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瑕积分
日期:
2023-10-08 13:52
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瑕积分
瑕积分,英文名称improper integral,是高等数学中微积分的一种,是被积函数带有瑕点的广义积分。 ## 定义 **瑕点** 如果存在正数 $\theta$ ,使得任意 $\theta>\delta>0$ ,都有函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的左邻域 $\left(x_0-\delta, x_0\right)$ 内无界或函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的右邻域 $\left(x_0, x_0+\delta\right)$ 内无界,则称点 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个瑕点。例如, $x=a$ 是 $f(x)=\frac{1}{x-a}$ 的瑕点; $x=0$ 是 $g(x)=\frac{1}{\ln |x-1|}$ 的瑕点。 **定义1** 设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上连续,点 $\mathrm{a}$ 为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的瑕点. 取 $\mathrm{t}>\mathrm{a}$ ,如果极限 $\lim _{t \rightarrow a^{+}} \int_t^b f(x) d x$ 存在,则称此极限为函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上的反常 积分。瑕积分仍然记作 $\int_a^b f(x) d x$ 。 **定义2** 设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $[\mathrm{a}, \mathrm{b})$ 上连续,点 $\mathrm{b}$ 为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的瑕点。取 $\mathrm{t}<\mathrm{b}$ ,如果极限 $\lim _{t \rightarrow b^{-}} \int_a^t f(x) d x$ 存在,则称此极限为函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $[\mathrm{a}, \mathrm{b})$ 上的反常 积分 。 **定义3** 设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $[\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上除点 $\mathrm{c}(\mathrm{a}<\mathrm{c}<\mathrm{b})$ 外上连续,点 $\mathrm{c}$ 为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的瑕点。如果两个瑕积分 $\int_a^c f(x) d x$ 与 $\int_c^b f(x) d x$ 都收敛,则定义 $\int_a^b f(x)=\int_a^c f(x)+\int_c^b f(x) 。$ ## 收敛判别法 当 $\int_a^b|f(x)| d x$ 收敛时,称 $\int_a^b f(x) d x$ 为绝对收敛。称收敛而不绝对收敛的瑕积分是条件收敛,判别瑕积分绝对收敛的 比较法则如下 [2] : (比较法则) 设定义在 $(\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上的两个函数 $f$ 与 $g$ ,瑕点同为 $x=a$ ,在任何 $[\mathrm{u}, \mathrm{b}]$ 上都可积,且满足 $|f(x)| \leq g(x), x \in(a, b]$ ,则当 $\int_a^b g(x) d x$ 收敛时, $\int_a^b|f(x)| d x$ 必定收敛(或当 $\int_a^b|f(x)| d x$ 发散时, $\int_a^b g(x) d x$ 亦 必发散)。 ## 典型例题 讨论反常积分 $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$ 的剑散性. 解 由于 $\int_{-1}^0 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{x}\right|_{-1} ^0$ (或 $\int_0^1 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{x}\right|_0 ^1$ )发散,则 $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x$ 发散. 注 如果忽视瑕点 $x=0$ ,则会出现错误结果: $$ \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{x}\right|_{-1} ^1=-1-1=-2 . $$ 例 9 讨论反常积分 $\int_0^2 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}$ 的玫散性. 解 由 $\int_0^2 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}=\int_0^2 \frac{\mathrm{d} x}{(x-3)(x-1)}$ , 知 $x=1$ 为瑕点,因此先考虑 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}$ ,由于 $$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3} & =\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{(x-3)(x-1)}=\frac{1}{2} \int_0^1\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}\right) \mathrm{d} x \\ & =\left.\frac{1}{2} \ln \left|\frac{x-3}{x-1}\right|\right|_0 ^1=\frac{1}{2}\left(\lim _{x \rightarrow 1} \ln \left|\frac{x-3}{x-1}\right|-\ln 3\right) \end{aligned} $$ 因为 $\lim _{x \rightarrow 1} \ln \left|\frac{x-3}{x-1}\right|$ 不存在,故 $\int_0^1 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}$ 发散,因此 $\int_0^2 \frac{\mathrm{d} x}{x^2-4 x+3}$ 发散.
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