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广义积分的定义和性质

内容简介 广义积分是上一章的定积分在两个方向上的推广，即允许积分区间无界，又允许函数无界．$\S 11.1$ 是两类广义积分的定义和基本性质．

## 11.1.1 定积分的推广
从第十章中的定积分定义和定理 10.1 可见，定积分只能对有界区间上的有界函数才可能有意义．然而许多理论问题和应用问题中都需要突破这两方面的限制，从而产生了定积分的推广，即广义积分（也称为反常积分）．为了区别起见，今后称第十章中的定积分为常义积分（或正常积分）．

先举一个例子，它自然引导到广义积分．这就是求第二宇宙速度，即使物体脱离地球引力所需要的最低的初始速度，记为 $v_2{ } $ ．
 ![图片](/uploads/2025-02/97d684.jpg)
 
 设从地面向上垂直发射物体．在离地面高度为 $x$ 处物体所受的地球引力为

$$
F(x)=\frac{G M m}{(x+R)^2}
$$

其中 $G$ 为引力常数，$M$ 为地球质量，$R$ 为地球半径，$m$ 为物体质量．这里已经将物体简化为一个质点．

问题是计算质点从地面到无穷远处克服重力所作的功 $W$ ．为此先计算出从地面到高度 $x$ 时所作的功 $W(x)$ ，然后取极限．方法是先求出 $W(x)$ 的变化率，即导数 $W^{\prime}(x)$ ，然后再积分．首先，使质点从高度 $x$ 到 $x+\Delta x$ 所作的功为

$$
\Delta W=F(x) \Delta x=\frac{G M m}{(x+R)^2} \Delta x
$$

于是就得到

$$
W^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta W}{\Delta x}=F(x) .
$$
利用 $F(0)=m g$ ，就有 $\frac{G M m}{R^2}=m g$ ，因此可以消去 $G$ 得到 $W^{\prime}(x)=$ $\frac{m g R^2}{(x+R)^2}$ ．从 $W^{\prime}(x)$ 的表达式求其原函数得到

$$
W(x)=-\frac{m g R^2}{x+R}+C
$$

其中 $C$ 是待定常数．由于 $x=0$ 时 $W(0)=0$ ，可定出 $C=m g R$ ，因此

$$
W(x)=m g R-\frac{m g R^2}{x+R}
$$

然后令 $x \rightarrow+\infty$ ，得到 $W=W(+\infty)=m g R$ ．这就是要将地面上的物体送到无穷远处所需要作的功。

最后从方程 $\frac{1}{2} m v_2^2=m g R$ 可得到 $v_2=\sqrt{2 g R}$ ．利用 $g=9.8$ 米／秒 ${ }^2, R=$ $6.38 \times 10^6$ 米，则得到 $v_2 \approx 11.2$ 公里／秒 ${ }^{(1)}$ 。

回顾以上计算并将它写成积分形式，就有

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} W(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_0^x F(t) d t=\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_0^x \frac{m g R^2}{(t+R)^2} d t
$$

将最后的表达式记为

$$
\int_0^{+\infty} \frac{m g R^2}{(t+R)^2} d t
$$

这就是区间 $[0,+\infty)$ 上的广义积分．
小结 上述广义积分就是在 Riemann 积分的基础上对积分限取极限得到的，因此是有先后次序的二次极限的结果。第一次是 Riemann 和的极限，第二次是 $x \rightarrow+\infty$ 的函数极限．

再举一个例子．从

$$
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \int_0^x \frac{d t}{\sqrt{1-t^2}}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \arcsin x=\frac{\pi}{2}
$$

可以引入积分区间有界但被积函数无界的第二种广义积分，即

$$
\int_0^1 \frac{d t}{\sqrt{1-t^2}}
$$

注 与定积分的几何意义类似，对于广义积分也可以从几何上给以解释．上述例子就可以解释成为由 $y=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 和 $x=0,1, y=0$ 所限制的无界区域是否具有有限数值的面积 （见图 11．2）．从积分计算可知其面积为 $\pi / 2$ ．
 ![图片](/uploads/2025-02/04ae45.jpg)
 
## 11.1.2 广义积分的定义
先将区间无界和函数无界两个因素分开，分别定义两类最基本的广义积分．
定义11．1（**无界区间上的广义积分**）设 $f$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上有定义，且对每个 $A>a, f$ 在区间 $[a, A]$ 上 Riemann 可积，则定义 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上的广义积分为

$$
\int_a^{+\infty} f(x) d x=\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_a^A f(x) d x
$$

