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广义积分的绝对收敛性判别法

## 11.3.1 广义积分的绝对收敛性判别法
首先要指出，广义积分有两种不同的收玫性，它们在一系列方面具有本质差异．为此引入下列概念。

定义 11.3 设 $f$ 在 $[a, b)$ 上以 $b$ 为惟一奇点。若广义积分 $\int_a^b|f(x)| d x$ 收敛，则称广义积分 $\int_a^b f(x) d x$ 绝对收敛，也称 $f$ 在 $[a, b)$ 上绝对可积．

若广义积分 $\int_a^b f(x) d x$ 收敛，但 $\int_a^b|f(x)| d x$ 发散，则称 $\int_a^b f(x) d x$ 为条件收敛，也称 $f$ 在 $[a, b)$ 上条件可积．

当然对于保号函数来说，其广义积分收敛和绝对收敛没有区别。但后面将会看到，确实存在收敛而不绝对收敛的广义积分。

首先建立这方面的最基本事实。

> 定理 11.6 绝对收敛的广义积分一定收敛。

证 设 $b$ 为惟一奇点．从 $\int_a^b f(x) d x$ 绝对收敛出发，根据 Cauchy 收敛准则的必要性，对 $\forall \varepsilon>0, \exists b_0, \forall b^{\prime}, b^{\prime \prime} \in\left(b_0, b\right):\left|\int_{b^{\prime}}^{b^{\prime \prime}}\right| f(x)| d x|<\varepsilon$ 。于是同时就有

$$
\left|\int_{b^{\prime}}^{b^{\prime \prime}} f(x) d x\right| \leqslant\left|\int_{b^{\prime}}^{b^{\prime \prime}}\right| f(x)|d x|<\varepsilon
$$

再根据 Cauchy 收玫准则的充分性，可见 $f$ 在 $[a, b)$ 上的广义积分收敛．

广义积分的比较判别法 设两个函数 $f, g$ 在 $[a, b)$ 上以 $b$ 为惟一奇点，且 $|f(x)| \leqslant|g(x)| \forall x \in[a, b)$ ，则从 $\int_a^b g$ 绝对收玫可推出 $\int_a^b f$ 绝对收玫，反之，从 $\int_a^b|f|$ 发散可推出 $\int_a^b|g|$ 发散。

证 1 证前一半即可．设 $\int_a^b|g|$ 收玫，则从 Cauchy 收玫准则，对 $\varepsilon>0, \exists b_0 \in$ $(a, b), \forall b^{\prime}, b^{\prime \prime} \in\left(b, b_0\right):\left|\int_{b^{\prime}}^{b^{\prime \prime}}\right| g| |<\varepsilon$ 。这时就有

$$
\left|\int_{b^{\prime}}^{b^{\prime \prime}}\right| f\left|\left|\leqslant\left|\int_{b^{\prime}}^{b^{\prime \prime}}\right| g\right|\right|<\varepsilon,
$$

因此根据 Cauchy 收玫准则知道 $|f|$ 在 $[a, b)$ 上可积．
从定理11．1可知，非负函数的广义积分的玫散性不用 Cauchy 收敛准则也可以解决．这就是下一个证明的内容．

证 2 从定理11．1可见，在 $|g|$ 可积时，作为积分上限 $b^{\prime}$ 的函数 $\int_a^{b^{\prime}}|g|$ 是 $[a, b)$上的单调增加有上界的函数。因此从

$$
\int_a^{b^{\prime}}|f| \leqslant \int_a^{b^{\prime}}|g|
$$

可见，左边的积分作为 $b^{\prime}$ 的函数也是如此，因此当 $b^{\prime} \rightarrow b^{-}$时收玫．
例题 11.28 证明 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{1+x^2} d x$ 绝对收敛．
证 惟一奇点为 $+\infty$ ．利用不等式 $\left|\frac{\sin x}{1+x^2}\right| \leqslant \frac{1}{1+x^2} \forall x$ 成立，而广义积分

证 惟一奇点为 $+\infty$ ．利用不等式 $\left|\frac{\sin x}{1+x^2}\right| \leqslant \frac{1}{1+x^2} \forall x$ 成立，而广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{ d x}{1+x^2}=\frac{\pi}{2}$ 的收玫性是已知的，因此所求证的结论成立．

