最后更新: 2025-03-16 10:05 查看: 280 次纠错评论(0) 课件开VIP

积分应用学-函数图像的面积

## 12.1.1 由 $f(x), g(x)$ 围成的平面图形面积计算
从第九章开始已经讨论了由 $[a, b]$ 上的非负函数 $y=f(x)$ 的图像和 $y=0$ ， $x=a, x=b$ 围成的曲边梯形．按照目前的定义，它的面积就是 $\int_a^b f(x) d x$ ．

但是当 $f$ 在 $[a, b]$ 上变号时，积分 $\int_a^b f(x) d x$ 的几何意义实际上是图形在 $x$ 轴上方的部分面积减去图形在 $x$ 轴下方的部分面积．特别当 $f(x)<0 \forall x \in[a, b]$ 时，积分值 $\int_a^b f(x) d x<0$ ．由此可见，若约定面积大于 0 ，则就应当计算将函数 $f$ 取绝对值后的积分．例如在图 12.1 中为了求 4 块面积之和就需要计算 $\int_a^b|f(x)| d x$ ．

![图片](/uploads/2025-02/6f226c.jpg)

于是由 $[a, b]$ 上的两个函数 $f(x), g(x)$ 的图像围成的图形面积是

$$
S=\int_a^b|f(x)-g(x)| d x .
$$

如果在 $[a, b]$ 上处处成立 $f(x) \geqslant g(x)$ ，则当然在积分号下不必取绝对值．这相当于图形的上边界为 $f(x)$ ，下边界为 $g(x)$ 的情况．在图 12.2 中就是如此．

例题 12.1 求在 $[0,2 \pi]$ 上由正弦曲线 $y=$ $\sin x$ 和余弦曲线 $y=\cos x$ 所围成的面积．

解 1 这时的面积为下列积分：

$$
S=\int_0^{2 \pi}|\sin x-\cos x| d x
$$

然后如图 12.3 所示，可以先求出两条曲线的交点，将 $S$ 分成 3 个积分计算如下：
 ![图片](/uploads/2025-02/f88bf2.jpg)
 
 $$
\begin{aligned}
S & =\left(\int_0^{\frac{\pi}{4}}+\int_{\frac{5 \pi}{4}}^{2 \pi}\right)(\cos x-\sin x) d x+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}}(\sin x-\cos x) d x \\
& =2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}}(\sin x-\cos x) d x=\left.2(-\cos x-\sin x)\right|_{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{5 \pi}{4}} \\
& =2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=4 \sqrt{2} .
\end{aligned}
$$

注 在解 1 中利用了三角函数的性质看出面积 $S$ 等于在区间 $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上的面积的两倍，从而实际上只需计算一个积分再乘以 2 就够了．下面的方法更巧妙一点．

解 2 利用三角函数的和差角公式，又利用周期函数在周期长度区间上积分相等的事实（见例题10．31），则可计算如下（还可参见例题 10．19）：

$$
\begin{aligned}
S & =\int_0^{2 \pi}|\sin x-\cos x| d x=\sqrt{2} \int_0^{2 \pi}\left|\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right| d x \\
& =\sqrt{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{2 \pi-\frac{\pi}{4}}|\sin t| d t=\sqrt{2} \int_0^{2 \pi}|\sin t| d t=4 \sqrt{2}
\end{aligned}
$$

例题 12.2 设由 $y=\sin x, x=0, x=\frac{\pi}{2}$和 $y=t(0 \leqslant t \leqslant 1)$ 所围成的图形面积为 $S(t)$ （参见图 12．4），求其最大值和最小值．

解 1 计算出在 $[0,1]$ 上的函数表达式

$$
\begin{aligned}
S(t) & =\int_0^{\frac{\pi}{2}}|t-\sin x| d x \\
& =\int_0^{\arcsin t}(t-\sin x) d x+\int_{\arcsin t}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-t) d x \\
& =2 t \arcsin t+2 \sqrt{1-t^2}-\frac{\pi}{2} t-1
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-02/f08db6.jpg)

然后求导，得到 $S^{\prime}(t)=0$ 的根为 $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且从 $S^{\prime}(t)$ 先负后正，可判定其为最小值点。最小值为 $S\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}-1$ 。在端点处 $S(0)=1, S(1)=\frac{\pi}{2}-1$ ，可知最大值是 1 ，于 $t=0$ 达到．

解 2 此题有巧妙的初等解法，它也可以从导数的几何意义得到解释．观察两块面积在 $t$ 增加时的变化率，即导数．从图 12.4 上可直接读出它们的导数分别是 $\arcsin t$ 和 $-\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin t\right)$ ，相加后乘 -1 得到 $\frac{\pi}{2}-2 \arcsin t$ ，几何上恰是 $y=t$ 为 $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 所截下的中间一段的长度．这就导致下列初等几何解法．

在图 12.4 上用细线作出辅助曲线 $y=\cos x$ ，可看出 $S(t)$ 等同于下列两个图形的面积之和，其中第一个图形为：

$$
S_1=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right., \sin x \leqslant y \leqslant \cos x\right\}
$$

它与 $t$ 无关．第二个图形是 $y=t$ 和 $\sin x, \cos x$ 围成的一个三角形．从而只有当这个三角形退化为一点时面积达到最小．这就是取 $t$ 为 $\sin x$ 和 $\cos x$ 相交点的纵坐标 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．最大值点也可由此看出为 $t=0$ ．

![图片](/uploads/2025-02/5a7b4d.jpg)

例题 12.3 如图 12.5 所示，水平直线 $y=c$ 与三次曲线 $y=2 x-3 x^3$ 交于第一象限．求使得区域 $A$ 与区域 $B$的面积相等的 $c$ 值．

解 记交点中较大的为 $\eta$ ，则有 $\int_0^\eta\left(2 x-3 x^3-c\right) d x=$ 0 ．这导致 $\eta-\frac{3}{4} \eta^3-c=0$ ．再联合 $2 \eta-3 \eta^3=c$ ，即解得 $c=\frac{4}{9}$.

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：非负函数的广义积分与级数的联系

下一篇：参数方程形式下的面积公式

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)