如果这个极限存在的话．这时也称该广义积分收玫．反之，若上述极限不存在，则称该广义积分发散．称 $+\infty$ 为这个广义积分的奇点．类似地可以定义 $f$ 在 $(-\infty, a]$上的广义积分．又定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的广义积分为

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^a f(x) d x+\int_a^{+\infty} f(x) d x
$$

若右边两个广义积分分别存在．（可以证明其中的分点 $a$ 不影响左边的广义积分的敛散性．）

完全相同地可以给出有界区间上无界函数的广义积分的定义．
定义 11.2 （**有界区间上无界函数的广义积分**）设 $f$ 在有界区间 $[a, b)$ 上有定义，在点 $b$ 处局部无界 ${ }^{(1)}$ ，且对于每个 $b^{\prime} \in(a, b), f$ 在 $\left[a, b^{\prime}\right]$ 上 Riemann 可积，则定义 $f$ 在 $[a, b]$ 上的广义积分 ${ }^{(2)}$ 为下列极限

$$
\int_a^b f(x) d x=\lim _{b^{\prime} \rightarrow b^{-}} \int_a^{b^{\prime}} f(x) d x
$$

如果右边的极限存在的话．这时也称该广义积分收玫．反之，若上述极限不存在，则称该广义积分发散．称 $b$ 为这个广义积分的惟一奇点．

类似地当 $f$ 在点 $a$ 局部无界时称 $a$ 为奇点．当 $a$ 为惟一奇点时可以类似地定义广义积分 $\int_a^b f(x) d x$ ．又当 $f$ 在 $[a, b]$ 中有惟一奇点 $c \in(a, b)$ 时定义广义积分

$$
\int_a^b f(x) d x=\int_a^c f(x) d x+\int_c^b f(x) d x
$$

仅当右边的两个广义积分都收玫时称 $\int_a^b f(x) d x$ 收敛，否则称该广义积分发散。
注 $1 f$ 在奇点 $b$ 处是否有定义是无关紧要的，$f$ 在 $b$ 处局部无界的条件是本质的，若将它换成 $f$ 在 $[a, b)$ 上有界，则如上一章例题 10.16 及其注所示，只能得到 $f \in R[a, b]$ 的平凡结论．

注 2 对于有多个奇点的广义积分的定义，采用上述定义中已经采用的方法，即先在形式上将广义积分分拆为多个广义积分之和，使得每个广义积分只含一个

奇点．然后定义仅当每个广义积分收玫时才称原来的广义积分收玫，且等于各个广义积分之和。

关于广义积分定义的小结 由以上两个定义可见广义积分是一种有先后次序的二次极限，第一次是 Riemann 和的极限，然后对于变动的积分限（上限或下限）再取极限。如上一章的定理 10.10 和 10.11 所示，作为积分限的函数至少是连续函数，而当被积函数连续时还是可微函数。由此可见，广义积分与第一册的函数极限有密切联系．收玫的广义积分与定积分一样是一个数，发散的广义积分则只是一个符号．但有时也可能是 $\pm \infty$ ，即所谓非正常极限（参见 $\S 2.1 .5$ 与 §4．1．4）。

以下给出广义积分收玫的最基本的判别准则。由上述分析可见它们依赖于 $\S 4.2 .7$ 关于函数极限的存在定理．为简明起见，在可能时对两类广义积分采用统一的记号。

设函数 $f$ 在区间 $[a, b)$ 上定义，其中 $b$ 是惟一奇点，它可以是有限数，也可以是 $b=+\infty$ ．注意这时我们总是假设对每一个 $b^{\prime} \in[a, b), f$ 在 $\left[a, b^{\prime}\right]$ 上 Riemann 可积．若 $b$ 为有限数，则 $f$ 在 $b$ 局部无界。

对于保号函数的广义积分这依赖于单调函数的极限存在定理。下面只写出对于非负函数的结论。

定理11．1 设 $f$ 是在区间 $[a, b)$ 上有定义的非负函数，其中 $b$ 或者是大于 $a$ 的有限数，或者是 $+\infty$ ，而且是惟一的奇点，则广义积分 $\int_a^b f$ 一定有意义，即或者收敛，或者发散于 $+\infty$ ．
证 为此只要定义函数

$$
F(x)=\int_a^x f(t) d t, a \leqslant x < b
$$

由于 $f$ 非负，因此 $F$ 是单调增加函数，可见 $\lim _{x \rightarrow b^{-}} F(x)$ 一定有意义，其中的极限过程 $x \rightarrow b^{-}$在 $b=+\infty$ 时就理解成为 $x \rightarrow+\infty$ ．应用关于单调函数的极限存在定理 （参看定理 4．11）就得到所要的结论。

