最后更新: 2025-11-06 08:34 查看: 504 次纠错评论(0) 课件开VIP

内点，外点，边界点，聚点和孤立点

## 内点，外点，边界点，聚点和孤立点
以下这些概念都是对于 $R ^n$ 中的一个给定的非空子集（也称点集）而言的，将它记为 $S \subset R ^n$ ．

**定义1** 称点 $x \in S$ 为 $S$ 的**内点**，若存在点 $x$ 的某个邻域 $O( x ) \subset S$ ．
将一个集合 $S$ 的所有内点全体称为该集合的内部，记为 $S^0$ ．例如在 $R$ 中， $[a, b)^0=(a, b), Q ^0=\varnothing$.

**定义2**  称点 $y \notin S$ 为 $S$ 的**外点**，若存在点 $y$ 的某个邻域 $O( y ) \cap S=\varnothing$ ．
例如，在 $R$ 中，$[a, b)$ 的所有外点全体就是 $(-\infty, a) \cup(b,+\infty)$ ．但 $b$ 不是外点．又如 $Q$ 没有外点。

下面举一个重要例子：

$$
O_\delta( a )^0=O_\delta( a ),
$$

这就是说邻域中每个点都是内点．
证 任取点 $x_0 \in O_\delta( a )$ ，要证明它是 $O_\delta( a )$ 的内点．
取 $\delta_1=\delta-\left| x _0- a \right|$ ，则 $\delta_1>0$ ．考虑 $x \in O_{\delta_1}\left( x _0\right)$ ，则该点到 $a$ 的距离为

这样就证明了当 $x _0 \in O_\delta( a )$ 时，存在 $\delta_1>0$ ，使得以 $x _0$ 为中心的 $\delta_1$ 邻域

$$
O_{\delta_1}\left( x _0\right) \subset O_\delta( a )
$$

这样就证明了 $x _0$ 是 $O_\delta( a )$ 的内点．由于每个 $x _0 \in O_\delta( a )$ 都如此，因此所要求证的结论成立。

**定义**  称点 $x$ 为集合 $S$ 的**边界点**，若对该点的每一个邻域，其中既有 $S$ 的点，又有不是 $S$ 的点．边界点全体记为 $\partial S$ ．
$S$ 的边界点可以属于 $S$ ，也可以不属于 $S$ ．
也就是 $\forall O( x )$ ，既有 $O( x ) \cap S \neq \varnothing$ ，又有 $O( x ) \cap S^c \neq \varnothing$ ．这里 $S^c$ 是 $S$ 在 $R ^n$中的补集．例如，在 $R$ 中，$[a, b)$ 的边界点为 $a, b$ ．在 $R$ 中， $Q$ 的边界点全体只能是 $R$ ．后者当然不太直观了．

注意在以上概念中，必须明白指出在什么集合中考虑其子集的内点，外点和边界点。例如，在 $R ^2$ 中考虑 $x$ 轴上的 $S=[a, b)$ ，则 $S$ 没有内点，而 $R ^2-S$ 之外，除了点 $(b, 0)$ 之外都是外点．边界点全体为 $[a, b]$ ，比 $S$ 还大．

内点、外点与边界点的几何示意图
 ![图片](/uploads/2025-11/fc38b7.jpg){WIDTH=350PX}

**定义**  设 $x \in R ^n, S \subset R ^n$ ，若 $x$ 的任何去心邻域中总含有 $S$ 中的点，则称 $x$ 为 $S$ 的**聚点**，也称为 $S$ 的**极限点**。（这等价于说在 $x$ 的每个邻域中含有 $S$ 中异于 $x$ 的点．）

