最后更新: 2025-02-02 09:50 查看: 39 次反馈刷题

点集拓扑基本定理

这就是要将实数系基本定理推广到 $R ^n(n>1)$ ，为引入极限作准备．
在 6 个实数系基本定理中，确界存在定理和单调有界数列收敛定理都依赖于 $R$中的序关系，即实数集中有大小关系。但当 $n>1$ 时， $R ^n$ 中没有序关系，因此不能推广．然而，其他 4 个基本定理都可以推广到任何有限维的 Euclid 空间中去。

定理 0.1 （闭长方形套定理）设 $\Delta_n \forall n$ 是 $R ^2$ 中的闭长方形序列，且满足
（1）$\Delta_1 \supset \Delta_2 \supset \cdots \supset \Delta_n \supset \cdots$ ，
（2）$\Delta_n$ 的直径 $\rho_n \rightarrow 0$ ，其中 $\rho_n=\max _{x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in \Delta_n}\left| x ^{\prime}- x ^{\prime \prime}\right|$ ，即 $\Delta_n$ 的对角线长度，则存在惟一的点 $(\xi, \eta) \in \Delta_n \forall n$ ．

证明概要 只对于 $n=2$ 作证明。设 $\Delta_n=\left[a_n, b_n\right] \times\left[c_n, d_n\right] \forall n$ ．然后只要将每个矩形投影到 $x$ 轴和 $y$ 轴上，分别形成两个闭区间套，利用 $\rho_n=$ $\sqrt{\left(b_n-a_n\right)^2+\left(d_n-c_n\right)^2} \forall n$ ，则从 $\rho_n \rightarrow 0$ 可知两个闭区间套的长度都趋于 0 。然后分别用 $R$ 的闭区间套定理，分别得到 $\xi$ 和 $\eta$ ．然后证明点 $(\xi, \eta)$ 合乎要求即可．且这时有 $a_n \rightarrow \xi, b_n \rightarrow \xi, c_n \rightarrow \eta, d_n \rightarrow \eta$ ．

注 另一种形式是闭球套定理。即 p． 12 的练习题 2 ．还可以推广为有界闭集套必有公共点，而当有界闭集套的直径趋于 0 时这公共点惟一．

定理 0.2 （Bolzano－Weierstrass 凝聚定理） $R ^n$ 中的有界点列必有收敛子点列．

证明概要 同样只要用投影法即可解决，但与上面不同，如果在每个坐标方向独立用 $R$ 中的凝聚定理，则不能得到收敛的子点列，因为几次得到的子列不一定相同．办法是按照顺序从子列再取子列。具体来说，对点列 $\left\{ x _k\right\}$ 的第一个坐标形成的数列 $\left\{x_1^{(k)}\right\}$ ，用凝聚定理得到收玫子列，记为 $\left\{x_1^{\left(k_j\right)}\right\}$ 。然后在原来的点列中就取出一个子点列 $\left\{ x _{k_j}\right\}$ 。它的第一个坐标收玫。这个子点列的子点列仍然是原来的点列的子点列。因此我们可以将这个子点列改记为 $\left\{ y _j\right\}$ 。然后考虑它的第二个坐标形成的数列，并对它用 $R$ 的凝聚定理。这样有限次后就得到一个子点列，它的每个坐标收敛，从而这个子点列收敛。

注 也可以用闭长方形套定理来证明．这就是用上册 p .44 证明 $n=1$ 的凝聚定理的方法．实际上这代表了两条思路。一条是用 $n=1$ 时的结论，另一条是用 $n=1$ 时的方法．

推论（聚点定理）有界无限点集必有聚点．
证 设 $S$ 是 $R ^n$ 中的有界无限点集，则可以从 $S$ 取出一个点列 $\left\{ x _k\right\}$ 。根据上述定理，存在收玫子列 $\left\{ x _{k_j}\right\}$ ．记其极限为 $a$ ，则在 $a$ 的每一个邻域中有该子列中

推论（聚点定理）有界无限点集必有聚点．
证 设 $S$ 是 $R ^n$ 中的有界无限点集，则可以从 $S$ 取出一个点列 $\left\{ x _k\right\}$ ．根据上述定理，存在收玫子列 $\left\{ x _{k_j}\right\}$ ．记其极限为 $a$ ，则在 $a$ 的每一个邻域中有该子列中

的无限多个点，也就是有 $S$ 中的无限多个点．（于是在 $a$ 的去心邻域中一定有 $S$ 的点．）可见 $a$ 是 $S$ 的聚点．

定理 0.3 （Cauchy 收敛准则） $R ^n$ 中点列 $\left\{ x _k\right\}$ 收玫的充要条件是：$\forall \varepsilon>0$ ， $\exists K, \forall k, l \geqslant K:\left| x _k- x _l\right|<\varepsilon$ 。

证明概要 用投影法，在在每个坐标轴的投影都是基本数列，因此都收玫．这样就得到所要的结论。

定理 0.4 （有限开覆盖定理）设 $S$ 是 $R ^n$ 中的有界闭集，则 $S$ 的任何一个开覆盖中必有有限子覆盖．

刷题

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