最后更新: 2025-03-16 08:51 查看: 103 次反馈刷题

不定积分的可积性概念

##  9.3.1 不定积分的可积性概念
在前两节的基础上我们已经能够求出许多初等函数的原函数（或不定积分），而且这些原函数也都是初等函数．现在的问题是：这样的计算能走多远？是否所有初等函数都能够用某些技巧计算出它们的原函数（或不定积分）？

有一段时间人们对于求不定积分非常热心，发明了许多技巧，得到了许多结果．但是这种情况没有持续很久，因为 刘维尔 Liouville  首先证明，初等函数的原函数（或不定积分）不一定是初等函数，当然不可能用上一节中的各种技巧或更复杂的技巧计算出来。

例如下面几个不定积分就是如此：

$$
\begin{aligned}
& \int \frac{e^x}{x} d x, \quad \int \frac{d x}{\ln x}, \quad \int \frac{\sin x}{x} d x, \quad \int e^{-x^2} d x \\
& \int \sin x^2 d x, \quad \int \sqrt{1-k^2 \sin ^2 x} d x(0<k<1)
\end{aligned}
$$

> 今后将一个初等函数的不定积分仍是初等函数的情况称为可积，意思就是＂积得出＂，反之则称为不可积，也就是＂积不出＂。

这个事实也可以换一个说法．设 $A$ 是区间上初等函数全体所成集合，用 $D$ 表示求导算子（即从一个函数得到其导函数的映射），用 $D A$ 表示对 $A$ 中的每个初等函数求导得到的导函数集合．

从初等函数的定义（见第三章）和求导数运算的四则运算法则和链式法则可以知道，初等函数的导函数仍然是初等函数，即有 $D A \subset A$ ．Liouville 的发现就是

$$
D A \varsubsetneqq A .
$$

这表明在差集 $A-D A$ 中的每个初等函数的原函数（或不定积分）不是初等函数。例如在（9．5）中的不定积分的被积函数 $\frac{ e ^x}{x}, \frac{1}{\ln x}, \frac{\sin x}{x}, e ^{-x^2}$ 等都属于差集 $A-D A$ 之中，它们的原函数不是初等函数．

如何证明以上所说的 $D A \varsubsetneqq A$ ，或者对于以上举出的几个具体函数（之一）证明它们的原函数不是初等函数？这些问题已经越出数学分析课程的范围．是否有一个方法可以判定什么样的初等函数可积或者不可积？至少到目前为止还没有这样的方法．所有这些乃是＂微分代数＂方向所研究的内容，其中还没有可在本科教学中使用的材料。

**小结** 初等函数的导数是初等函数，但初等函数的原函数（或不定积分）可以是非初等函数．对于这种情况，我们称这样的初等函数的不定积分为不可积．

这里需要指出，这类不可积情况的存在并非什么坏事．如（9．5）中列举的例子都是在许多应用领域中非常重要的非初等函数。实际上在数学分析课程中会见到产生非初等函数的许多途径。初等函数的不可积的原函数就是其中之一  。

由于初等函数的不定积分不可积的现象大量存在，同时又没有有效的方法来区分可积与不可积，因此在下面我们将主要学习几类最为基本的可积函数类。

在实际工作中，对于所遇到的不定积分可以查阅为此而编制的不定积分表，或者利用 Mathematica，Maple 等数学符号计算软件来解决问题。

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