这里需要作一点讨论。
引理 设有点 $x$ 与点集 $S$ ，则下列三个条件等价：
（1） $x$ 是 $S$ 的聚点：
（2）在点 $x$ 的每个邻域中有 $S$ 的无限多个点；（可见有限点集不会有聚点．）
（3）存在属于 $S$ 的点列收敛于 $x$ ．
证 $(1) \Longrightarrow(2)$ ．根据条件，在 $x$ 的一个去心邻域中有 $S$ 的点．若其中只有 $S$中的有限多个点，则可以取 $x$ 的半径充分小的去心邻域，将以上有限多个点都排除在外，从而与聚点定义矛盾。
$(2) \Longrightarrow(3)$ ．先在点 $x$ 的邻域 $O_1( x )$ 中任取 $S$ 中的某个点为 $x _1$ ．记 $\delta_1=$ $\min \left\{\left| x - x _1\right|, \frac{1}{2}\right\}>0$ ，则在 $O_{\delta_1}( x )-\{ x \}$ 中也有 $S$ 中的点，取其中之一为 $x_2$ ，则 $x_2 \neq x_1$ ．然后记 $\delta_1=\min \left\{\left| x - x _2\right|, \frac{1}{3}\right\}>0$ ，在 $O_{\delta_2}( x )-\{ x \}$ 中也有 $S$ 中的点，取其中之一为 $x_3$ ，如此继续，就得到点列 $\left\{ x _k\right\}$ ，使得 $\left| x - x _k\right|<\frac{1}{k}$ ．可见它收敛于 $x$ ．
$(3) \Longrightarrow(1)$ ．任取 $x$ 的一个去心邻域，设其半径为 $\varepsilon>0$ ．则由于存在收敛于 $x$又属于 $S$ 的点列，记为 $\left\{ x _k\right\}$ ，因此存在 $K, \forall k \geqslant K$ ，使得 $\left| x - x _k\right|<\varepsilon$ ．由于其中有无限多个点，因此存在与 $x$ 不同的点，即在它的去心邻域中．

还应当指出，$S$ 中的点若不是聚点，则称为孤立点．例如，在 $R$ 中的可列点集 $\left\{\left.\frac{1}{n} \right\rvert\, n \in N \right\}$ ，则其中的每一个点都是孤立点．但 0 是 $S$ 的聚点．
$S$ 的内点必是聚点，外点一定不是聚点．边界点则不一定。例如上面的离散点集，它自身的每个点都是边界点，点 0 不属于它，也是边界点．但只有这一个边界点得聚点

>  若存在 $\boldsymbol{x}$ 的一个邻域，其中只有 $\boldsymbol{x}$ 点属于 $S$ ，则称 $\boldsymbol{x}$ 是 $S$ 的孤立点．显然，孤立点必是边界点。
若 $x$ 的任意邻域都含有 $S$ 中的无限个点，则称 $x$ 是 $S$ 的聚点．$S$ 的聚点的全体记为 $S^{\prime}$ ．显然，$S$ 的内点必是 $S$ 的聚点；$S$ 的边界点，只要不是 $S$ 的孤立点，也必是 $S$ 的聚点．因此 $S$ 的聚点可能属于 $S$ ，也可能不属于 $S$ 。例如在 $\mathbf{R}$ 中， 0 是点集 $\left\{\left.\frac{1}{n} \right\rvert\, n=1,2, \cdots\right\}$ 的聚点，但它不属于这个点集．

## 开集

**定义**  设 $S \subset R ^n$ ，且 $S$ 中的每个点都是内点，则称 $S$ 为 $R ^n$ 中的一个开集．
形象化来看，开集就是不含边界点的点集。例如， $R$ 的 9 种区间中，$(-\infty,+\infty)$ ， $(-\infty, b),(a,+\infty),(a, b)$ 是开集，其他不是开集。当然，它们在 $R ^2$ 都不是开集，因为根本没有内点。
（1）可见有限点集不会有聚点。

注意：邻域和去心邻域都是开集．今后又常将邻域称为开球，它就是 $R ^n$ 中的不带边界的 $n$ 维球。

开集的主要特征由下列定理所刻画。
**定理**   在 $R ^n$ 中的开集具有以下三个性质：
（1）全空间 $R ^n$ 和 $\varnothing$ 都是开集。
（2）任意个开集的并仍为开集；
（3）有限个开集的交仍为开集；

