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欧几里得空间基本定理

## 欧几里得空间基本定理
下面主要以二维的情况为例，将实数理论中的一些重要结果推广到高维去．
**定理11．1．6（闭矩形套定理）** 设 $\Delta_k=\left[a_k, b_k\right] \times\left[c_k, d_k\right](k=1,2, \cdots)$ 是 $\mathbf{R}^2$ 上一列闭矩形。如果
（1）$\Delta_{k+1} \subset \Delta_k$ ，即 $a_k \leqslant a_{k+1}<b_{k+1} \leqslant b_k, c_k \leqslant c_{k+1}<d_{k+1} \leqslant d_k, k=1,2, \cdots$ ；
（2）$\sqrt{\left(b_k-a_k\right)^2+\left(d_k-c_k\right)^2} \rightarrow 0(k \rightarrow \infty)$ ，则存在惟一的点 $\boldsymbol{a}=(\xi, \eta)$ 属于 $\bigcap_{k=1}^{\infty} \Delta_k$ ，且

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} a_k=\lim _{k \rightarrow \infty} b_k=\xi, \quad \lim _{k \rightarrow \infty} c_k=\lim _{k \rightarrow \infty} d_k=\eta .
$$

这只要分别对 $\left\{\left[a_k, b_k\right]\right\}$ 和 $\left\{\left[c_k, d_k\right]\right\}$ 运用直线上的闭区间套定理就可以证明．
定理中的＂闭＂（闭集）和＂套＂（依次包含）是本质的，而集合 $\Delta_k$ 是否是闭矩形则无关紧要．读者还不难证明如下更一般的结论：

**定理 11．1．6＇（Cantor 闭区域套定理）** 设 $\left\{S_k\right\}$ 是 $\mathbf{R}^n$ 上的非空闭集序列，满足

$$
S_1 \supset S_2 \supset \cdots \supset S_k \supset S_{k+1} \supset \cdots
$$

以及 $\lim _{k \rightarrow \infty} \operatorname{diam} S_k=0$ ，则存在惟一点属于 $\bigcap_{k=1}^{\infty} S_k$ ．
这里

$$
\operatorname{diam} S=\sup \{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}| \mid \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in S\},
$$

它称为 $S$ 的直径．

`例` 证明：三角形的中线交于一点．
证 我们将以 $A, B$ 和 $C$ 为顶点的、加上边界的三角形记为 $\triangle A B C$（如图），它是闭集．

![图片](/uploads/2025-11/64a7eb.jpg){width=300px}
 
显然 $\triangle A B C$ 的三条中线 $A A_1, B B_1$ 和 $C C_1$ 包含在 $\triangle A B C$ 中，因此它们的两两交点也包含在 $\triangle A B C$中，且

$$
\triangle A_1 B_1 C_1 \subset \triangle A B C .
$$

注意三条中线 $A A_1, B B_1$ 和 $C C_1$ 上各有一段 $A_1 A_2，B_1 B_2$ 和 $C_1 C_2$ 成为 $\triangle A_1 B_1 C_1$ 的三条中线，所以 $\triangle A B C$ 的三条中线的两两交点也就是 $\triangle A_1 B_1 C_1$ 的三条中线的两两交点，且交点也包含在 $\triangle A_1 B_1 C_1$ 中，同时又有

$$
\triangle A_2 B_2 C_2 \subset \triangle A_1 B_1 C_1 .
$$

如此做下去的话，就得到三角形组成的闭集序列

$$
\triangle A B C \supset \triangle A_1 B_1 C_1 \supset \triangle A_2 B_2 C_2 \supset \cdots,
$$

显然它们满足

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \operatorname{diam} \triangle A_k B_k C_k=0,
$$

因此存在惟一的公共点 $O$ 属于所有这些三角形．
因为 $\triangle A B C$ 的三条中线的两两交点始终包含在每一个三角形内，所以三条中线必定交于一点，而 $O$ 点就是它们的交点．

证毕

**定理11.1.7（Bolzano－Weierstrass 定理）** $\mathbf{R}^n$ 上的有界点列 $\left\{\boldsymbol{x}_k\right\}$ 中必有收敛子列。

以二维的情况为例，只要先对 $\left\{\boldsymbol{x}_k\right\}=\left\{\left(x_k, y_k\right)\right\}$ 的第一个分量 $\left\{x_k\right\}$ 用一维的 Bolzano－Weierstrass 定理，找到其收敛子列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ ；再对数列 $\left\{y_{n_k}\right\}$ 用一维的 Bolzano－ Weierstrass 定理，找到其收敛子列 $\left\{y_{n_k m}\right\}$ ，则 $\left\{\left(x_{n_k}, y_{n_k}\right)\right\}$ 就是 $\left\{\boldsymbol{x}_k\right\}$ 的收敛子列。

从这个定理立即得到：
推论11．1．1 $\mathbf{R}^n$ 上的有界无限点集至少有一个聚点．
定义 11．1．6 若 $\mathbf{R}^n$ 上的点列 $\left\{x_k\right\}$ 满足：对于任意给定的 $\varepsilon>0$ ，存在正整数 $K$ ，使得对任意 $k, l>K$ ，成立

$$
\left|\boldsymbol{x}_l-\boldsymbol{x}_k\right|<\varepsilon
$$

则称 $\left\{\boldsymbol{x}_k\right\}$ 为基本点列（或 Cauchy 点列），

### 通俗理解 Bolzano－Weierstrass 定理
 一句话总结
**“在一个有限的平面上，无论有多少个点，只要它们不跑到无穷远处，就一定能找到一群‘扎堆’的点，它们会越来越靠近同一个位置。”**

---

### 比喻理解

想象一个**挤满了人的游泳池**：

- **有界** = 游泳池的边界把所有人都限制在这个范围内，没人能跑到外面的草地上去。
- **点列** = 每个人都在随意移动（或在不同的位置）。
- **子列** = 你从所有人中，只盯着某几个人看。
- **收敛** = 你发现这几个人越来越靠近游泳池的某个角落。

**Bolzano-Weierstrass 定理就是说**：  
在这么有限的空间里，无论大家怎么移动，你**总能**找到几个人（可能只是所有人中的一小部分），他们最终会聚集在同一个地方。

---

## 📍 为什么直观上成立？

1. **平面是有限的** → 点无处可逃。
2. **点很多（无限个）** → 就像把无限多颗沙子撒进一个盒子里，至少有一个小区域沙子特别密集。
3. **找“扎堆”的点** → 你不是让所有点都聚集到一起，而是只挑选那些自然就靠得近的点。

---

###   简单例子

假设你在一个 **1米×1米** 的正方形地板上，随机扔无限多个飞镖（但不会飞出边界）。

**定理保证**：  
你一定可以找到一序列飞镖（比如第5支、第12支、第30支、第85支……），它们一支比一支更靠近地板上的某个特定点。

---

###   核心思想

- **不要求所有点**都收敛到同一个地方。
- 只要**存在某个子集**的点在“扎堆”就行。
- 就像在一个拥挤的派对上，总能找到一小群人聚在一起聊天。

这样理解是不是更直观呢？这就是二维 Bolzano-Weierstrass 定理的本质——有限空间中的无限个点，必然在某个地方产生“聚集”。

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