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R×R 上的完备性定理

##  $\mathbf{R}^2$ 上的完备性定理
反映实数系完备性的几个等价定理，构成了一元函
图 16－2数极限理论的基础。现在把这些定理推广到 $\mathbf{R}^2$ ，它们同样是二元函数极限理论的基础．为此，先给出平面点列的收敛性概念．

![图片](/uploads/2025-11/14f0bd.jpg)

定义 1 设 $\left\{P_n\right\} \subset \mathbf{R}^2$ 为平面点列，$P_0 \in \mathbf{R}^2$ 为一固定点．若对任给的正数 $\varepsilon$ ，存在正整数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，有 $P_n \in U\left(P_0 ; \varepsilon\right)$ ，则称点列 $\left\{P_n\right\}$ 收敛于点 $P_0$ ，记作

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P_n=P_0 \quad \text { 或 } \quad P_n \rightarrow P_0, n \rightarrow \infty \text {. }
$$

在坐标平面中，以 $\left(x_n, y_n\right)$ 与 $\left(x_0, y_0\right)$ 分别表示 $P_n$ 与 $P_0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n=P_0$ 显然等价于 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0, \lim _{n \rightarrow \infty} y_n=y_0$ 。同样地，当以 $\rho_n=\rho\left(P_n, P_0\right)$ 表示点 $P_n$ 与 $P_0$ 之间距离时， $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n= P_0$ 也就等价于 $\lim _{n \rightarrow \infty} \rho_n=0$ 。由于点列极限这两种等价形式都是数列极限，因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理．

**定理 16． 1 （柯西准则）** 平面点列 $\left\{P_n\right\}$ 收敛的充要条件是：任给正数 $\varepsilon$ ，存在正整数 $N$ ，使得当 $n>N$ 时，对一切正整数 $p$ ，都有

$$
\rho\left(P_n, P_{n+p}\right)<\varepsilon ...(6)
$$

证［必要性］设 $\lim _{n \rightarrow \infty} P_n=P_0$ ，则由三角形不等式

$$
\rho\left(P_n, P_{n+p}\right) \leqslant \rho\left(P_n, P_0\right)+\rho\left(P_{n+p}, P_0\right)
$$

及点列收敛定义，对所给 $\varepsilon$ ，存在正整数 $N$ ，当 $n>N$（也有 $n+p>N$ ）时，恒有

$$
\rho\left(P_n, P_0\right)<\frac{\varepsilon}{2}, \quad \rho\left(P_{n+p}, P_0\right)<\frac{\varepsilon}{2} .
$$

应用三角形不等式，立刻得到（6）式。
［充分性］当（6）式成立时，则同时有

$$
\begin{aligned}
& \left|x_{n+p}-x_n\right| \leqslant \rho\left(P_n, P_{n+p}\right)<\varepsilon, \\
& \left|y_{n+p}-y_n\right| \leqslant \rho\left(P_n, P_{n+p}\right)<\varepsilon .
\end{aligned}
$$

这说明数列 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 都满足柯西收敛准则（定理 2．11），所以它们都收敛．设 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n= x_0, \lim _{n \rightarrow \infty} y_n=y_0$ ．从而由点列收敛概念推得 $\left\{P_n\right\}$ 收敛于点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ ．

**定理 16．2（闭域套定理）**   设 $\left\{D_n\right\}$ 是 $\mathbf{R}^2$ 中的闭域列，它满足：
（i）$D_n \supset D_{n+1}, n=1,2, \cdots$ ；
（ii）$d_n=d\left(D_n\right), \lim _{n \rightarrow \infty} d_n=0$ ，
则存在惟一的点 $P_0 \in D_n, n=1,2, \cdots$ ．
证 任取点列 $P_n \in D_n, n=1,2, \cdots$ ．由于 $D_{n+p} \subset D_n$ ，因此 $P_n, P_{n+p} \in D_n$ ，从而有 （图16－3）

![图片](/uploads/2025-11/dfe1b7.jpg)
 
$$
\rho\left(P_n, P_{n+p}\right) \leqslant d_n \rightarrow 0, n \rightarrow \infty
$$

由定理 16．1 知道存在 $P_0 \in \mathbf{R}^2$ ，使得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P_n=P_0 .
$$

