最后更新: 2025-02-02 09:49 查看: 97 次反馈刷题

开集与闭集

八．开集

定义 0.1 设 $S \subset R ^n$ ，且 $S$ 中的每个点都是内点，则称 $S$ 为 $R ^n$ 中的一个开集．
形象化来看，开集就是不含边界点的点集。例如， $R$ 的 9 种区间中，$(-\infty,+\infty)$ ， $(-\infty, b),(a,+\infty),(a, b)$ 是开集，其他不是开集。当然，它们在 $R ^2$ 都不是开集，因为根本没有内点。
（1）可见有限点集不会有聚点。

注意：邻域和去心邻域都是开集．今后又常将邻域称为开球，它就是 $R ^n$ 中的不带边界的 $n$ 维球。

开集的主要特征由下列定理所刻画。
定理 0.1 在 $R ^n$ 中的开集具有以下三个性质：
（1）全空间 $R ^n$ 和 $\varnothing$ 都是开集。
（2）任意个开集的并仍为开集；
（3）有限个开集的交仍为开集；
九．闭集

定义 0.2 设 $S \subset R ^n$ ，若 $R ^n-S$ 为 $R ^n$ 中的开集，则称 $S$ 为 $R ^n$ 中的闭集．
例如，$[a, b]$ 是 $R$ 中的闭集，因为它的补集 $(-\infty, a) \cup(b,+\infty)$ 是 $R$ 中的开集．然而，$[a, b]$ 也是 $R ^n(n>1)$ 中的闭集．因为它的补集的每个点都是内点．

注 利用集合论中的对偶律（也称为 de Morgan 定律），即对于 $R ^n$ 中的任意多个集合 $A_\lambda, \lambda \in \Lambda$ ，总成立以下两个等式 ${ }^{(1)}$

$$
\left(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda\right)^c=\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^c, \quad\left(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda\right)^c=\bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^c,
$$

就可以从定理 3 得到关于闭集的三个性质：
（1）任意个闭集的交为闭集；
（2）有限个闭集的并为闭集；
（3）全空集和空集为闭集。
与开集类似，在上面的性质（2）中不能将＂有限＂改为＂任意＂。例如，令 $A_n=$ $\left[-1+\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}\right] \forall n$ ，则它们的并为 $(-1,1)$ ，不是闭集．

然而还有刻画闭集的更有效的方法．

定理 0.2 集 $S$ 为闭集的充分必要条件是 $S$ 的所有聚点属于 $S$ ．

定义 0.3 设 $S$ 为 $R ^n$ 的子集，称集合

$$
\bar{S}=S \cup\{S \text { 的所有聚点 }\}
$$

为 $S$ 的闭包．

注 1 容易证明闭包必是闭集．设点 $x \notin \bar{S}$ ，则 $x$ 既不属于 $S$ ，又不是 $S$ 的聚点，因此有一个邻域 $O( x )$ 与 $S$ 不交。对这个邻域中的每一个点 $y$ ，存在一个邻域 $O( y ) \subset O( x )$ ，因此 $y$ 既不属于 $S$ ，也不是 $S$ 的聚点。这表明 $\bar{S}^c$ 为开集。

注2 闭包的另一个表达式为：

$$
\bar{S}=S \cup \partial S
$$

这可以不引入聚点概念来理解闭包，还是很不错的．特别是下面的闭区域就需要这个概念．这里要会证明，边界点集 $\partial S$ 中的点若不属于 $S$ ，则一定是 $S$ 的聚点．

十．区域

定义 0.4 设 $D$ 是 $R ^n$ 的子集，若对于 $D$ 中的任何两点 $x , y$ ，都可以用完全处在 $D$ 内的一条折线相联接，则称 $D$ 为连通集．

下面是今后多元微积分中用得最多的点集拓扑概念——区域．
定义 0.5 称 $R ^n$ 中的非空连通开集为开区域（region，domain），简称为区域．又称开区域的闭包为闭区域。

注 注意，闭区域与非空连通闭集不同，后者未必有内点，而闭区域也不一定连通。

如右图所示，在半径为 2 的圆内有两条旋转的螺线，它们逼近 $r=2$ 的圆周．用这两条螺线为边界围成一个连通开集，记为区域 $D$ 。但 $D$ 的边界点 $\partial D$ 除了上述螺线之外还包含圆周 $r=2$ ．可以看出，圆周上的点 $(r=2)$ 和圆内的点 $(r<2)$ 用处于 $\bar{D}$ 的任何连续曲线都不可能相连结。（这个圆周上的任意两点之间也不能用 $\bar{D}$ 中的折线相连结．）
 ![图片](/uploads/2025-02/8ced57.jpg)

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