最后更新: 2025-03-16 10:06 查看: 481 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

参数方程形式下的面积公式

## 12.1.2 参数方程形式下的面积公式
这里讨论两种情况．
第一种情况是函数关系 $y=y(x), a \leqslant x \leqslant b$ ，是由参数方程 $x=x(t), y=y(t)$ ， $\alpha \leqslant t \leqslant \beta$ 给定的．这就是说或者没有 $y(x)$ 的显式表达式，或者虽有但使用不方便，而参数方程表达式却比较简单．这里可以回顾第六章 $\S 6.3 .4$ 开始时的解说，即函数的自变量仍然是 $x$ ，因变量仍然是 $y, t$ 所起的是中介作用，即在 $y=y(t(x))$ 中的中间变量．

为此当然需要能够从 $x=x(t)$ 定出反函数 $t=t(x)$ ，从而得到 $y=y(t(x))$ ．同时 $t$ 的区间 $[\alpha, \beta]$ 的两个端点与 $x$ 的区间 $[a, b]$ 一一对应．这里有两种可能，即 $x=x(t)$ 为严格单调增加和严格单调减少的两种情况．

这时的面积计算实际上就是对 $\int_a^b y(x) d x$ 用换元法．
对于 $x(t)$ 严格单调增加的情况，则 $x(\alpha)=a, x(\beta)=b$ ，于是

$$
S=\int_a^b y(x) d x=\int_\alpha^\beta y(x(t)) x^{\prime}(t) d t=\int_\alpha^\beta y(t) d x(t) .
$$

反之，对于 $x(t)$ 严格单调减少的情况，则有 $x(\alpha)=b, x(\beta)=a$ ，得到
$$
S=\int_a^b y(x) d x=\int_\beta^\alpha y(x(t)) x^{\prime}(t) d t=-\int_\alpha^\beta y(t) d x(t)
$$

例题 12.4 求旋轮线一拱与 $x$ 轴包围的面积．旋轮线方程为

$$
x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t), \quad 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi .
$$

如图 12.6 所示，旋轮线是半径为 $a$ 的圆周上的固定点在圆周滚动时描出的轨迹。在该图中设一开始时圆周上的这个点的位置在原点处，然后圆周向右滚动。圆周滚动一周所得的旋轮线称为一拱．图中描出圆周滚动的角度为 $t$ 时的位置．由此即可得出题中的旋轮线的参数方程．
 ![图片](/uploads/2025-02/89f307.jpg)
 解 直接用公式（12．1）即有

$$
\begin{aligned}
S & =\int_0^{2 \

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：积分应用学-函数图像的面积

下一篇：极坐标形式下的面积计算

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)