任意取定 $n$ ，对任何正整数 $p$ ，有

$$
P_{n+p} \in D_{n+p} \subset D_n .
$$

再令 $p \rightarrow \infty$ ，由于 $D_n$ 是闭域，从而必定是闭集 ．因此 $P_0$ 作为 $D_n$ 的聚点必定属于 $D_n$ ，即

$$
P_0=\lim _{p \rightarrow \infty} P_{n+p} \in D_n, n=1,2, \cdots .
$$

最后证明 $P_0$ 的惟一性．若还有 $P_0^{\prime} \in D_n, n=1$ ， $2, \cdots$ ，则由

$$
\rho\left(P_0, P_0^{\prime}\right) \leqslant \rho\left(P_0, P_n\right)+\rho\left(P_0^{\prime}, P_n\right) \leqslant 2 d_n \rightarrow 0, n \rightarrow \infty
$$

得到 $\rho\left(P_0, P_0^{\prime}\right)=0$ ，即 $P_0=P_0^{\prime}$ ．
闭域套定理显然是 $\mathbf{R}$ 中闭区间套定理（定理7．1）的直接推广。
推论 对上述闭域套 $\left\{D_n\right\}$ ，任给 $\varepsilon>0$ ，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n>N$ 时，有 $D_n \subset U\left(P_0 ; \varepsilon\right)$ 。
另外，把 $\left\{D_n\right\}$ 改为闭集套时，定理 16.2 仍然成立。

**定理 16．3（聚点定理）** 设 $E \subset \mathbf{R}^2$ 为有界无限点集，则 $E$ 在 $\mathbf{R}^2$ 中至少有一个聚点．

证 现用闭域套定理来证明．由于 $E$ 是平面有界集合，因此存在一个闭正方形 $D_1$ 包含它．连接正方形对边中点，把 $D_1$ 分成四个小的闭正方形，则在这四个小闭正方形中，至少有一个小闭正方形含有 $E$ 中无限多个点．记这个小闭正方形为 $D_2$ ．再对正方形 $D_2$ 如上法分成四个更小的闭正方形，其中又至少有一个小闭正方形含有 $E$ 的无限多个点．如此下去得到一个闭正方形序列（图 16－4）：

$$
D_1 \supset D_2 \supset D_3 \supset \cdots
$$

![图片](/uploads/2025-11/de0012.jpg)

容易看到这个闭正方形序列 $\left\{D_n\right\}$ 的边长随着 $n$ 趋向于无限而趋向于零．于是由闭域套定理，存在一点 $M_0 \in D_n, n=1,2, \cdots$ ．

现在证明 $M_0$ 就是 $E$ 的聚点．任取 $M_0$ 的 $\varepsilon$ 邻域 $U\left(M_0 ; \varepsilon\right)$ ，当 $n$ 充分大之后，正方形的边长可小于 $\varepsilon / 2$ ，即有 $D_n \subset U\left(M_0 ; \varepsilon\right)$ ．又由 $D_n$ 的取法知道 $U\left(M_0 ; \varepsilon\right)$ 中含有 $E$ 的无限多个点，这就表明 $M_0$ 是 $E$ 的聚点．

与一元情形类似，定理16．3与定理16．3＇等价．
定理 16．3＇有界无限点列 $\left\{P_n\right\} \subset \mathbf{R}^2$ 必存在收敛子列 $\left\{P_{n_k}\right\}$ 。
证明留给读者．
定理16．4（有限覆盖定理）设 $D \subset \mathbf{R}^2$ 为一有界闭域，$\left\{\Delta_\alpha\right\}$ 为一开域族，它覆盖了 $D$（即 $D \subset \bigcup_\alpha \Delta_\alpha$ ），则在 $\left\{\Delta_\alpha\right\}$ 中必存在有限个开域 $\Delta_1, \Delta_2, \cdots, \Delta_n$ ，它们同样覆盖了 $D\left(\right.$ 即 $\left.D \subset \bigcup_{i=1}^n \Delta_i\right)$ ．

本定理的证明与 $\mathbf{R}$ 中的有限覆盖定理（定理7．3）相仿，在此从略．
在更一般的情况下，可将定理16．4中的 $D$ 改设为有界闭集，而 $\Delta_\alpha \subset \mathbf{R}^2$ 为一族开集，此时定理结论依然成立．

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