## 闭集

定义 设 $S \subset R ^n$ ，若 $R ^n-S$ 为 $R ^n$ 中的开集，则称 $S$ 为 $R ^n$ 中的闭集．
例如，$[a, b]$ 是 $R$ 中的闭集，因为它的补集 $(-\infty, a) \cup(b,+\infty)$ 是 $R$ 中的开集．然而，$[a, b]$ 也是 $R ^n(n>1)$ 中的闭集．因为它的补集的每个点都是内点．

注 利用集合论中的对偶律（也称为 de Morgan 定律），即对于 $R ^n$ 中的任意多个集合 $A_\lambda, \lambda \in \Lambda$ ，总成立以下两个等式

$$
\left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda\right)^c=\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^c, \quad\left(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda\right)^c=\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^c,
$$

就可以从定理 3 得到关于闭集的三个性质：
（1）任意个闭集的交为闭集；
（2）有限个闭集的并为闭集；
（3）全空集和空集为闭集。
与开集类似，在上面的性质（2）中不能将＂有限＂改为＂任意＂。例如，令 $A_n=$ $\left[-1+\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}\right] \forall n$ ，则它们的并为 $(-1,1)$ ，不是闭集．

然而还有刻画闭集的更有效的方法．

> **定义** 设 $S$ 是 $\mathbf{R}^n$ 上的点集．若 $S$ 中的每一个点都是它的内点，则称 $S$ 为**开集**；若 $S$ 中包含了它的所有的聚点，则称 $S$ 为**闭集**．$S$ 与它的聚点全体 $S^{\prime}$ 的并集称为 $S$ 的**闭包**，记为 $\bar{S}$ ．

注 1 容易证明闭包必是闭集．设点 $x \notin \bar{S}$ ，则 $x$ 既不属于 $S$ ，又不是 $S$ 的聚点，因此有一个邻域 $O( x )$ 与 $S$ 不交。对这个邻域中的每一个点 $y$ ，存在一个邻域 $O( y ) \subset O( x )$ ，因此 $y$ 既不属于 $S$ ，也不是 $S$ 的聚点。这表明 $\bar{S}^c$ 为开集。

注2 闭包的另一个表达式为：

$$
\bar{S}=S \cup \partial S
$$

这可以不引入聚点概念来理解闭包，还是很不错的．特别是下面的闭区域就需要这个概念．这里要会证明，边界点集 $\partial S$ 中的点若不属于 $S$ ，则一定是 $S$ 的聚点．

`例`在 $\mathbf{R}^2$ 上，设

$$
S=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+y^2<4\right\},
$$

那么

$$
\begin{aligned}
& S^o=\left\{(x, y) \mid 1<x^2+y^2<4\right\} ; \\
& \partial S=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=1\right\} \cup\left\{(x, y) \mid x^2+y^2=4\right\} ; \\
& S^{\prime}=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 4\right\}=\bar{S} .
\end{aligned}
$$

## 区域

定义 设 $D$ 是 $R ^n$ 的子集，若对于 $D$ 中的任何两点 $x , y$ ，都可以用完全处在 $D$ 内的一条折线相联接，则称 $D$ 为连通集．

下面是今后多元微积分中用得最多的点集拓扑概念——区域．
定义  称 $R ^n$ 中的非空连通开集为开区域（region，domain），简称为区域．又称开区域的闭包为闭区域。

注 注意，闭区域与非空连通闭集不同，后者未必有内点，而闭区域也不一定连通。

如右图所示，在半径为 2 的圆内有两条旋转的螺线，它们逼近 $r=2$ 的圆周．用这两条螺线为边界围成一个连通开集，记为区域 $D$ 。但 $D$ 的边界点 $\partial D$ 除了上述螺线之外还包含圆周 $r=2$ ．可以看出，圆周上的点 $(r=2)$ 和圆内的点 $(r<2)$ 用处于 $\bar{D}$ 的任何连续曲线都不可能相连结。（这个圆周上的任意两点之间也不能用 $\bar{D}$ 中的折线相连结．）
 ![图片](/uploads/2025-02/8ced57.jpg)

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