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微分
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2023-10-18 14:15
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微分
微分是数学分析中的一个重要概念,在一元实函数领域发挥着重要的作用,它的本质是以直代曲,或者说,借助高阶无穷小近似一个函数的线性主部,也就是局部线性化。 对于多元函数的情形,微分有相应的推广,即全微分;对于向量值函数的情形,全微分也可以推广为导映射,详见向量值函数的微分。 ## 定义 在函数 $f(x)$ 的定义域中,设自变量 $x$ 有一个改变量 $\Delta x$ ,此时因变量也对应了一个改变量 $$ \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) $$ 在 $\Delta x \rightarrow 0$ 时如果上式可以写作下式 $$ \Delta y=A \Delta x+o(\Delta x) $$ 其中, $A$ 是仅和 $x$ 有关的常数,我们就称 $f(x)$ 在 $x$ 一点是可微的。 同时,我们记 $\mathrm{d} y=A \Delta x$ ,它便称作 $f(x)$ 在 $x$ 点的微分。 ## 与导数的关系 可以证明,一元实函数可导与可微是等价的,且有 $\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ ,其中 $\mathrm{d} x=\Delta x(\Delta x \rightarrow 0)$ ,需要注意的是,微分 $\mathrm{d} y$ 是 $x$ 以及 $\mathrm{d} x$ 的函数,它不仅仅与 $x$ 有关。 在明确一元实函数导数及微分的关系之后,我们可以借助导数的知识来解决微分问题,例如 $\mathrm{d}\left(x^2\right)=2 x \mathrm{~d} x$ 此外,导数的表示 $f^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 不再仅仅是形式记号,它可以是由微分进行简单的运算得到的一种新的等价表示方法。 ## 一阶微分的形式不变性 对于一阶微分来说,有一个重要的特性-一形式不变性,它在一元实函数的相关问题中占有很重要的一席之地。 设有复合函数 $y=f(u), u=g(x)$ ,由复合函数求导法则,有 $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) . $$ 进一步,由微分与导数的关系,有 $$ \mathrm{d} y=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f^{\prime}(g(x)) \mathrm{d} g(x)=f^{\prime}(u) \mathrm{d} u . $$ 这就是一阶微分的形式不变性,但要注意通常高阶微分不具有形式不变性。 ## 高阶微分。 像高阶导数那样,我们也可以定义函数 $f(x)$ 高阶微分,用递归的方法,先定义二阶微分 $$ \mathrm{d}^2 y=\mathrm{d}(\mathrm{d} y)=\mathrm{d}\left(y^{\prime} \mathrm{d} x\right)=y^{\prime \prime} \mathrm{d} x^2 . $$ 上式中 $(\mathrm{d} x)^2$ 在不引起混淆的情况下也记作 $\mathrm{d} x^2$. $f(x)$ 的 $n$ 阶微分定义为 $$ \mathrm{d}^n y=\mathrm{d}\left(\mathrm{d}^{n-1} y\right)=y^{(n)} \mathrm{d} x^n . $$ 有限增量公式 在很多问题中,使用有限增量公式会使问题变得简单,设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微,那么在该点的某邻域中有限增量公式的基本形式为 $$ \Delta y=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x+\omega(x) \Delta x . $$ 其中 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \omega(x)=\omega\left(x_0\right)=0$. 其优点是该等式易于控制,微分中的小。记号不便于进行运算。它还可以写为 $$ f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\omega(x)\left(x-x_0\right) $$ 其中 $\lim _{x \rightarrow x_0} \omega(x)=\omega\left(x_0\right)=0$.
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