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数学分析
第五篇一元函数积分学
不定积分的可积性概念
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更新:
2025-03-16 08:51
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不定积分的可积性概念
## 9.3.1 不定积分的可积性概念 在前两节的基础上我们已经能够求出许多初等函数的原函数(或不定积分),而且这些原函数也都是初等函数.现在的问题是:这样的计算能走多远?是否所有初等函数都能够用某些技巧计算出它们的原函数(或不定积分)? 有一段时间人们对于求不定积分非常热心,发明了许多技巧,得到了许多结果.但是这种情况没有持续很久,因为 刘维尔 Liouville 首先证明,初等函数的原函数(或不定积分)不一定是初等函数,当然不可能用上一节中的各种技巧或更复杂的技巧计算出来。 例如下面几个不定积分就是如此: $$ \begin{aligned} & \int \frac{e^x}{x} d x, \quad \int \frac{d x}{\ln x}, \quad \int \frac{\sin x}{x} d x, \quad \int e^{-x^2} d x \\ & \int \sin x^2 d x, \quad
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