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无界区间上广义积分收玫与被积函数的渐近性质

## 11.1.5 无界区间上广义积分收玫与被积函数的渐近性质
在第二章的 $\S 2.1 .6$ 的无穷级数介绍中，定理 2.8 告诉我们，若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收玫，则一定有 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$ ．将无穷级数与广义积分类比，这一小节的问题是：设 $f$ 在无界区间 $[a,+\infty)$ 上定义，且广义积分

$$
\int_a^{+\infty} f(x) d x
$$

收玫，则是否一定可以推出 $f(+\infty)=0$ ？
从前面许多涉及到无界区间上的广义积分例题来看，这个推论似乎都是成立的（见例题 11．1，11．3，11．6，11．7 等）．但下面一个例子表明，这个结论不能成立．（对于广义积分 $\int_{-\infty}^b f(x) d x$ 和 $f(-\infty)$ 也存在同样的问题．）

例题 11.12 在区间 $[0,+\infty)$ 上定义函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}n, & n-\frac{1}{n \cdot 2^n} \leqslant x \leqslant n \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，求 $I=\int_0^{+\infty} f(x) d x$ ．

解 由于 $f$ 非负，因此从定理11．1知道该广义积分一定有意义，或者收玫，或者为正无穷大．为此只要在 $[0, n]$ 上计算函数 $f$ 的定积分，然后观察当 $n \rightarrow \infty$ 时是否有界即可．从下列计算可见有
 ![图片](/uploads/2025-02/8cd686.jpg)
 
 $$
F(n)=\int_0^n f(x) d x=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}
$$

于是得到 $\lim _{n \rightarrow \infty} F(n)=1$ ．因此广义积分收玫，$I=1$ ．
为了进一步讨论上述问题，首先需要对函数 $f$ 加以适当限制．与定积分中的例题10．16类似，例如改变 $f$ 在 $x_n=n(n>a)$ 上的可列个函数值，不会改变 $\int_a^{+\infty} f$收玫性，但是却可能改变极限 $f(+\infty)$ 的存在性。一个比较合理的选择是在以下讨论中假设 $f \in C[a,+\in

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