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有理函数的不定积分计算

## 9.3.2 有理函数的不定积分计算
有理函数（或称有理分式函数）是最重要的一类可积函数．
这里所说的有理函数就是指实系数有理分式，即两个实系数多项式之商．对于假分式，即分子次数大于等于分母次数的情况，一定可以分解为一个多项式与一个真分式之和。由于多项式是可积的，它的不定积分仍然是多项式，因此问题就归结为如何求真分式的不定积分。

一个真分式，即分子次数小于分母次数的情况，由于实系数多项式一定可以在实数域内因式分解为若干个一次因式和二次因式的乘积，因此真分式一定可以分解为下列两种简单分式之和：

$$
\frac{c}{(x-a)^k}(k \geqslant 1), \quad \frac{M x+N}{\left(x^2+p x+q\right)^n}(n \geqslant 1) .
$$

其中的 $c, a, M, N, p, q$ 均为实数．今后称这两类分式为部分分式（partial fraction），而将实系数有理分式分解为部分分式的过程称为部分分式分解。

下面的代数定理是部分分式分解的理论基础。

**部分分式分解定理** 实系数有理真分式一定能够以惟一的方式分解为部分分式之和。

注 可以看到，这里恰好是分析与代数的一个小小的交汇点．用代数的部分分式分解定理解决有理分式的不定积分问题，同时在进行这个代数分解的运算中又可能会用到分析的极限手段．

下面我们先学习如何进行有理分式的分解，以及如何计算部分分式的不定积分，而将定理的证明放在下一小节中进行。在前面的例题 9.14 和例题 9.26 的解 2就是这类问题中比较简单的情况．下面的例题还是从简单开始．

例题 9.39 求 $I=\int \frac{x^2}{1+x} d x$ ．
解 先将被积函数化为多项式与真分式之和，然后即可积出：

$$
I=\int\left(x-1+\frac{1}{1+x}\right) d x=\frac{x^2}{2}-x+\ln |1+x|+C .
$$

例题 9.40 求 $I=\int \frac{2 x^2+3 x+2}{(x+1)(2 x+1)^2} d x$ ．
解 首先对被积函数作部分分式分解．根据分母可知分解的形式为

$$
\frac{2 x^2+3 x+2}{(x+1)(2 x+1)^2}=\frac{C_1}{x+1}+\frac{C_2}{2 x+1}+\frac{C_3}{(2 x+1)^2}
$$

其中有 3 个待定常数 $C_1, C_2, C_3$ ．
第一种方法就是两边乘以左边的分母，使两边都成为多项式，然后等置两边同次幂项的系数，就得到关于待定常数的线性方程组。由部分分式分解定理可以推出这个线性方程组的解存在惟一，以下就可以按照标准方法进行计算。这种方法理论上有根据，解题过程规范，但在未知量个数较多时计算量可能较大．

第二种方法是利用极限工具来解代数问题．例题 9.14 和例题 9.26 的解 2 中的方法就是如此。

将（9．7）两边同乘 $x+1$ 后令 $x \rightarrow-1$ ，右边就得到 $C_1$ ，而左边等于将 $x=-1$代入到分母去掉因子 $(x+1)$ 之后的表达式中．因此就得到：

$$
C_1=\left.\frac{2 x^2+3 x+2}{(2 x+1)^2}\right|_{x=-1}=1
$$

同理两边乘以 $(2 x+1)^2$ 后令 $x \rightarrow-\frac{1}{2}$ ，就有

$$
C_3=\left.\frac{2 x^2+3 x+2}{x+1}\right|_{x=-\frac{1}{2}}=2
$$

对于 $C_2$ 以上两种方法不能直接用．这里有多种方法可供选择．例如，将 $x=0$代入（9．7）中得到 $2=C_1+C_2+C_3$ ，于是 $C_2=2-C_1-C_3=-1$ 。

再推荐几种方法．例如在（9．7）两边乘 $x$ 后令 $x \rightarrow+\infty$ ，就得到 $\frac{1}{2}=C_1+$ $\frac{1}{2} C_2$ ，由此也可解得 $C_2=-1$ ．