对于一般情况的被积函数，则当然依赖于函数极限的 Cauchy 收玫准则．
                                        
                                        
定理 11.2 （**广义积分的 Cauchy 收敛准则**）设 $f$ 在 $[a, b)$ 上以 $b$ 为惟一奇点，则广义积分 $\int_a^b f(x) d x$ 收玫的充分必要条件是：对 $\forall \varepsilon>0, \exists b_0 \in(a, b)$ ， $\forall b^{\prime}, b^{\prime \prime} \in\left(b_0, b\right):\left|\int_{b^{\prime}}^{b^{\prime \prime}} f(x) d x\right|<\varepsilon$ ．

证 根据广义积分收敛的定义为

$$
\int_a^b f(x) d x=\lim _{b^{\prime} \rightarrow b^{-}} \int_a^{b^{\prime}} f(x) d x
$$

如果右边的极限存在的话（当 $b=+\infty$ 时 $b^{\prime} \rightarrow b^{-}$理解为 $b \rightarrow+\infty$ ）．将右边的积分看成为自变量 $b^{\prime}$ 的函数，记为 $F\left(b^{\prime}\right)$ ，对它用函数极限的 Cauchy 收玫准则（参看定理 4．12）就得到所要的结论。

下面一些简单例题都只要直接应用广义积分的定义即可．
例题11．1 用定义11．1即有

$$
\begin{aligned}
\int_1^{+\infty} \frac{d x}{x^2} & =\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_1^A \frac{d x}{x^2} \\
& =\left.\lim _{A \rightarrow+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)\right|_1 ^A=\lim _{A \rightarrow+\infty}\left(1-\frac{1}{A}\right)=1
\end{aligned}
$$

例题 11.2 一个发散的广义积分的例子：

$$
\begin{aligned}
\int_1^{+\infty} \frac{d x}{x} & =\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_1^A \frac{d x}{x} \\
& =\left.\lim _{A \rightarrow+\infty} \ln x\right|_1 ^A=\lim _{A \rightarrow+\infty} \ln A=+\infty
\end{aligned}
$$

上述两个例题只是下面带有参数的广义积分的特例．

例题 11.3 讨论带有正参数 $p>0$ 的广义积分 $\int_1^{+\infty} \frac{ d x}{x^p}$ 的玫散性：
解 奇点为 $+\infty$ ．在 $p \neq 1$ 时可如下计算

$$
\int_1^A x^{-p} d x=\left.\frac{1}{1-p} x^{1-p}\right|_1 ^A=\frac{1}{1-p}\left(A^{1-p}-1\right)
$$

令 $A \rightarrow+\infty$ ，可见上式当 $p>1$ 时收敛于 $\frac{1}{p-1}$ ，而当 $0<p<1$ 是发散于 $+\infty$ ．对 $p=1$ 可以引用例题 11.2 的结果．

合并以上得到：（1）$p>1$ 时广义积分收敛，（2） $0<p \leqslant 1$ 时广义积分发散．
下面是同样的被积函数在不同区间上的广义积分．
例题 11.4 讨论 $\int_0^1 \frac{d x}{x^p}$ 的敛散性，其中 $p>0$ ．
解 奇点为 $x=0$ ．根据定义在 $p \neq 1$ 时先对 $0<a^{\prime}<1$ 计算下列积分：

$$
\begin{aligned}
\int_{a^{\prime}}^1 x^{-p} d x & =\left.\frac{1}{1-p} x^{1-p}\right|_{a^{\prime}} ^1 \\
& =\frac{1}{1-p}\left(1-\left(a^{\prime}\right)^{1-p}\right)
\end{aligned}
$$

然后令 $a^{\prime} \rightarrow 1^{+}$，可见在 $0<p<1$ 时广义积分收敛，且有 $\int_0^1 \frac{d x}{x^p}=\frac{1}{1-p}$ ，在 $p>1$ 时广义积分发散于 $+\infty$ ．对于 $p=1$ ，则需另行计算如下：

$$
\int_{a^{\prime}}^1 \frac{d x}{x}=\left.\ln x\right|_{a^{\prime}} ^1=-\ln a^{\prime}
$$

可见也是发散的．
  
  
  注 将例题11．4与例题11．3相结合，几何上可以解释为在第一象限的广义的直角双曲线 $y=1 / x^p(p>0)$ 和两条坐标轴所围成的无界区域的面积是 $+\infty$ 。若将它用 $x=1$ 分成两块无界区域，则除了 $p=1$ 时两块的面积都是无穷大之外，总有一块是有限数，另一块是无穷大．如右边的图 11.2 所示，其中作出了三条曲线，即 $y=\frac{1}{x^2}, y=\frac{1}{x}, y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ．三个函数和三条曲线之间的对应关系可以从上面两个例题的结论直接看出。
 
