为该集合的内部，记为 $S^0$ ．例如在 $R$ 中， $[a, b)^0=(a, b), Q ^0=\varnothing$.

定义 0.3 称点 $y \notin S$ 为 $S$ 的外点，若存在点 $y$ 的某个邻域 $O( y ) \cap S=\varnothing$ ．
例如，在 $R$ 中，$[a, b)$ 的所有外点全体就是 $(-\infty, a) \cup(b,+\infty)$ ．但 $b$ 不是外点．又如 $Q$ 没有外点。

下面举一个重要例子：

$$
O_\delta( a )^0=O_\delta( a ),
$$

这就是说邻域中每个点都是内点．
证 任取点 $x_0 \in O_\delta( a )$ ，要证明它是 $O_\delta( a )$ 的内点．
取 $\delta_1=\delta-\left| x _0- a \right|$ ，则 $\delta_1>0$ ．考虑 $x \in O_{\delta_1}\left( x _0\right)$ ，则该点到 $a$ 的距离为

这样就证明了当 $x _0 \in O_\delta( a )$ 时，存在 $\delta_1>0$ ，使得以 $x _0$ 为中心的 $\delta_1$ 邻域

$$
O_{\delta_1}\left( x _0\right) \subset O_\delta( a )
$$

这样就证明了 $x _0$ 是 $O_\delta( a )$ 的内点．由于每个 $x _0 \in O_\delta( a )$ 都如此，因此所要求证的结论成立。

定义 0.4 称点 $x$ 为集合 $S$ 的边界点，若对该点的每一个邻域，其中既有 $S$ 的点，又有不是 $S$ 的点．边界点全体记为 $\partial S$ ．
$S$ 的边界点可以属于 $S$ ，也可以不属于 $S$ ．
也就是 $\forall O( x )$ ，既有 $O( x ) \cap S \neq \varnothing$ ，又有 $O( x ) \cap S^c \neq \varnothing$ ．这里 $S^c$ 是 $S$ 在 $R ^n$中的补集．例如，在 $R$ 中，$[a, b)$ 的边界点为 $a, b$ ．在 $R$ 中， $Q$ 的边界点全体只能是 $R$ ．后者当然不太直观了．

注意在以上概念中，必须明白指出在什么集合中考虑其子集的内点，外点和边界点。例如，在 $R ^2$ 中考虑 $x$ 轴上的 $S=[a, b)$ ，则 $S$ 没有内点，而 $R ^2-S$ 之外，除了点 $(b, 0)$ 之外都是外点．边界点全体为 $[a, b]$ ，比 $S$ 还大．

定义 0.5 设 $x \in R ^n, S \subset R ^n$ ，若 $x$ 的任何去心邻域中总含有 $S$ 中的点，则称 $x$ 为 $S$ 的聚点，也称为 $S$ 的极限点。
（这等价于说在 $x$ 的每个邻域中含有 $S$ 中异于 $x$ 的点．）

注 教科书上引入极限点的做法不妥，使得任何集合的任何点，包括孤立点，都是极限点了。实际上一般书中的极限点就是聚点。此外，这样还使得后面的定理 2 出问题，其中的第二句＂有界点列必存在极限点＂．这里若允许点列重复，则不需要证了．若不允许重复，则孤立点如何可称为极限点？在陈纪修书中同样存在问题．那里定义没错，问题是自然认为点列必是互不相同的可列个点．这没错，应当如此理解。但这样一来，姚的错误就更为明显了。

数列中允许重复，因为数列是 $N$ 到 $R$ 的映射。但对于点列，则是无限点集中的一类，即只含可列个点的点集。

这里需要作一点讨论。
引理 设有点 $x$ 与点集 $S$ ，则下列三个条件等价：
（1） $x$ 是 $S$ 的聚点：
（2）在点 $x$ 的每个邻域中有 $S$ 的无限多个点；（可见有限点集不会有聚点．）
（3）存在属于 $S$ 的点列收玫于 $x$ ．
证 $(1) \Longrightarrow(2)$ ．根据条件，在 $x$ 的一个去心邻域中有 $S$ 的点．若其中只有 $S$中的有限多个点，则可以取 $x$ 的半径充分小的去心邻域，将以上有限多个点都排除在外，从而与聚点定义矛盾。
$(2) \Longrightarrow(3)$ ．先在点 $x$ 的邻域 $O_1( x )$ 中任取 $S$ 中的某个点为 $x _1$ ．记 $\delta_1=$ $\min \left\{\left| x - x _1\right|, \frac{1}{2}\right\}>0$ ，则在 $O_{\delta_1}( x )-\{ x \}$ 中也有 $S$ 中的点，取其中之一为 $x_2$ ，则 $x_2 \neq x_1$ ．然后记 $\delta_1=\min \left\{\left| x - x _2\right|, \frac{1}{3}\right\}>0$ ，在 $O_{\delta_2}( x )-\{ x \}$ 中也有 $S$ 中的点，取其中之一为 $x_3$ ，如此继续，就得到点列 $\left\{ x _k\right\}$ ，使得 $\left| x - x _k\right|<\frac{1}{k}$ ．可见它收玫于 $x$ ．
$(3) \Longrightarrow(1)$ ．任取 $x$ 的一个去心邻域，设其半径为 $\varepsilon>0$ ．则由于存在收玫于 $x$又属于 $S$ 的点列，记为 $\left\{ x _k\right\}$ ，因此存在 $K, \forall k \geqslant K$ ，使得 $\left| x - x _k\right|<\varepsilon$ ．由于其中有无限多个点，因此存在与 $x$ 不同的点，即在它的去心邻域中．

还应当指出，$S$ 中的点若不是聚点，则称为孤立点．例如，在 $R$ 中的可列点集 $\left\{\left.\frac{1}{n} \right\rvert\, n \in N \right\}$ ，则其中的每一个点都是孤立点．但 0 是 $S$ 的聚点．
$S$ 的内点必是聚点，外点一定不是聚点．边界点则不一定。例如上面的离散点集，它自身的每个点都是边界点，点 0 不属于它，也是边界点．但只有这一个边界点得聚点

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