当然也可以将已经确定的项移到左边进行计算以求出最后一项：

$$
\begin{aligned}
\frac{2 x^2+3 x+2}{(x+1)(2 x+1)^2} & -\frac{1}{x+1}-\frac{2}{(2 x+1)^2}=\frac{2 x^2+3 x+2-(2 x+1)^2-2(x+1)}{(x+1)(2 x+1)^2} \\
& =\frac{-2 x^2-3 x-1}{(x+1)(2 x+1)^2}=\frac{-(x+1)(2 x+1)}{(x+1)(2 x+1)^2}=-\frac{1}{2 x+1} .
\end{aligned}
$$

最后的积分计算已经没有困难，这就是

$$
\begin{aligned}
I & =\int\left(\frac{1}{x+1}+\frac{-1}{2 x+1}+\frac{2}{(2 x+1)^2}\right) d x \\
& =\ln |x+1|-\frac{1}{2} \ln |2 x+1|-\frac{1}{2 x+1}
\end{aligned}
$$

下面看分母上有二次不可约因子的例子。在其中将系统使用上面所说的最后一种方法，即每求出一项就移到左边相减。这种方法的优点是事先可以肯定通分后的分子必须具有什么样的因子，因此计算中如有错误会自动发现（即有自校正特性），从而比较可靠．此外在计算中一定是越算越简单．

例题 9.41 求 $I=\int \frac{-5 x^2-4}{(x-1)\left(x^2+2\right)^2} d x$ ．
解 根据部分分式分解定理，有

$$
\frac{-5 x^2-4}{(x-1)\left(x^2+2\right)^2}=\frac{C_1}{x-1}+\frac{M_1 x+N_1}{x^2+2}+\frac{M_2 x+N_2}{\left(x^2+2\right)^2}
$$

两边乘以 $x-1$ 后令 $x \rightarrow 1$ 就得到 $C_1=-1$ ．然后计算

$$
\begin{aligned}
\frac{-5 x^2-4}{(x-1)\left(x^2+2\right)^2}+\frac{1}{x-1} & =\frac{-5 x^2-4+\left(x^2+2\right)^2}{(x-1)\left(x^2+2\right)^2} \\
& =\frac{x^4-x^2}{(x-1)\left(x^2+2\right)^2}=\frac{x^2(x+1)}{\left(x^2+2\right)^2}
\end{aligned}
$$

于是最后的有理式等于（9．8）右边的后两项之和，即有

$$
\frac{x^2(x+1)}{\left(x^2+2\right)^2}=\frac{M_1 x+N_1}{x^2+2}+\frac{M_2 x+N_2}{\left(x^2+2\right)^2} .
$$

将上式两边乘以 $\left(x^2+2\right)^2$ 后令 $x \rightarrow i \sqrt{2}$ ，就得到

$$
-2(1+i \sqrt{2})=i \sqrt{2} M_2+N_2,
$$

等置两边的实部和虚部，就得到 $M_2=N_2=-2$ ．这样就一举求出了两个待定常数，表现出复数计算方法的特点。

再作减法，即有

$$
\frac{x^2(x+1)}{\left(x^2+2\right)^2}+\frac{2 x+2}{\left(x^2+2\right)^2}=\frac{x^3+x^2+2 x+2}{\left(x^2+2\right)^2}=\frac{x+1}{x^2+2}
$$

即有 $M_1=N_1=1$ ．（这里分子一定有因子 $x^2+2$ ，否则就是计算出错了．${ }^{(1)}$
上面是代数分解计算，下面才是计算不定积分，即需要分别求三个不定积分．

$$
I=\int \frac{-1}{x-1} d x+\int \frac{x+1}{x^2+2} d x+\int \frac{-2 x-2}{\left(x^2+2\right)^2} d x
$$

先将容易计算的求出如下：
（1）由于形式（9．8）已经确定，因此在求出 $C_1$ 之后也不难直接凑出所需的分解：

$$
\frac{x^2(x+1)}{\left(x^2+2\right)^2}=\frac{x\left(x^2+2\right)+\left(x^2+2\right)-(2 x+2)}{\left(x^2+2\right)^2}=\frac{x+1}{x^2+2}-\frac{2(x+1)}{\left(x^2+2\right)^2}
$$
$$
I=-\ln |x-1|+\frac{1}{2} \ln \left|x^2+2\right|+\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{1}{x^2+2}-2 \int \frac{d x}{\left(x^2+2\right)^2} .
$$

