最后更新: 2025-03-16 08:52 查看: 439 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

不定积分计算-分部积分法

## 分部积分法
这是求不定积分的另一个基本方法，它与两种换元法一起成为求不定积分的主要工具．从前面看到两种换元法比较接近，有时可以按照各人偏好有所选择，但分部积分法则往往是换元法不能取代的工具。

换元法与复合函数求导的链式法则有密切联系．分部积分法则来自于两个函数乘积的求导法则．

设 $u=u(x), v=v(x)$ 都是可微函数，则有 $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$ ，因此就有

$$
\int\left(u^{\prime} v+u v^{\prime}\right) d x=\int v d u+\int u d v=u v+C
$$

于是就得到分部积分公式

$$
\boxed{
\int u d v=u v-\int u d v  ...(9.3)
}
$$

这里要注意几点：
（1）在（9．3）的右边也有一个不定积分，因此不必再写任意常数 $C$ ．
（2）只有在（9．3）右边的不定积分 $\int u d v$ 比左边的 $\int v d u$ 容易计算时，该公式才对于左边积分的计算是有用的．实际上分部积分公式的主要思想就是告诉我们，这两个不定积分之和是已知的，因此只要能够求出其中之一，则另一个也能得到．

分部积分公式只不过来自于一个熟知的求导公式 $(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}$ ，但却非常有用，往往可以解决换元法解决不了的问题。

## 例题
`例`求 $I=\int x e ^x d x$ ．
分析 我们先举出几种不成功的尝试．例如，用换元法，令 $e ^x=t$ ，则 $x=\ln t$ ， $d x=\frac{1}{t} d t$ ．于是

$$
I=\int t \ln t \cdot \frac{1}{t} d t=\int \ln t d t
$$

仍然无从下手．（其实是有收获的，即若本题能解决，则就可得到 $\int \ln t d t$ ．）
另一个办法，就是

$$
I=\int e^x d\left(\frac{x^2}{2}\right)=\frac{x^2}{2} e^x-\int \frac{x^2}{2} d\left(e^x\right)
$$

这里也不知道如何做下去。但可以观察到。原来的困难就在于被积函数除了 $e ^x$ 之外多了一个因子 $x$ 。通过上面的分部积分，这个因子次数反而升高了。可见方向错了．若倒转方向，就有希望解决问题。这就是应用分部积分法时的关键问题，即如何正确选择 $u$ 与 $v$ ．
解 同样用分部积分法，有

$$
\begin{aligned}
I & =\int x d\left(e^x\right)=x e^x-\int e^x d x \\
& =x e^x-e^x+C=(x-1) e^x+C .
\end{aligned}
$$

现在回过头来解决上面分析中见到的求对数函数的原函数问题．它是用分部积分法的一个典型例子，它的答案也经常有用．

`例` 求 $I=\int \ln x d x$ ．
解 用分部积分法：
$$
\begin{aligned}
I & =x \ln x-\int x d(\ln x) \\
& =x \ln x-\int x \cdot \frac{1}{x} d x \\
& =x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C
\end{aligned}
$$

注 验证：从 $(x \ln x-x)^{\prime}=\ln x+x \cd

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