   ![图片](/uploads/2025-02/8f6f82.jpg)

注意：这两个例题是广义积分中的重要例子，在今后的广义积分敛散性判别中起重要作用。

对下面几个例题中的广义积分也可以考虑它们对应的几何意义．
  
  例题 11.5 讨论 $\int_2^{+\infty} \frac{ d x}{x \ln ^q x} d x$ 的敛散性，其中 $q>0$ ．
解 奇点为 $+\infty$ ．对于 $q \neq 1$ ，有

$$
\int_2^A \frac{d x}{x \ln ^q x}=\left.\frac{1}{1-q} \ln ^{1-q} x\right|_2 ^A=\frac{1}{q-1}\left(\ln ^{1-q} 2-\ln ^{1-q} A\right)
$$

可见当 $q>1$ 时积分收敛，而当 $0<q<1$ 时积分发散．
对于 $q=1$ 则从 $\int_2^A \frac{d x}{x \ln x}=\left.\ln \ln x\right|_2 ^A=\ln \ln A-\ln \ln 2$ 可见积分发散．
例题 11.6 求 $I=\int_0^1 \ln (1-x) d x$ ．
解 奇点为 $x=1$ ．根据定义可以计算如下：

$$
\begin{aligned}
I & =\lim _{b^{\prime} \rightarrow 1^{-}} \int_0^{b^{\prime}} \ln (1-x) d(x-1) \\
& =\left.\lim _{b^{\prime} \rightarrow 1^{-}}[(x-1) \ln (1-x)-x]\right|_0 ^{b^{\prime}}=-1,
\end{aligned}
$$

其中最后用到极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \ln t=0$ ．
例题 11.7 求 $I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ d x}{1+x^2}$ ．
解 有两个奇点 $-\infty$ 和 $+\infty$ ．按照定义分为两个积分来做．先作分拆

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d x}{1+x^2}=\int_{-\infty}^0 \frac{d x}{1+x^2}+\int_0^{+\infty} \frac{d x}{1+x^2}
$$

然后就有
 
$$
 \begin{aligned}
&\begin{aligned}
\int_{-\infty}^0 \frac{d x}{1+x^2} & =\lim _{A^{\prime} \rightarrow-\infty} \int_{A^{\prime}}^0 \frac{d x}{1+x^2} \\
& =\left.\lim _{A^{\prime} \rightarrow-\infty} \arctan x\right|_{A^{\prime}} ^0=\lim _{A^{\prime} \rightarrow-\infty}\left(-\arctan A^{\prime}\right)=\frac{\pi}{2}
\end{aligned}\\
&\text { 同样有 }{ }_0^{{ }^{+\infty}} \frac{d x}{1+x^2}=\frac{\pi}{2} \text { ．因此原来的广义积分收敛，} I=\pi \text { ．}
\end{aligned}
$$
 
例题 11.8 求 $I=\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} \cdot e ^{\frac{1}{x}} d x$ ．
解 惟一的奇点为 $x=0$ ，先分拆为两个积分：

$$
I=\left(\int_{-1}^0+\int_0^1\right) \frac{1}{x^2} \cdot e^{\frac{1}{x}} d x
$$

然后分别计算如下（其中第一个是常义积分）：

$$
\begin{aligned}
\int_{-1}^0 \frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}} d x & =\lim _{b^{\prime} \rightarrow 0^{-}} \int_{-1}^{b^{\prime}} e^{\frac{1}{x}} d\left(-\frac{1}{x}\right) \\
& =\left.\lim _{b^{\prime} \rightarrow 0^{-}}\left(-e^{\frac{1}{x}}\right)\right|_{-1} ^{b^{\prime}}=\lim _{b^{\prime} \rightarrow 0^{-}}\left(e^{-1}-e^{\frac{1}{b^{\prime}}}\right)=e^{-1}, \\
\int_0^1 \frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}} d x & =\lim _{a^{\prime} \rightarrow 0^{+}} \int_{a^{\prime}}^1 e^{\frac{1}{x}} d\left(-\frac{1}{x}\right) \\
& =\left.\lim _{a^{\prime} \rightarrow 0^{+}}\left(-e^{\frac{1}{x}}\right)\right|_{a^{\prime}} ^1=\lim _{a^{\prime} \rightarrow 0^{+}}\left(-e+e^{\frac{1}{a^{\prime}}}\right)=+\infty
\end{aligned}
$$

因此广义积分发散，$I=+\infty$ ．

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