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参数方程形式下的面积公式

## 12.1.2 参数方程形式下的面积公式
这里讨论两种情况．
第一种情况是函数关系 $y=y(x), a \leqslant x \leqslant b$ ，是由参数方程 $x=x(t), y=y(t)$ ， $\alpha \leqslant t \leqslant \beta$ 给定的．这就是说或者没有 $y(x)$ 的显式表达式，或者虽有但使用不方便，而参数方程表达式却比较简单．这里可以回顾第六章 $\S 6.3 .4$ 开始时的解说，即函数的自变量仍然是 $x$ ，因变量仍然是 $y, t$ 所起的是中介作用，即在 $y=y(t(x))$ 中的中间变量．

为此当然需要能够从 $x=x(t)$ 定出反函数 $t=t(x)$ ，从而得到 $y=y(t(x))$ ．同时 $t$ 的区间 $[\alpha, \beta]$ 的两个端点与 $x$ 的区间 $[a, b]$ 一一对应．这里有两种可能，即 $x=x(t)$ 为严格单调增加和严格单调减少的两种情况．

这时的面积计算实际上就是对 $\int_a^b y(x) d x$ 用换元法．
对于 $x(t)$ 严格单调增加的情况，则 $x(\alpha)=a, x(\beta)=b$ ，于是

$$
S=\int_a^b y(x) d x=\int_\alpha^\beta y(x(t)) x^{\prime}(t) d t=\int_\alpha^\beta y(t) d x(t) .
$$

反之，对于 $x(t)$ 严格单调减少的情况，则有 $x(\alpha)=b, x(\beta)=a$ ，得到
$$
S=\int_a^b y(x) d x=\int_\beta^\alpha y(x(t)) x^{\prime}(t) d t=-\int_\alpha^\beta y(t) d x(t)
$$

例题 12.4 求旋轮线一拱与 $x$ 轴包围的面积．旋轮线方程为

$$
x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t), \quad 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi .
$$

如图 12.6 所示，旋轮线是半径为 $a$ 的圆周上的固定点在圆周滚动时描出的轨迹。在该图中设一开始时圆周上的这个点的位置在原点处，然后圆周向右滚动。圆周滚动一周所得的旋轮线称为一拱．图中描出圆周滚动的角度为 $t$ 时的位置．由此即可得出题中的旋轮线的参数方程．
 ![图片](/uploads/2025-02/89f307.jpg)
 解 直接用公式（12．1）即有

$$
\begin{aligned}
S & =\int_0^{2 \pi} y(t) d x(t) \\
& =\int_0^{2 \pi} a^2(1-\cos t)^2 d t \\
& =a^2\left(2 \pi+\int_0^{2 \pi} \cos ^2 t d t\right)=3 a^2 \pi
\end{aligned}
$$

第二种情况是考虑由参数方程表示的封闭曲线所围图形的面积．
为简单起见，只考虑满足以下条件的封闭曲线，即平行于 $y$ 轴的直线与该闭曲线至多交于两点．

将曲线上 $x$ 坐标最小的（惟一）点记为 $A, x$ 坐标最大的（惟一）点记为 $B$ ，又设曲线上的点从 $A$ 到 $B$ 再回到 $A$ 时对应的参数 $t$ 从 $\alpha$ 到 $\gamma$ 再到 $\beta$ ，而且是沿逆时针方向．（更一般些应当说成点在前进时邻近的曲线内部的点始终在其左侧．）参数 $t=\alpha$ 和 $t=\beta$ 对应于同一点 $A$ ．设 $A$ 与 $B$ 对应于 $x=a$ 和 $x=b$ ，

![图片](/uploads/2025-02/6514bb.jpg)

