最后更新: 2025-03-16 09:57 查看: 66 次反馈刷题

线性运算公式

## 11.1.3 线性运算公式
由于广义积分是在定积分的基础上通过函数极限过程来定义的，因此很自然对于被积函数具有线性性质，证明从略。

线性运算公式 设广义积分 $\int_a^b f$ 和 $\int_a^b g$ 都收玫，$\alpha, \beta$ 是两个实数，则就有

$$
\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha \int_a^b f+\beta \int_a^b g .
$$

注 上述公式中的 $a, b$ 可以是有限数，也可以是 $a=-\infty, b=+\infty$ ．此外也允许存在多个奇点的情况．

例题 11.9 求 $I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ d x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}$ ．
解 用线性运算公式即有

$$
\begin{aligned}
I & =\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+2}\right) d x \\
& =\left.\arctan x\right|_{-\infty} ^{+\infty}-\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}\right|_{-\infty} ^{+\infty} \\
& =\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \pi .
\end{aligned}
$$

注 在用线性运算公式时必须注意条件是否满足．例如下列等式

$$
\int_1^{+\infty} \frac{d x}{x(x+1)}=\int_1^{+\infty}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right) d x=\int_1^{+\infty} \frac{d x}{x}-\int_1^{+\infty} \frac{d x}{x+1}
$$

就不能成立。右边两项都是发散的广义积分，而左边的广义积分实际上是收敛的，这可以按照定义直接计算如下：

$$
\begin{aligned}
\int_1^{+\infty}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right) d x & =\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_1^A\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right) d x \\
& =\left.\lim _{A \rightarrow+\infty}[\ln x-\ln (x+1)]\right|_1 ^A \\
& =\lim _{A \rightarrow+\infty}\left(\ln \frac{A}{A+1}+\ln 2\right)=\ln 2
\end{aligned}
$$

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