对于上式最后一项的计算，可以从已经会求的积分 $\int \frac{ d x}{x^2+2}$ 开始，用分部积分法升高分母的次数：

$$
\int \frac{d x}{x^2+2}=\frac{x}{x^2+2}+\int \frac{2 x^2 d x}{\left(x^2+2\right)^2}=\frac{x}{x^2+2}+2 \int \frac{d x}{x^2+2}-4 \int \frac{d x}{\left(x^2+2\right)^2}
$$

这样就得到

$$
\int \frac{d x}{\left(x^2+2\right)^2}=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{x}{4\left(x^2+2\right)}+C
$$

合并以上结果就得到

$$
\begin{aligned}
I & =-\ln |x-1|+\frac{1}{2} \ln \left|x^2+2\right|+\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{1}{x^2+2} \\
& \quad-\frac{x}{2\left(x^2+2\right)}-\frac{1}{2 \sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+C \\
& =\ln \frac{\sqrt{x^2+2}}{|x-1|}+\frac{-x+2}{2\left(x^2+2\right)}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+C .
\end{aligned}
$$

在例题 9.41 中最后一步的计算方法可以用于计算 $\frac{M x+N}{\left(x^2+p x+q\right)^n}(n \geqslant 2)$ 的不定积分．这也是部分分式分解后留下的积分问题。

由于二次三项式 $x^2+p x+q$ 在实数域不可约，因此其判别式 $p^2-4 q<0$ ，从而一定可以通过配方和平移将问题简化为计算 $n \geqslant 2$ 时的不定积分

$$
I_n=\int \frac{d x}{\left(x^2+a^2\right)^n},
$$

其中设 $a>0$ ．
对于（9．9）的计算介绍两种方法．

先介绍递推法．它就是在例题 9.41 中计算 $\int \frac{ d x}{\left(x^2+2\right)^2}$ 时所用的方法．代替从 $I_n$ 出发如何将 $n$ 降低，而是倒过来将 $n$ 升高如下：

$$
\begin{aligned}
I_{n-1} & =\int \frac{d x}{\left(x^2+a^2\right)^{n-1}}=\frac{x}{\left(x^2+a^2\right)^{n-1}}+\int \frac{x \cdot(n-1) \cdot 2 x}{\left(x^2+a^2\right)^n} d x \\
& =\frac{x}{\left(x^2+a^2\right)^{n-1}}+2(n-1) \int \frac{\left(x^2+a^2\right)-a^2}{\left(x^2+a^2\right)^n} d x \\
& =\frac{x}{\left(x^2+a^2\right)^{n-1}}+2(n-1) I_{n-1}-2(n-1) a^2 I_n
\end{aligned}
$$

整理后得到所求的递推公式：

$$
I_n=\frac{1}{2 a^2(n-1)} \cdot \frac{x}{\left(x^2+a^2\right)^{n-1}}+\frac{2 n-3}{2 a^2(n-1)} \cdot I_{n-1}
$$

当然一般不需要记住这类公式，而是要学会用上述方法，或者猜出它的形式然后用待定系数法。例如，对于例题 9.41 中遇到的积分，写出待定的等式

$$
\int \frac{d x}{\left(x^2+2\right)^2}=\frac{A x}{x^2+2}+\lambda \int \frac{d x}{x^2+2}
$$

其中 $A, \lambda$ 是待定常数．
两边求导得到

$$
\frac{1}{\left(x^2+2\right)^2}=\frac{A}{x^2+2}-\frac{2 A x^2}{\left(x^2+2\right)^2}+\frac{\lambda}{x^2+2}=\frac{(A+\lambda)\left(x^2+2\right)-2 A x^2}{\left(x^2+2\right)^2}
$$

等置两边分子的同次数幂项的系数，就得到

$$
\lambda-A=0, \quad \lambda+A=\frac{1}{2}
$$

并解得 $A=\lambda=\frac{1}{4}$ ．于是可以得到与前面相同的结果：

$$
\begin{aligned}
\int \frac{d x}{\left(x^2+2\right)^2} & =\frac{x}{4\left(x^2+2\right)}+\frac{1}{4} \int \frac{d x}{x^2+2} \\
& =\frac{x}{4\left(x^2+2\right)}+\frac{1}{4 \sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+C
\end{aligned}
$$