又设在 $x \in(a, b)$ 时，封闭曲线上的两个点的纵坐标分别为 $y_2(x)$ 和 $y_1(x)$ ，这就是封闭曲线所限制的平面图形的上边界和下边界。作代换 $x=x(t)$ ，并应用 （12．1）和（12．2），就可以计算面积如下：

$$
S=\int_a^b\left[f_2(x)-f_1(x)\right] d x=-\int_\gamma^\beta y(t) d x(t)-\int_\alpha^\gamma y(t) d x(t)=-\int_\alpha^\beta y(t) d x(t) .
$$

对上述公式用分部积分法可以得到另一个公式：

$$
S=-\left.y(t) x(t)\right|_\alpha ^\beta+\int_\alpha^\beta x(t) d y(t)=\int_\alpha^\beta x(t) d y(t)
$$

将这两个公式相加除 2 则得到第三个公式，也是用得最多的公式：

$$
S=\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta(x(t) d y(t)-y(t) d x(t))
$$

注 使用以上公式时对封闭曲线的限制可以放宽，此外参数值的起点（终点）也可以任取．这些将在多元微积分的曲线积分理论中给出证明，这里从略。

例题12．5 求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 所围的面积．
解 对此题将举出几种方法来进行比较．
引入参数方程 $x=a \cos t, y=b \sin t$ ，用公式（12．3）则有

$$
S=-\int_0^{2 \pi} y d x=-\int_0^{2 \pi} a b\left(-\sin ^2 t\right) d t=\pi a b
$$

用公式（12．4）则有

$$
S=\int_0^{2 \pi} x d y=\int_0^{2 \pi} a b\left(\cos ^2 t\right) d t=\pi a b
$$

用公式（12．5）则有

$$
S=\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} x d y-y d x=\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} a b\left(\cos ^2 t+\sin ^2 t\right) d t=\pi a b
$$

直接用直角坐标方程计算则有

$$
\begin{aligned}
S & =4 \int_0^a b \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} d x \quad \text { (用代换 } x=a \cos t \text { ) } \\
& =4 a b \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 t d t=\pi a b . \quad \square
\end{aligned}
$$

注 以上几个解法说明用参数方程进行计算可能会比用直角坐标方便，公式 （12．5）也可能会比前两个公式更好。

例题12．6 求 Descartes 叶形线 $x^3+y^3=x y$ 在第一象限的环形围成的面积 （参见第一册图8．25）．

解 在例题 8.37 中引入的参数方程对于这里的计算是非常合适的．由 $y=t x$引入参数，即以点 $(x, y)$ 到原点的连接线的斜率作为参数 $t$ ，这样就得到

$$
x(t)=\frac{t}{1+t^3}, \quad y(t)=\frac{t^2}{1+t^3}
$$

并计算得到：

$$
x^{\prime}(t)=\frac{1-2 t^3}{\left(1+t^3\right)^2}, \quad y^{\prime}(t)=\frac{2 t-t^4}{\left(1+t^3\right)^2}
$$

从参数的几何意义看出当 $t$ 从 0 增加到 $+\infty$ 时点 $(x(t), y(t))$ 描出第一象限的环形．因此用公式（12．5）就可以求出面积为

$$
\begin{aligned}
S & =\frac{1}{2} \int_0^{+\infty}\left(x(t) y^{\prime}(t)-y(t) x^{\prime}(t)\right) d t=\frac{1}{2} \int_0^{+\infty} \frac{t^2}{\left(1+t^3\right)^2} d t \\
& =\frac{1}{2} \cdot\left(-\left.\frac{1}{3\left(1+t^3\right)}\right|_0 ^{+\infty}\right)=\frac{1}{6} .
\end{aligned}
$$

注 这里虽然出现广义积分，但理论上没有问题．实际上从广义积分的换元法计算可以看出，在换元过程中，广义积分可以变为常义积分，常义积分也可以变为广义积分．当然容易理解，本题的面积难以在直角坐标下计算，但也可以用下一小节的极坐标以避免广义积分（见 $[9, \S 143]$ ），只是计算稍复杂一点。

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