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广义积分的 Abel－Dirichlet 判别法

## 11.3.2 广义积分的 Abel－Dirichlet 判别法
对于变号的被积函数，其广义积分又不绝对收敛的情况，则上一节中的方法失效。这时最常用的工具是 Abel－Dirichlet 判别法。它依赖于将被积函数分解成满足一定条件的两个函数的乘积。
（1）Abel 判别法 设 $f, g$ 于 $[a, b)$ 上以 $b$ 为惟一奇点，且已知 $\int_a^b f$ 收敛，$g$ 单调有界，则 $\int_a^b f g$ 收敛。
（2）Dirichlet 判别法 设 $f, g$ 于 $[a, b)$ 上以 $b$ 为惟一奇点，且已知 $\int_a^{b^{\prime}} f$ 作为自变量 $b^{\prime}$ 的函数，在 $b^{\prime} \in[a, b)$ 上有界，$g$ 单调且 $\lim _{x \rightarrow b^{-}} g(x)=0$ ，则 $\int_a^b f g$ 收玫．

证 在两个判别法中的 $g$ 均为单调，因此在 $a \leqslant b^{\prime}<b^{\prime \prime}<b$ 时，在区间 $\left[b^{\prime}, b^{\prime \prime}\right]$上可以对于积分 $\int_{b^{\prime}}^{b^{\prime \prime}} f g$ 用积分第二中值定理，知道有 $\xi \in\left[b^{\prime}, b^{\prime \prime}\right]$ 使得成立

$$
\int_{b^{\prime}}^{b^{\prime \prime}} f(x) g(x) d x=g\left(b^{\prime}\right) \int_{b^{\prime}}^{\xi} f(x) d x+g\left(b^{\prime \prime}\right) \int_{\xi}^{b^{\prime \prime}} f(x) d x
$$

这是证明两个判别法的共同基础．以下分别讨论．
（1）这时有 $M>0$ ，使得 $|g(x)|<M \forall x \in[a, b]$ ．由于广义积分 $\int_a^b f$ 收玫，根据 Cauchy 收敛准则的必要性，对 $\forall \varepsilon>0, \exists b_0 \in(a, b), \forall b^{\prime}, b^{\prime \prime} \in\left(b_0, b\right)$ ，成立 $\int_{b^{\prime}}^{b^{\prime \prime}} f(x) d x \left\lvert\,<\frac{\varepsilon}{2 M}\right.$ ．于是从（11．6）可以估计得到
根据 Cauchy 收玫准则的必要性，对 $\forall \varepsilon>0, \exists b_0 \in(a, b), \forall b^{\prime}, b^{\prime \prime} \in\left(b_0, b\right)$ ，成立 $\left|\int_{b^{\prime}}^{b^{\prime \prime}} f(x) d x\right|<\frac{\varepsilon}{2 M}$ ．于是从（11．6）可以估计得到

$$
\left|\int_{b^{\prime}}^{b^{\prime \prime}} f(x) g(x) d x\right| \leqslant 2 M \cdot \frac{\varepsilon}{2 M}=\varepsilon
$$

再根据 Cauchy 收敛准则的充分性知道 $\int_a^b f g$ 收玫。
（2）从积分 $\int_a^{b^{\prime}} f(x) d x$ 在 $a \leqslant b^{\prime}<b$ 时有界的条件知存在 $M>0$ ，使得对 $\forall b^{\prime} \in[a, b)$ ，成立不等式 $\left|\int_a^{b^{\prime}} f(x) d x\right|<M$ ．这时对于 $b^{\prime}, b^{\prime \prime} \in[a, b)$ ，就有

$$
\left|\int_{b^{\prime}}^{b^{\prime \prime}} f(x) d x\right|=\left|\int_a^{b^{\prime \prime}} f(x) d x-\int_a^{b^{\prime}} f(x) d x\right|<2 M
$$