计算（9．9）的另一种方法是作三角代换 $x=a \tan \theta$ ，则 $d x=a \sec ^2 \theta$ ，因此有

$$
I_n=\int \frac{a \sec ^2 \theta d \theta}{a^{2 n} \sec ^{2 n} \theta}=\frac{1}{a^{2 n-1}} \int \cos ^{2 n-2} \theta d \theta
$$

这样就可以用 De Moivre 公式将被积函数化为倍角函数求积．当然也可以写出递推公式（作为练习题）．

例如，对例题 9.41 中遇到的积分可以再次计算如下，其中作代换 $x=\sqrt{2} \tan \theta$ ：

$$
\begin{aligned}
\int \frac{d x}{\left(x^2+2\right)^2} & =\frac{\sqrt{2}}{4} \int \cos ^2 \theta d \theta=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \int(1+\cos 2 \theta) d \theta \\
& =\frac{1}{4 \sqrt{2}}\left(\theta+\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right)+C \\
& =\frac{1}{4 \sqrt{2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{1}{4 \sqrt{2}} \cdot \frac{x \sqrt{2}}{x^2+2}+C
\end{aligned}
$$

再计算一个常见的不定积分．
例题 9.42 求 $I=\int \frac{ d x}{1+x^4}$ ．
解 1 按照标准方法先将分母作因式分解，得到

$$
\begin{aligned}
x^4+1 & =\left(x^4+2 x^2+1\right)-2 x^2=\left(x^2+1\right)^2-(\sqrt{2} x)^2 \\
& =\left(x^2+\sqrt{2} x+1\right)\left(x^2-\sqrt{2} x+1\right) .
\end{aligned}
$$

于是有部分分式分解

$$
\frac{1}{x^4+1}=\frac{a x+b}{x^2+\sqrt{2} x+1}+\frac{c x+d}{x^2-\sqrt{2} x+1} .
$$

令 $x=0$ 代入得到 $b+d=1$ ．乘以 $x$ 后令 $x \rightarrow+\infty$ 得到 $a+c=0$ ．再令 $x= i$代入得到

$$
\frac{1}{2}=\frac{a-c}{\sqrt{2}}+\frac{b-d}{i \sqrt{2}} .
$$

等置两边的实部与虚部得到 $a-c=1 / \sqrt{2}, b=d$ ．与前面的结果联合即可确定

$$
a=-c=\frac{\sqrt{2}}{4}, b=d=\frac{1}{2} .
$$

最后计算不定积分如下：

$$
\begin{aligned}
& I=\int \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} x+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2} x+1} d x+\int \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4} x-\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2} x+1} d x \\
&=\frac{\sqrt{2}}{8} \int \frac{2 x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2} x+1} d x+\frac{1}{4} \int \frac{d x}{x^2+\sqrt{2} x+1}-\frac{\sqrt{2}}{8} \int \frac{2 x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2} x+1} d x \\
&+\frac{1}{4} \int \frac{d x}{x^2-\sqrt{2} x+1} \\
&=\frac{\sqrt{2}}{8} \ln \left|\frac{x^2+\sqrt{2} x+1}{x^2-\sqrt{2} x+1}\right|+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \arctan (\sqrt{2} x+1) \\
&+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \arctan (\sqrt{2} x-1)+C
\end{aligned}
$$

解 2 解本题比较巧妙的方法是配对法：

$$
\begin{aligned}
I & =\frac{1}{2} \int \frac{x^2+1}{x^4+1} d x-\frac{1}{2} \int \frac{x^2-1}{x^4+1} d x=\frac{1}{2} \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}} d x-\frac{1}{2} \int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}} d x \\
& =\frac{1}{2} \int \frac{d\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}-\frac{1}{2} \int \frac{d\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2} \\
& =\frac{1}{2 \sqrt{2}} \arctan \frac{x-\frac{1}{x}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{4 \sqrt{2}} \ln \left|\frac{x+\frac{1}{x}-\sqrt{2}}{x+\frac{1}{x}+\sqrt{2}}\right|+C .
\end{aligned}
$$

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