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广义积分的定义和性质

内容简介 广义积分是上一章的定积分在两个方向上的推广，即允许积分区间无界，又允许函数无界．$\S 11.1$ 是两类广义积分的定义和基本性质．

## 11.1.1 定积分的推广
从第十章中的定积分定义和定理 10.1 可见，定积分只能对有界区间上的有界函数才可能有意义．然而许多理论问题和应用问题中都需要突破这两方面的限制，从而产生了定积分的推广，即广义积分（也称为反常积分）．为了区别起见，今后称第十章中的定积分为常义积分（或正常积分）．

先举一个例子，它自然引导到广义积分．这就是求第二宇宙速度，即使物体脱离地球引力所需要的最低的初始速度，记为 $v_2{ } $ ．
 ![图片](/uploads/2025-02/97d684.jpg)
 
 设从地面向上垂直发射物体．在离地面高度为 $x$ 处物体所受的地球引力为

$$
F(x)=\frac{G M m}{(x+R)^2}
$$

其中 $G$ 为引力常数，$M$ 为地球质量，$R$ 为地球半径，$m$ 为物体质量．这里已经将物体简化为一个质点．

问题是计算质点从地面到无穷远处克服重力所作的功 $W$ ．为此先计算出从地面到高度 $x$ 时所作的功 $W(x)$ ，然后取极限．方法是先求出 $W(x)$ 的变化率，即导数 $W^{\prime}(x)$ ，然后再积分．首先，使质点从高度 $x$ 到 $x+\Delta x$ 所作的功为

$$
\Delta W=F(x) \Delta x=\frac{G M m}{(x+R)^2} \Delta x
$$

于是就得到

$$
W^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta W}{\Delta x}=F(x) .
$$
利用 $F(0)=m g$ ，就有 $\frac{G M m}{R^2}=m g$ ，因此可以消去 $G$ 得到 $W^{\prime}(x)=$ $\frac{m g R^2}{(x+R)^2}$ ．从 $W^{\prime}(x)$ 的表达式求其原函数得到

$$
W(x)=-\frac{m g R^2}{x+R}+C
$$

其中 $C$ 是待定常数．由于 $x=0$ 时 $W(0)=0$ ，可定出 $C=m g R$ ，因此

$$
W(x)=m g R-\frac{m g R^2}{x+R}
$$

然后令 $x \rightarrow+\infty$ ，得到 $W=W(+\infty)=m g R$ ．这就是要将地面上的物体送到无穷远处所需要作的功。

最后从方程 $\frac{1}{2} m v_2^2=m g R$ 可得到 $v_2=\sqrt{2 g R}$ ．利用 $g=9.8$ 米／秒 ${ }^2, R=$ $6.38 \times 10^6$ 米，则得到 $v_2 \approx 11.2$ 公里／秒 ${ }^{(1)}$ 。

回顾以上计算并将它写成积分形式，就有

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} W(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_0^x F(t) d t=\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_0^x \frac{m g R^2}{(t+R)^2} d t
$$

将最后的表达式记为

$$
\int_0^{+\infty} \frac{m g R^2}{(t+R)^2} d t
$$

这就是区间 $[0,+\infty)$ 上的广义积分．
小结 上述广义积分就是在 Riemann 积分的基础上对积分限取极限得到的，因此是有先后次序的二次极限的结果。第一次是 Riemann 和的极限，第二次是 $x \rightarrow+\infty$ 的函数极限．

再举一个例子．从

$$
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \int_0^x \frac{d t}{\sqrt{1-t^2}}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \arcsin x=\frac{\pi}{2}
$$

可以引入积分区间有界但被积函数无界的第二种广义积分，即

$$
\int_0^1 \frac{d t}{\sqrt{1-t^2}}
$$

注 与定积分的几何意义类似，对于广义积分也可以从几何上给以解释．上述例子就可以解释成为由 $y=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 和 $x=0,1, y=0$ 所限制的无界区域是否具有有限数值的面积 （见图 11．2）．从积分计算可知其面积为 $\pi / 2$ ．
 ![图片](/uploads/2025-02/04ae45.jpg)
 
## 11.1.2 广义积分的定义
先将区间无界和函数无界两个因素分开，分别定义两类最基本的广义积分．
定义11．1（**无界区间上的广义积分**）设 $f$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上有定义，且对每个 $A>a, f$ 在区间 $[a, A]$ 上 Riemann 可积，则定义 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上的广义积分为

$$
\int_a^{+\infty} f(x) d x=\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_a^A f(x) d x
$$

如果这个极限存在的话．这时也称该广义积分收玫．反之，若上述极限不存在，则称该广义积分发散．称 $+\infty$ 为这个广义积分的奇点．类似地可以定义 $f$ 在 $(-\infty, a]$上的广义积分．又定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的广义积分为

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^a f(x) d x+\int_a^{+\infty} f(x) d x
$$

若右边两个广义积分分别存在．（可以证明其中的分点 $a$ 不影响左边的广义积分的敛散性．）

完全相同地可以给出有界区间上无界函数的广义积分的定义．
定义 11.2 （**有界区间上无界函数的广义积分**）设 $f$ 在有界区间 $[a, b)$ 上有定义，在点 $b$ 处局部无界 ${ }^{(1)}$ ，且对于每个 $b^{\prime} \in(a, b), f$ 在 $\left[a, b^{\prime}\right]$ 上 Riemann 可积，则定义 $f$ 在 $[a, b]$ 上的广义积分 ${ }^{(2)}$ 为下列极限

$$
\int_a^b f(x) d x=\lim

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