最后更新: 2025-03-16 08:51 查看: 126 次反馈同步训练

不定积分计算-代入法

## 9.2.3 换元法 2 —代入法
将换元法 1 倒过来就得到换元法 2 ．它的基本思路很简单，就是在被积表达式 $f(x) d x$ 中用可微函数 $x=x(t)$ 代入，这样就得到

$$
\boxed{
\int f(x) d x=\int f(x(t)) x^{\prime}(t) d t
}
$$

若右边的不定积分为 $F(t)+C$ ，则用反函数 $t=t(x)$ 代入，就得到原来的不定积分为 $F(t(x))+C$ ．

下面我们先举例说明如何应用这种新的换元法，最后对其正确性给出证明．

**例题9.28** 求 $I=\int \frac{ d x}{\sqrt{x^2+a^2}}$ ．（即 $\S 9.1 .3$ 的基本不定积分表中第 7 组的第二个公式中的一种情况．）

解 令 $x=a \tan t$ ，并利用基本不定积分表中第 8 组的第二个公式，就有

$$
I=\int \frac{a \sec ^2 t}{a \sec t} d t=\int \frac{d t}{\cos t}=\ln \left|\tan \left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C
$$

为了将右边写为 $x$ 的函数，可以利用恒等式 $\tan \frac{t}{2}=\frac{1-\cos t}{\sin t}$ ，就有

$$
\begin{aligned}
I & =\ln \left|\frac{1-\cos (t+\pi / 2)}{\sin (t+\pi / 2)}\right|+C=\ln \left|\frac{1+\sin t}{\cos t}\right|+C \\
& =\ln \left|\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}}{\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}}}\right|+C=\ln \left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C .
\end{aligned}
$$

注 不套用积分表中的公式可如下计算：

$$
\int \frac{d t}{\cos t}=\int \frac{d \sin t}{1-\sin ^2 t}=-\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1-\sin t}{1+\sin t}\right|+C=\ln \left|\frac{1+\sin t}{\cos t}\right|+C
$$

下面用换元法 2 来回顾前面的几个题。
（例题 9．18）求 $I=\int \frac{ d x}{x \sqrt{x^2+1}}$ ．
解 当时是用倒代换求解，若看不出这条路，则可以令 $x=\tan t$ ．于是

$$
\begin{aligned}
I & =\int \frac{\sec ^2 t d t}{\tan t \sec t}=\int \frac{d t}{\sin t} \\
& =\ln \left|\tan \frac{t}{2}\right|+C=\ln \left|\frac{\sin t}{1+\cos t}\right|+C \\
& =\ln \left|\frac{x}{1+\sqrt{x^2+1}}\right|+C .
\end{aligned}
$$

（例题 9．19）求 $I=\int \frac{ d x}{\sqrt{x}(1+x)}$ ．
解 令 $\sqrt{x}=t$ ，即 $x=t^2$ ，于是

$$
I=\int \frac{2 t d t}{t\left(1+t^2\right)}=2 \int \frac{d t}{1+t^2}=2 \arctan t+C=2 \arctan \sqrt{x}+C
$$

（例题 9．20）求 $I=\int \frac{ d x}{x\left(1+x^n\right)}$ ．
解 令 $x^n=t$ ，即 $x=t^{1 / n}$ ，这样就有

$$
\begin{aligned}
I & =\int \frac{\frac{1}{n} t^{1 / n-1} d t}{t^{1 / n}(1+t)}=\frac{1}{n} \int \frac{d t}{t(1+t)} \\
& =\frac{1}{n} \int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\right) d t=\frac{1}{n

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：不定积分计算-换元法

下一篇：不定积分计算-分部积分法

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)