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无界区间上广义积分收玫与被积函数的渐近性质

## 11.1.5 无界区间上广义积分收玫与被积函数的渐近性质
在第二章的 $\S 2.1 .6$ 的无穷级数介绍中，定理 2.8 告诉我们，若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收玫，则一定有 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$ ．将无穷级数与广义积分类比，这一小节的问题是：设 $f$ 在无界区间 $[a,+\infty)$ 上定义，且广义积分

$$
\int_a^{+\infty} f(x) d x
$$

收玫，则是否一定可以推出 $f(+\infty)=0$ ？
从前面许多涉及到无界区间上的广义积分例题来看，这个推论似乎都是成立的（见例题 11．1，11．3，11．6，11．7 等）．但下面一个例子表明，这个结论不能成立．（对于广义积分 $\int_{-\infty}^b f(x) d x$ 和 $f(-\infty)$ 也存在同样的问题．）

例题 11.12 在区间 $[0,+\infty)$ 上定义函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}n, & n-\frac{1}{n \cdot 2^n} \leqslant x \leqslant n \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，求 $I=\int_0^{+\infty} f(x) d x$ ．

解 由于 $f$ 非负，因此从定理11．1知道该广义积分一定有意义，或者收玫，或者为正无穷大．为此只要在 $[0, n]$ 上计算函数 $f$ 的定积分，然后观察当 $n \rightarrow \infty$ 时是否有界即可．从下列计算可见有
 ![图片](/uploads/2025-02/8cd686.jpg)
 
 $$
F(n)=\int_0^n f(x) d x=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}
$$

于是得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} F(n)=1$ ．因此广义积分收玫，$I=1$ ．
为了进一步讨论上述问题，首先需要对函数 $f$ 加以适当限制．与定积分中的例题10．16类似，例如改变 $f$ 在 $x_n=n(n>a)$ 上的可列个函数值，不会改变 $\int_a^{+\infty} f$收玫性，但是却可能改变极限 $f(+\infty)$ 的存在性。一个比较合理的选择是在以下讨论中假设 $f \in C[a,+\infty)$ 成立。

下面是这方面的两个基本结果。
例题 11.13 若 $f \in C[a,+\infty)$ ，且 $\int_a^{+\infty} f(x) d x$ 收玫，则存在数列 $\left\{x_n\right\} \subset$ $[a,+\infty), x_n \uparrow+\infty$ ，使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=0$ ．

证 记上述广义积分值为 $I$ ，则从函数极限的 Heine 归结原理知道有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_a^n f(x) d x=I
$$

于是也有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_n^{n+1} f(x) d x=0
$$

根据积分第一中值定理，对每个 $n$ ，存在 $x_n \in[n, n+1]$ ，使成立 $f\left(x_n\right)=$ $\int_n^{n+1} f(x) d x$ ．这个数列 $\left\{x_n\right\}$ 就满足定理中的要求．

注 由此可见，在 $\int_a^{+\infty} f(x) d x$ 收玫时，如果存在极限 $f(+\infty)$ ，则这个极限只能等于 0 ．下面是保证 $f(+\infty)=0$ 的一个常用条件．

例题 11.14 设 $f \in C[a,+\infty)$ ，且 $\int_a^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，则 $f(+\infty)=0 \Longleftrightarrow f$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．
证 $1 f \in C[a,+\infty)$ 时只要存在极限 $f(+\infty)$ 就保证 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，因此必要性是平凡的（参见例题 5．14）．这里不需要广义积分收敛条件。

下面证明充分性。用反证法．设 $f(+\infty)=0$ 不成立．用 $\S 1.4$ 的对偶法则，知道存在 $\varepsilon_0>0, \forall A>a, \exists x_0>$

![图片](/uploads/2025-02/6213f0.jpg)
 $A:\left|f\left(x_0\right)\right| \geqslant \varepsilon_0$（参见图 11．5）。

利用 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，对上述 $\varepsilon_0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a,+\infty)\left(\mid x^{\prime}-\right.$ $\left.x^{\prime \prime} \mid<\delta\right):\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon_0 / 2$ ．于是当 $x \in O_\delta\left(x_0\right)$ 时就有

$$
|f(x)| \geqslant\left|f\left(x_0\right)\right|-\left|f\left(x_0\right)-f(x)\right|>\frac{\varepsilon_0}{2}
$$

而且 $f(x)$ 与 $f\left(x_0\right)$ 同号．于是就有积分估计

$$
\left|\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} f(x) d x\right| \geqslant \frac{\varepsilon_0}{2} \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} d x=\varepsilon_0 \delta
$$

由于 $x_0$ 可取任意大，最后的不等式与广义积分的 Cauchy 收敛准则（即定理 11．2）相矛盾。

证2 下面是对于充分性的不用反证法的证明．
对于给定的 $\varepsilon>0$ ，根据一致连续条件，存在 $\delta>0$ ，当 $x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a,+\infty)$ ，且满足 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ ，就有 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ 。

记 $F(x)=\int_a^x f(t) d t$ ，则由于存在极限 $F(+\infty)$ ，从 Cauchy 收玫准则（见定理 4．12）知道存在 $M>a$ ，使得当 $x>M$ 时，

$$
|F(x+\delta)-F(x)|=\left|\int_x^{x+\delta} f(t) d t\right|<\varepsilon \delta
$$

于是就有

$$
\begin{aligned}
|f(x) \delta| & \leqslant\left|f(x) \delta-\int_x^{x+\delta} f(t) d t\right|+\left|\int_x^{x+\delta} f(t) d t\right| \\
& \leqslant\left|\int_x^{x+\delta}\right| f(x)-f(t)|d t|+\varepsilon \delta \leqslant 2 \varepsilon \delta,
\end{aligned}
$$

可见当 $x>M$ 时就有 $|f(x)|<2 \varepsilon$ ．这证明了 $f(+\infty)=0$ ．

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