最后更新: 2025-03-16 10:07 查看: 436 次纠错评论(0) 课件开VIP

极坐标形式下的面积计算

## 12.1.3 极坐标形式下的面积计算
设曲线的极坐标方程 $r=r(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta$ ，要求由该曲线与两条直线 $\theta=\alpha$ ， $\theta=\beta$ 围成的平面图形的面积．（这里假设始终满足 $r(\theta) \geqslant 0$ ．）

虽然可以将曲线方程写成参数方程的形式：$x=r(\theta) \cos \theta, y=r(\theta) \sin \theta$ ，但这只是图形边界的一部分，还不能直接利用前面的公式．比较方便的做法是直接用 Riemann 积分的定义于极坐标下的图形 ${ }^{(1)}$ 。

对于区间 $[\alpha, \beta]$ 作分划 $P=\left\{\theta_0, \theta_1, \cdots, \theta_n\right\}$ ，记 $\Delta \theta_i=\theta_i-\theta_{i-1}$ ，就可以将上面所说的图形分划成为 $n$ 个扇形．如图 12.8 所示，其中还如图 10.1 那样将上述每一个扇形用两个圆扇形夹在其中。

然后可以在每个子区间中取介点 $\xi_i \in\left[\theta_{i-1}, \theta_i\right]$ ， $i=1, \cdots, n$ ，用半径为 $r\left(\xi_i\right)$ 的圆扇形来近似每一个扇形，这样就得到 Riemann 和：
 ![图片](/uploads/2025-02/1be667.jpg)
 
 $$
\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n r^2\left(\xi_i\right) \Delta \theta_i
$$

由此可见只要 $r=r(\theta)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上连续，当分划的细度趋于 0 时就有极限，我们就将它作为图形的面积．从上述 Riemann 和可见这个极限就是下列积分

$$
S=\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2(\theta) d \theta
$$

当然这里在理论上有一点问题．即由这个公式所计算得到的面积和前面对于曲边梯形的面积定义是否一致？这是可以证明的．留作练习．

例题12．7 求由双纽线 $r^2=a^2 \cos 2 \theta$ 所围图形的面积．
这里首先还是要作图，确定出它的图形后就不难知道只要将 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的面积乘 4 即可用公式计算（双纽线的图像见第一册图 8．24（4））．这就是

$$
S=4 \cdot \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} a^2 \cos 2 \theta d \theta=a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos t d t=a^2
$$

例题 12.8 求下列三个圆的公共部分的面积：$x^2+y^2 \leqslant 4, \quad(x-2)^2+y^2 \leqslant 4, \quad x^2+$ $(y-2)^2 \leqslant 4$ ．

解 如 图 12.9 所示，要计算的是以 $O, A, B$ 为顶点的一个曲边三角形的面积，在图中用粗黑线标出。

容易计算出点 $A, B$ 到 $O$ 的连接线将第一象限的直角恰好三等分，因此圆弧 $\widetilde{A B}$ 对应的圆扇形面积就是半径为 2 的圆的 $1 / 12$ ，即 $\pi / 3$ ．

![图片](/uploads/2025-02/5d1624.jpg)

余下即需要计算两个小弓形的面积．由于它们相等，因此只要算出一个的面积乘以 2 即可。圆弧 $\widetilde{O A}$ 的极坐标方程可以从其直角坐标方程 $x^2+(y-2)^2=4$ 求出为 $r=4 \sin \theta, 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6$ ，因此两个弓形的面积之和为

$$
\int_0^{\frac{\pi}{6}} 16 \sin ^2 \theta d \theta=8 \int_0^{\frac{\pi}{6}}(1-\cos 2 \theta) d \theta=\frac{4}{3} \pi-2 \sqrt{3}
$$

最后的答案是 $S=\frac{5 \pi}{3}-2 \sqrt{3}$ ．

其他版本
【高等数学】平面图形的面积

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：参数方程形式下的面积公式

下一篇：曲线弧长的计算

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)