最后更新: 2025-03-16 10:07 查看: 124 次反馈刷题

极坐标形式下的面积计算

## 12.1.3 极坐标形式下的面积计算
设曲线的极坐标方程 $r=r(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta$ ，要求由该曲线与两条直线 $\theta=\alpha$ ， $\theta=\beta$ 围成的平面图形的面积．（这里假设始终满足 $r(\theta) \geqslant 0$ ．）

虽然可以将曲线方程写成参数方程的形式：$x=r(\theta) \cos \theta, y=r(\theta) \sin \theta$ ，但这只是图形边界的一部分，还不能直接利用前面的公式．比较方便的做法是直接用 Riemann 积分的定义于极坐标下的图形 ${ }^{(1)}$ 。

对于区间 $[\alpha, \beta]$ 作分划 $P=\left\{\theta_0, \theta_1, \cdots, \theta_n\right\}$ ，记 $\Delta \theta_i=\theta_i-\theta_{i-1}$ ，就可以将上面所说的图形分划成为 $n$ 个扇形．如图 12.8 所示，其中还如图 10.1 那样将上述每一个扇形用两个圆扇形夹在其中。

然后可以在每个子区间中取介点 $\xi_i \in\left[\theta_{i-1}, \theta_i\right]$ ， $i=1, \cdots, n$ ，用半径为 $r\left(\xi_i\right)$ 的圆扇形来近似每一个扇形，这样就得到 Riemann 和：
 ![图片](/uploads/2025-02/1be667.jpg)
 
 $$
\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n r^2\left(\xi_i\right) \Delta \theta_i
$$

由此可见只要 $r=r(\theta)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上连续，当分划的细度趋于 0 时就有极限，我们就将它作为图形的面积．从上述 Riemann 和可见这个极限就是下列积分

$$
S=\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2(\theta) d \theta
$$

当然这里在理论上有一点问题．即由这个公式所计算得到的面积和前面对于曲边梯形的面积定义是否一致？这是可以证明的．留作练习．

例题12．7 求由双纽线 $r^2=a^2 \cos 2 \theta$ 所围图形的面积．
这里首先还是要作图，确定出它的图形后就不难知道只要将 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的面积乘 4 即可用公式计算（双纽线的图像见第一册图 8．24（4））．这就是

$$
S=4 \cdot \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} a^2 \cos 2 \theta d \theta=a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t d t=a^2
$$

例题 12.8 求下列三个圆的公共部分的面积：$x^2+y^2 \leqslant 4, \quad(x-2)^2+y^2 \leqslant 4, \quad x^2+$ $(y-2)^2 \leqslant 4$ ．

解 如 图 12.9 所示，要计算的是以 $O, A, B$ 为顶点的一个曲边三角形的面积，在图中用粗黑线标出。

容易计算出点 $A, B$ 到 $O$ 的连接线将第一象限的直角恰好三等分，因此圆弧 $\widetilde{A B}$ 对应的圆扇形面积就是半径为 2 的圆的 $1 / 12$ ，即 $\pi / 3$ ．

![图片](/uploads/2025-02/5d1624.jpg)

余下即需要计算两个小弓形的面积．由于它们相等，因此只要算出一个的面积乘以 2 即可。圆弧 $\widetilde{O A}$ 的极坐标方程可以从其直角坐标方程 $x^2+(y-2)^2=4$ 求出为 $r=4 \sin \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6$ ，因此两个弓形的面积之和为

$$
\int_0^{\frac{\pi}{6}} 16 \sin ^2 \theta d \theta=8 \int_0^{\frac{\pi}{6}}(1-\cos 2 \theta) d \theta=\frac{4}{3} \pi-2 \sqrt{3}
$$

最后的答案是 $S=\frac{5 \pi}{3}-2 \sqrt{3}$ ．

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