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广义的牛顿-莱布尼兹公司Newton-Leibniz 公式

## 11.1.4 广义 Newton－Leibniz 公式
**定理11.3** 设 $a<b$ ，若函数 $f$ 在（有界或无界）区间 $(a, b)$ 上只有有限个奇点，在不含奇点的每个有界闭区间上常义可积，又在 $(a, b)$ 上存在原函数 $F$ ，则成立广义 Newton－Leibniz 公式：

$$
\int_a^b f(x) d x=\left.F(x)\right|_{a^{+}} ^{b^{-}}=F\left(b^{-}\right)-F\left(a^{+}\right)
$$

若右边的极限存在的话．否则，左边的积分发散．

注 这里对于 $a=-\infty$ 和 $b=+\infty$ 的情况，将 $F\left(a^{+}\right)$和 $F\left(b^{-}\right)$分别理解为 $F(-\infty)$ 和 $F(+\infty)$ ．此外，这里的原函数 $F$ 与定理 10.2 的注中相同，也允许作广义理解，即 $F$ 在 $(a, b)$ 上连续，且除去有限个点外均满足 $F^{\prime}(x)=f(x)$ 。这时称为广义原函数．

证 不妨只对 $a, b$ 为仅有的有限奇点情况作出证明．取 $\left[a^{\prime}, b^{\prime}\right] \subset(a, b)$ ，则在 $\left[a^{\prime}, b^{\prime}\right]$ 上可以用常义积分的 Newton－Leibniz 公式得到

$$
\int_{a^{\prime}}^{b^{\prime}} f(x) d x=F\left(b^{\prime}\right)-F\left(a^{\prime}\right)
$$

令 $a^{\prime} \rightarrow a^{+}, b^{\prime} \rightarrow b^{-}$即得．

例题 11.10 用广义 Newton－Leibniz 公式可以作如下计算：

$$
\int_{-1}^1 \frac{d x}{\sqrt{1-x^2}}=\left.\arcsin x\right|_{-1} ^1=\arcsin 1-\arcsin (-1)=\pi
$$

事实上，导数公式 $(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 只在 $(-1,1)$ 时成立，在两个端点（也就是奇点）处不成立．由于原函数 $\arcsin x$ 在 $[-1,1]$ 上连续，因此上述计算中用 $x= \pm 1$ 代入和取极限是一样的。

对于广义原函数来说，它的连续性是重要的。（这里可以回顾例题 10.2 ，其中已经使用了广义原函数。）下面就是由于不满足连续性条件而错误使用 Newton－ Leibniz 公式的例子。

例题 11.11 指出下列计算中的错误：

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d x}{1+x^2}=-\left.\arctan \frac{1}{x}\right|_{-\infty} ^{+\infty}=0-0=0
$$

解 在 $x \neq 0$ 时确实有

$$
\left(-\arctan \frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} \cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{1+x^2},
$$

但是函数 $-\arctan \frac{1}{x}$ 在原点不连续，因此它不能在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上作为广义原函数来使用．

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