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数学分析
第六篇一元函数不定积分与定积分
不定积分的可积性概念
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2025-03-16 08:51
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不定积分的可积性概念
## 9.3.1 不定积分的可积性概念 在前两节的基础上我们已经能够求出许多初等函数的原函数（或不定积分），而且这些原函数也都是初等函数．现在的问题是：这样的计算能走多远？是否所有初等函数都能够用某些技巧计算出它们的原函数（或不定积分）？ 有一段时间人们对于求不定积分非常热心，发明了许多技巧，得到了许多结果．但是这种情况没有持续很久，因为 刘维尔 Liouville 首先证明，初等函数的原函数（或不定积分）不一定是初等函数，当然不可能用上一节中的各种技巧或更复杂的技巧计算出来。 例如下面几个不定积分就是如此： $$ \begin{aligned} & \int \frac{e^x}{x} d x, \quad \int \frac{d x}{\ln x}, \quad \int \frac{\sin x}{x} d x, \quad \int e^{-x^2} d x \\ & \int \sin x^2 d x, \quad \int \sqrt{1-k^2 \sin ^2 x} d x(0<k<1) \end{aligned} $$ > 今后将一个初等函数的不定积分仍是初等函数的情况称为可积，意思就是＂积得出＂，反之则称为不可积，也就是＂积不出＂。 这个事实也可以换一个说法．设 $A$ 是区间上初等函数全体所成集合，用 $D$ 表示求导算子（即从一个函数得到其导函数的映射），用 $D A$ 表示对 $A$ 中的每个初等函数求导得到的导函数集合． 从初等函数的定义（见第三章）和求导数运算的四则运算法则和链式法则可以知道，初等函数的导函数仍然是初等函数，即有 $D A \subset A$ ．Liouville 的发现就是 $$ D A \varsubsetneqq A . $$ 这表明在差集 $A-D A
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