又利用 $g\left(b^{-}\right)=0$ 的条件，对 $\forall \varepsilon>0, \exists b_0 \in[a, b), \forall x \in\left[b_0, b\right):|g(x)|<\frac{\varepsilon}{4 M}$ ．
于是可以从（11．6）估计得到

$$
\left|\int_{b^{\prime}}^{b^{\prime \prime}} f(x) g(x) d x\right| \leqslant 2 \cdot \frac{\varepsilon}{4 M} \cdot 2 M=\varepsilon
$$

再根据 Cauchy 收玫准则的充分性知道 $\int_a^b f g$ 收玫。
注 一种常见的误解是以为用 Abel－Dirichlet 判别法判定某个广义积分收玫时，该积分就一定是条件收玫的．这是错误的．Abel－Dirichlet 判别法只是广义积
分收玫性的一种充分性判别法．对于变号函数来说，加绝对值号后的广义积分是否收敛完全是另一个问题，需要重新讨论。

下面是一个重要例子，其中证明广义积分收玫但不绝对收玫的两步都是解决同类问题中的典型方法。

例题 11.31 证明广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 条件收玫．
证 从 $\left|\int_0^A \sin x d x\right|=|-\cos x|_0^A \mid \leqslant 2$ 和 $\frac{1}{x} \downarrow 0(x \rightarrow+\infty)$ 可见只要用 Dirichlet 判别法就知道该广义积分收敛。

下面我们来证明该广义积分不绝对收玫。写出以下不等式：

$$
\frac{|\sin x|}{x} \geqslant \frac{\sin ^2 x}{x}=\frac{1-\cos 2 x}{2 x}
$$

由于 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x} d x$ 发散，而对于 $\int_0^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{x} d x$ 可以再一次用 Dirichlet 判别法知道它收敛，因此广义积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2 x}{x} d x$ 发散．最后用比较判别法，就知道本题的广义积分不绝对收敛。

例题11．32 讨论 $I=\int_0^{\infty} \sin x^2 d x$ 的敛散性．
解 作变量代换 $x^2=t$ ，则有

$$
I=\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{2 \sqrt{t}} d t
$$

利用 $\frac{1}{\sqrt{t}} \downarrow 0(t \rightarrow+\infty)$ ，用 Dirichlet 判别法即知积分收玫．利用例题 11.31 的方法，有

$$
\frac{|\sin t|}{\sqrt{t}} \geqslant \frac{\sin ^2 t}{\sqrt{t}}=\frac{1-\cos 2 t}{2 \sqrt{t}}
$$

就可以证明本例题中的广义积分收玫但不是绝对收敛．
例题 11.33 讨论广义积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x \arctan x}{x^\lambda} d x$ 的玫散性，其中参数 $\lambda>0$ ．
证 由于积分下限为 1 ，因此只有一个奇点 $+\infty$ 。
先看绝对收玫的可能性．记被积函数为 $f$ ，则当 $x \geqslant 1$ 时有 $|\sin x| \leqslant 1$ 和 $\arctan x<\frac{\pi}{2}$ 成立，可见有 $|f(x)| \leqslant \frac{\pi}{2 x^\lambda}$ ，因此 $\lambda>1$ 时广义积分绝对收玫．

对于 $0<\lambda \leqslant 1$ ，可以用 Dirichlet 判别法于 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^\lambda} d x$ ，知道它收敛．然后再利用 $\arctan x$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调有界，从而再用 Abel 判别法知道本题的广义积分收敛。

最后还需要讨论当 $0<\lambda \leqslant 1$ 时积分是绝对收敛还是条件收敛。再次用例题 11.31 中的方法，写出不等式
$$
|f(x)| \geqslant \frac{\sin ^2 x \arctan x}{x^\lambda}=\frac{(1-\cos 2 x) \arctan x}{2 x^\lambda}
$$

就可以分别证明当 $0<\lambda \leqslant 1$ 时， $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^\lambda} d x$ 发散， $\int_1^{+\infty} \frac{\cos 2 x \arctan x}{x^\lambda} d x$收玫，从而知道当 $0<\lambda \leqslant 1$ 时本题的广义积分为条件收玫．

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