例题 11.29 证明 $\int_0^1 \frac{\ln \sin x}{\sqrt{x}} d x$ 绝对收敛．
分析 $x=0$ 为惟一奇点．问题是如何处理 $\ln \sin x$ ．
这里容易犯的一种错误是：从 $0<\sin x<x \forall 0<x<1$ 出发写出 $|\ln \sin x| \leqslant$ $|\ln x|$ ．但是实际上恰恰相反，只能得到 $|\ln \sin x|>|\ln x|$ ．因此这样做是错误的．

证 用 L＇Hospital 法则可以得到 $\ln \sin x \sim \ln x\left(x \rightarrow 0^{+}\right)$，因此存在 $C>1$ ，使得 $|\ln \sin x| \leqslant C|\ln x|$ 在 $[0,1]$ 上成立．然后利用对数函数 $y=\ln x$ 在 $x=0$ 右侧为无穷大量，但与幂函数 $1 / x^{\varepsilon}(\varepsilon>0)$ 当 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷大量相比，却是无穷小量，即有

$$
\ln x=o\left(\frac{1}{x^{\varepsilon}}\right)\left(x \rightarrow 0^{+}\right), \text {也就是 } \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\varepsilon} \ln x=0,
$$

其中 $\varepsilon>0$ 可以是任意一个正数．由于本题的被积函数 $\frac{\ln \sin x}{\sqrt{x}}$ 的分母 $x^{1 / 2}$ 的指数离开 1 还有 $1 / 2$ 的余地，因此可取 $\varepsilon=1 / 4, \exists x_0 \in(0,1), \forall x \in\left(0, x_0\right)$ ，成立

$$
|\ln x|<\frac{1}{x^{1 / 4}} \forall x \in\left(0, x_0\right) .
$$

这样就在 $\left(0, x_0\right)$ 上成立估计式

$$
\left|\frac{\ln \sin x}{\sqrt{x}}\right| \leqslant \frac{C|\ln x|}{\sqrt{x}}<\frac{C}{x^{1 / 2}} \cdot \frac{1}{x^{1 / 4}}=\frac{C}{x^{3 / 4}}
$$

利用 $\int_0^1 \frac{d x}{x^{3 / 4}}$ 收玫，可见本题的广义积分收玫．
注 这里要看到，对于本题中只有一个奇点 $x=0$ 的广义积分来说，只要对某个 $x_0 \in(0,1)$ ，证明 $\left[0, x_0\right]$ 上的广义积分收敛就足够了．因为在 $\left[x_0, 1\right]$ 上的积分只是常义积分，它的收玫性没有问题。

上一个例题中实际上已经用了等价量方法，这在很多情况下要比寻找比较判别法中的不等式关系要方便一些．这就是下面的等价量判别法的内容，证明从略。

广义积分的等价量判别法 设 $f, g$ 于 $[a, b)$ 上均以 $b$ 为惟一奇点，且有等价量关系：

$$
|f(x)| \sim|g(x)|\left(x \rightarrow b^{-}\right)
$$

则 $\int_a^b|f|$ 与 $\int_a^b|g|$ 同敛散。
例题 11.30 讨论积分 $\int_0^{+\infty} \frac{y^{a-1}}{|y-1|^{a+b}} d y$ 的玫散性，其中 $a, b$ 为参数．
解 这里有 3 个奇点：$x=0,1,+\infty^{(1)}$ ．对它们分别用等价量判别法即可．下面

的依据是例题 11.3 和 11.4 中的已知结论．
将被积函数记为 $f(y)$ ，从等价量关系

$$
|f(y)| \sim y^{a-1}\left(y \rightarrow 0^{+}\right)
$$

可见对于奇点 $x=0$ 而言，当 $a>0$ 时收敛．
从等价量关系

$$
|f(y)| \sim \frac{1}{|y-1|^{a+b}}(y \rightarrow 1)
$$

可见对于奇点 1 而言，当 $a+b<1$ 时收玫．
从等价量关系

$$
|f(y)| \sim \frac{1}{y^{b+1}}(y \rightarrow+\infty)
$$

可见对于奇点 $+\infty$ 而言，当 $b>0$ 时收玫．
合并以上讨论知道当 $a>0, b>0, a+b<1$ 时该广义积分收玫，否则发散．
注 本题的被积函数非负，对于非负函数的广义积分来说，收玫就是绝对收玫．

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